Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
2.3. Преобразования Лоренца
фронт световой
волны
через время t (t’)
V
yy'
xx'
V
y'
y
x'
x
tt 0
xct= ,
2.3. Преобразования Лоренца
Из постулатов специальной теории относительности вытекают преобразования Лоренца, которые связывают пространство (координаты)
и время. Чтобы показать это, рассмотрим распространение света в двух
инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга
со скоростью V (рис. 2.4). Одну из этих систем отсчета будем считать
покоящейся (условно), а измеренные в ней координаты и время31 будем обозначать символами x, y, z и t (без штрихов). При этом назовем
ее нештрихованной системой отсчета. Тогда другая система отсчета,
которую назовем штрихованной системой отсчета, движется с посто-
янной скоростью V относительно первой (нештрихованной). Будем
обозначать координаты и время, найденные в этой системе отсчета,
теми же символами, но со штрихами: x′, y′, z′ и t′. Поскольку выбор
направления координатных осей произволен, направим оси Ох и О′х′
этих систем отсчета вдоль вектора скорости их относительного движения и противоположно ему. Кроме этого, будем считать, что в начальный момент времени начало отсчета и соответствующие оси координат рассматриваемых систем отсчета совпадали.
Рис. 2.4
Пусть в начальный момент времени (
) в точке начала отсчета этих систем отсчета вспыхивает лампа и через некоторое время (t)
(измеренное в нештрихованной системе отсчета) отметим положение фронта световой волны (см. рис. 2.4). Согласно второму постулату специальной теории относительности его координата вдоль оси Ох
нештрихованной системы отсчета может быть найдена как
31
Система отсчета наряду с телом отсчета и системой координат включает в себя
прибор для измерения времени.
(2.4)
71
2. Специальная теория относительности
xc
tt xx
xx tt
α
′
x
c
22
а в штрихованной системе отсчета как
t
(2.5)
соответственно.
Соотношения (2.4) и (2.5) противоречат постулатам ньютоновской
механики (см гл. 1.1) и преобразованиям Галилея, т. к. если
что невозможно согласно преобразованиям Галилея (см. табл. форму на с. 67), если же
, что противоречит постулату ньютоновской механики о неизменности времени. Таким образом, постулаты
ньютоновской механики и им соответствующие преобразования Галилея находятся в противоречии с опытным фактом независимости значения скорости света от скорости движения его источника или приемника (т. е. вторым постулатом специальной теории относительности).
Найдем, используя выражения (2.4) и (2.5), преобразования координат и времени, не противоречащие экспериментальному факту неизменности значения скорости света. При этом будем предполагать, что
эти преобразования так же линейны по x, t и x′, t′, как и преобразования Галилея (см. табл. форму на с. 67), т. е.
,
xxVt
xxVt,
(2.6)
,
(2.7)
где α — некий коэффициент пропорциональности, значение которого и требуется определить.
Для определения значения коэффициента
и (2.7) выражения (2.4) и (2.5), исключив из них
подставим в (2.6)
и x, сохранив толь-
ко время:
ct tcV
ct tc V
,
.
Тогда, перемножив полученные равенства, найдем, что
22
cttttc
1
2
V
1
2
,
V
.
72
2.3. Преобразования Лоренца
Vc<<
2
c
xV
Подставив найденное выражение для α в (2.6) и (2.7), запишем
формулы преобразований координат при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. При этом очевидно (см. рис. 2.4),
что значения координат, измеренные вдоль осей, перпендикулярных вектору скорости, — совпадают. Подставляя (2.1) в (2.2) и наоборот, после несложных преобразований можно получить формулы,
связывающие t′ с t и t с t′ соответственно. Полученные преобразования координат и времени были названы Пуанкаре преобразования-
ми Лоренца (именем физика, первым их получившим32). Они сведе-
ны в табл. форме ниже.
Как можно видеть, согласно преобразованиям Лоренца пространство и время связаны и образуют единое понятие пространства-вре-
мени, или пространственно-временного континуума.
Отметим также, что при
2
1
2
V
1
2
V
1
2
c
2
— эти преобразования переходят в преобразова-
1
ния Галилея.
O → O′ O′ → O
1
y = y′
z = z′
V
t
1
t
2
V
2
c
x
2
c
2
V
2
c
x
t
, когда
Преобразования Лоренца
12
x
t
V
c
xVt
1
y′ = y
z′ = z
t
1
,
2
V
2
c
V
x
2
c
2
V
2
c
1
2
V
1
2
c
32
Лоренц не совсем корректно записал эти преобразования, и их запись была уточ-
нена Лармором.
