Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
1.2. Динамика поступательного движения
AF
dS
s.
Fcos( )
S
1 2
A
12
ков вектор элементарного перемещения и найти элементарную работу,
совершаемую силой при этом перемещении. После чего найденные
значения элементарных работ сложить. Поскольку такая сумма будет являться суммой бесконечного числа бесконечно малых величин,
то вычисление работы при конечном перемещении сведется к вычислению интеграла от элементарной работы. Таким образом, работа —
скалярная физическая величина, численно равная
2
Ad
12
1
dS
.
Работа измеряется в Джоулях:
A
Hм Дж
.
Как следует из определения, работа силы (или сил) при переходе тела
(или системы тел) из 1-го во 2-е состояние равна интегралу от скалярного произведения вектора силы (равнодействующей сил) на вектор элементарного перемещения.
Следует иметь в виду, что поскольку
– бесконечно малое пе-
ремещение, то движение, в результате которого оно возникло, можно считать прямолинейным, а следовательно, модуль вектора
dS
совпадает с пройденным путем. Таким образом, dS — бесконечно малый
элементарный путь. Подставляя (1.16) в определение работы и учитывая тот факт, что F · cos (α) — проекция силы на направление вектора
элементарного перемещения, получим
2
AF dS
co
12
1
В соответствии с этим равенством и согласно свойству интеграла
(см. гл. 1.1.2), значение работы равно площади под графиком зависимо-
сти проекции силы на вектор перемещения
от пройденного пути (рис. 1.12).
α
Свойства работы представлены ниже.
1. Аддитивность. Работа равнодействующей сил, т. е. суммы сил, равна
сумме работ каждой из этих сил.
Пусть работа (А) совершается несколь-
Fi n
, 1, 2, ..., =
кими силами (
ствующая которых
i
), равнодей-
Рис. 1.12
31
1. Механика
FF
AF
AF
SA
0
α
F
n
.
i
1
i
Тогда сумма работ этих сил при перемещении тела из точки 1 в точ-
ку 2 может быть записана в виде:
n
1
i
2
n
i
dS
.
i
1
i
1
Поскольку интеграл суммы равен сумме интегралов, внесем знак
суммы под знак интеграла:
n
i
2
n
i
11
1
dS
i
i
.
Вынося вектор
dS
за знак суммы (поскольку он не зависит от ин-
декса суммирования), получим
n
i
2
n
AFdS FF
i
11
1
i
i
n
т. к. равнодейств уующая
i
i
1
2
Fd
1
.
Таким образом, доказано, что работа суммы сил равна сумме ра-
бот каждой силы:
AF AF
i
.
i
2. Знак работы может быть как положительным, так и отрицательным:
— если угол (α) между вектором силы
и вектором скорости (направление последнего совпадает с направлением вектора
элементарного перемещения, см. гл. 1.1.2)
острый (0 ≤ α ≤ π / 2) (рис. 1.13), то работа
Рис. 1.13
положительна.
Поскольку косинус острого угла больше
нуля или равен нулю (при α = π / 2), то
dA FdSFdS
cos( )
. В свою
очередь, работа равна интегралу от элементарной работы, т. е. сумме
элементарных работ, и при условии, что все dA ≥ 0, ее значение также
больше нуля — А ≥ 0;
— если угол (α) между векторами силы и скорости тупой (π ≥ α >
> π / 2) (рис. 1.14), то работа отрицательна. Поскольку косинус тупо-
32
1.2. Динамика поступательного движения
0
00
s.
Fd
Sd
V
α
F
го угла меньше нуля, то
условии, что все dA < 0,
dA FdSFdS
2
AdA
1
cos( )
.
. В свою очередь, при
Таким образом, если сила способствует движению (т. е. имеет положительную
проекцию на вектор скорости), то ее работа — положительна, если препятствует (т. е.
имеет отрицательную проекцию на вектор
скорости) — отрицательна. Если сила перпендикулярна направлению движения,
Рис. 1.14
то ее работа равна нулю.
3. Работа постоянной по направлению и величине силы рав-
на скалярному произведению векторов силы и перемещения –
AFSFS
co
Пусть вектор силы не изменяется ни по величине — F = const,
ни по направлению — cos(α) = const. Тогда, подставляя (1.15) в (1.16),
получаем
2
AdAF dS
1
2
1
cos( )
вынося постоянные
множители за знак интегграла
2
Scos( )
1
и после выполнения интегрирования имеем
где
ки 1 в точку 2.
чения
сированных сил. При этом тело движется по траектории произвольной формы. Найдем работу этих сил.
AFS
2
S
12
— путь, пройденный телом при его перемещении из точ-
1
Связь работы и кинетической энергии.
Теорема о кинетической энергии
cos( ),
12
Рассмотрим тело массой m, скорость которого изменяется от зна-
V
до значения
1
в результате действия нескольких нескомпен-
2
По определению элементарной работы (1.16):
dA Fd S=
,
33
1. Механика
F
2
22
KK
2
2
где
— равнодействующая всех сил, действующих на тело. Согласно
второму закону Ньютона (1.15) и определению ускорения (1.3):
Fmam
= = .
dV
dt
Тогда
dA m
dVdS
dt
m
dS
dt
dV
dS
т. к. ,см. (1 ..4)
V
dt
mVdV mdV
1
2