73
2. Специальная теория относительности
11
l
Следствия из преобразований Лоренца.
1. Сокращение продольных размеров (Лоренцево сокращение длин).
Пусть относительно нештрихованной системы отсчета тело покоится, а его длина вдоль оси Ох равна l0. Найдем, как будут соотноситься между собой результаты измерения длины этого тела, проведенные в нештрихованной и штрихованной системах отсчета. При этом
штрихованная система отсчета движется со скоростью V относительно нештрихованной системы отсчета вдоль ее оси Ох. Определяя дли-
ну тела как разность координат его правого и левого концов и используя преобразования Лоренца, получим
''
xVtx Vt
lxx
021
l
где
— длина тела вдоль направления движения, измеренная в систе-
0
21
2
V
2
c
2
ll
',
V
1
0
2
c
ме отсчета, относительно которой оно покоится (
ют собственной длиной);
l '
— длина этого же тела вдоль направления
'
l
2
V
2
c
обычно называ-
0
движения, измеренная из движущейся системы отсчета. Таким образом, продольный размер движущегося тела сокращается. В то же время его поперечные (т. е. перпендикулярные направлению движения)
размеры остаются неизменными, т. к. y′ = y и z′ = z.
Проиллюстрируем лоренцево сокращение длин на примере парадокса «шеста и сарая». Суть этого парадокса заключается в вопросе —
можно ли спрятать пятиметровый шест в трехметровом сарае? Оказывается, можно. Только для этого шест должен двигаться относительно
сарая с некоторой скоростью; вычислим значение этой скорости. При
этом будем считать, что шест движется горизонтально.
В данной задаче собственной системой отсчета (для шеста) является система отсчета, связанная с бегущим человеком. Относительно нее шест покоится и его длина равна собственной длине — l0 = 5 м.
В качестве лабораторной системы отсчета (относительно которой
покоится наблюдатель) выберем систему отсчета, связанную с сараем. Наблюдатель, стоящий рядом с сараем, сравнивает длину сарая
с длиной шеста. По условию задачи эти длины должны быть для него
74
2.3. Преобразования Лоренца
1,
Vc
одинаковыми. Таким образом, длина шеста в лабораторной системе
отсчета — l = 3 м.
Скорость движения лабораторной системы отсчета (т. е. сарая) от-
носительно собственной системы отсчета (т. е. бегущего человека) — V.
Записав формулу лоренцева сокращения длины
2
ll
V
0
2
c
получим одно уравнение относительно одной неизвестной. Решая это
уравнение, определим значение скорости бегуна относительно сарая:
2
l
cc 11
2
l
0
2
354
2
2410
8
, м/с ( 240 000 км/ч).
5
Согласно полученному результату, пятиметровый шест можно
спрятать (пусть на очень короткое время) в трехметровом сарае, однако шест в этом случае должен двигаться с очень большой скоростью.
2. Лоренцево замедление времени. Под эффектом замедления времени в специальной теории относительности понимается эффект удлинения интервала времени между двумя событиями, измеренного
из движущейся системы отсчета. Пусть в системе отсчета, относительно которой два события покоятся, интервал времени, разделяющий
их, равен ∆t
= t2 − t1, где t1 и t2 — моменты времени свершения этих со-
0
бытий относительно данной системы отсчета. Тогда, в соответствии
с преобразованиями Лоренца,
2
ttt
021
V
t
2
2
c
xt
2221
1
V
x
c
2
V
2
c
V
1
22
c
V
t
xVt
c
V
1
2
2
c
2
xVt
1
или
2
V
t
2
c
1
t
0
2
V
2
c
t
.
2
V
1
2
c
Откуда
75
2. Специальная теория относительности
∆
= =
t
t
0
,
2
V
1
2
c
где ∆t — промежуток собственного времени, т. е. измеренный в системе отсчета, относительно которой события покоились;
t '
— про-
межуток времени, измеренный из движущейся системы координат.
Как следует из полученного соотношения, движущиеся часы долж-
ны идти медленнее, чем часы, относительно которых они движутся.
Лоренцево замедление времени имеет экспериментальное подтверждение. Дело в том, что под воздействием космического излучения в верхних слоях атмосферы рождаются элементарные частицы,
в частности мюоны. Скорость этих частиц составляет примерно девяносто восемь процентов от скорости света в вакууме (V = 0,98 · c). Мюоны не являются стабильными частицами, время жизни мюона в состоянии покоя — ∆t0 ≈ 2 · 10−6 с. Поэтому, казалось бы, мюоны могут
проникать в атмосферу Земли лишь на глубину
SVt
00
588
м.
Однако эти частицы обнаруживаются значительно глубже. Для объяснения
этого факта рассчитаем, на каком расстоянии от верхних слоев атмосферы еще можно обнаружить мюоны (гравитационным притяжением
к Земле и сопротивлением воздуха при этом пренебрежем).
Рассмотрим две системы отсчета: собственную, связанную с самим
мюоном, и лабораторную, связанную с Землей (в которой, собственно, и находится наблюдатель). В собственной системе отсчета мюон
покоится и время его жизни — ∆t0 ≈ 2 · 10−6 с.
Относительно лабораторной системы отсчета мюон движется
со скоростью V, поэтому время его жизни, измеренное в этой системе отсчета,
t
t
0
.
2
V
1
2
c
Таким образом, расстояние, которое пройдет мюон до своего распада, а движется он равномерно, поскольку притяжением к Земле и сопротивлением воздуха в данной задаче пренебрегаем, может быть вычислено по формуле равномерного движения:
76
vv
VV
11
SVt
Vt
0
V
1
c
2.3. Преобразования Лоренца
.
2
2
Подставляя в это соотношение численные данные, получим
098210
,
S
1
6
098310 210
c
098
,
c
2
c
,
2
86
1098
2
,
2955
м( 3 км).
33
Как следует из найденного значения, глубина проникновения мюонов в глубь атмосферы приблизительно в шесть раз больше, чем следует ожидать в соответствии нерелятивистским подходом. И именно
это наблюдается на эксперименте. Следует иметь в виду, что замедление времени, как и сокращения размеров, — взаимное.
3. Формула сложения скоростей. Пусть некоторое тело движет-
ся относительно нештрихованной системы отсчета со скоростью
v
v
,,
xyz
. Определим значение его скорости в штрихованной системе отсчета, движущейся относительно нештрихованной системы
отсчета с постоянной скоростью V, направленной параллельно и в про-
тивоположную сторону оси Ox,
,, .00
При этом, как и ранее,
будем считать, что оси Ох и О′х′ — параллельны.
Найдя дифференциалы от преобразований Лоренца для коорди-
нат и времени (V = const)
и подставив их в определение скорости (1.3), после вынесения dt′
за скобку и его сокращения получим формулы преобразования компонент вектора скорости:
33
Проверьте расчетом, что если лоренцово замедление времени не имело бы место,
то мюон распался бы, пролетев приблизительно 600 м. Однако экспериментально установлено, что мюоны проникают в глубь атмосферы Земли на значительно (как мы показали, в пять раз) большие расстояния, чем 600 м. Этот экспериментальный факт
и служит одним из подтверждений верности специальной теории относительности.
dx
dx Vdt
dy dy dz dz dt
, , ,
2
V
2
c
V
dt
dx
2
c
2
V
2
c
77
2. Специальная теория относительности
c
vV
c
c
V
c
c
vc=
Vc
— для продольной компоненты:
dt
V
2
dx
т. к. согласно I постулату
dxdtdx Vdt
v
x x
ddx
v
dt
x
1
— поперечных компонент:
dy
v
y
dt
dz
v
z
dt
dy
'
V
dt
ddt
dx
''
2
c
'
dz
V
dx
''
2
c
2
V
1
2
c
2
V
1
2
c
т. к. согласно
первому постулатту
v
dy
x
dt
т. к. согласно
первому постулату
v
dz
z
ddt
y
1
'
Vv
1
x
2
c
'
v
v
'
z
Vv
1
c
1
'
x
2
Обратное преобразование скорости (из штрихованной в нештри-
хованную систему отсчета), очевидно, будет иметь вид34:
— для продольных компонент:
v
x
v
x
1
;
(2.8)
Vv
x
2
Vv
;
x
2
2
V
,
2
c
2
V
.
2
c
— поперечных компонент:
v
y
y
'
Vv
1
x
2
2
V
1
v
,
2
c
v
z
z
Vv
'
1
x
2
2
V
1
v
.
2
c
Особо следует отметить тот факт, что для двух фотонов, движущихся друг за другом или навстречу друг другу, скорость любого из них относительно другого, согласно (2.8), остается равной с (
cc
1
34
При выводе обратного соотношения следует считать, что нештрихованная
система отсчета движется относительно штрихованной, но направление ее скорости противоположно.
78
cc
c
c
.
v
2
и
):
2.3. Преобразования Лоренца
22
Таким образом, значение скорости света в вакууме с ≈ 300 000 км/с —
наибольшее (предельное) из возможных значений скорости. При этом
само это значение одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
4. Относительность одновременности. В заключение рассмотрим
два события, произошедшие одновременно, но в разных точках пространства. В нештрихованной системе отсчета их координаты —
х1 и х2 соответственно, а интервал времени между ними равен нулю
(∆t = t1 − t2 = 0). Найдем интервал времени (∆t′ = t′1 − t′2), разделяющий
эти события, измеренный из штрихованной системы отсчета, движущейся со скоростью V относительно первой. Согласно преобразованиям Лоренца для времени (см. табл. форму на с. 73):
ttt
12
1
2
V
1
2
c
V
t
1
2
c
xt
1222
V
c
x
Vx
.
Поскольку х1 ≠ х2, то ∆х = х1 − х2 ≠ 0, а следовательно, и ∆t′ ≠ 0. Таким
образом, два события, произошедшие в разных точках пространства,
одновременные относительно одной инерциальной системы отсчета, —
неодновременны относительно другой. И только если одновременные
события происходят в одной и той же точке пространства (∆х = 0), они
остаются одновременными во всех инерциальных системах отсчета.
Проиллюстрируем этот результат на примере двух младенцев, родившихся относительно покоящегося наблюдателя одновременно,
но в разных городах: один в городе А, другой в городе Б. Определим
разность в возрасте этих младенцев (разницу времени их рождения),
с точки зрения наблюдателя, пролетавшего мимо Земли со скоростью
V = 0,97 · c. Расстояние между городами А и Б — S0 = 1200 км (кривиз-
ной поверхности Земли при решении задачи пренебрежем).
Рассмотрим две системы отсчета: собственную, связанную с Землей, относительно которой младенцы покоились, и лабораторную систему отсчета, в которой находился наблюдатель (связанную с наблюдателем), движущуюся относительно собственной системы отсчета
со скоростью V.
Запишем преобразования Лоренца, связывающие моменты времени рождения младенцев, относительно собственной и лабораторной систем отсчета (см. табл. форму на с. 73):
79
2. Специальная теория относительности
xx
()
0
tt
()
tt
()
11
tt
()
,
()
1
здесь
1
и
0
0
t
2()
— координаты точек рождения младенцев в собствен-
ной системе отсчета (
V
() ()
1
t
0
() ()
2
xxS
0
x
2
c
2
V
1
2
c
1
0
1
0
и
);
t
()
1
0
2
и
V
() ()
2
t
0
1
2()
— моменты времени рож-
0
2
x
0
2
c
,
(2.9)
2
V
2
c
дения младенцев в собственной системе отсчета (по условию задачи
2()
(1)
=
010
); t
(2)
и t
— моменты времени рождения младенцев относительно лабораторной системы отсчета (с точки зрения движущегося
наблюдателя). Найдем разницу моментов времени рождения младенцев, с точки зрения движущегося наблюдателя. С учетом (2.9) имеем:
() ()
12
tt
() () () ()
tt
010
V
2
1
xx
0
2
c
2
V
2
c
2
0
V
S
0
2
c
.
2
V
2
c
При записи последнего равенства было учтено, что согласно ус-
ловию задачи
() ()
xxS
0
0
0
, а
1
2()
=
0
. Подставляя численные данные,
0
2
1
получим, что, с точки зрения движущегося наблюдателя, младенец
из г. А родился раньше младенца из г. Б на
() ()
2
tt
010
097
,
с
12 10
,
2
с
097
,
1
c
2
c
097
,
6
310
2
12 10
8
1097
66
,
16 10
2
,
2
c.
Таким образом, два события, одновременные в одной системе от-
счета, могут быть неодновременными в другой, и наоборот.
2.4. Динамика в специальной
теории относительности
До сих пор рассматривались лишь кинематические характеристики и их преобразования при переходе из одной инерциальной системы
отсчета в другую. Установленные при этом эффекты замедления вре-
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]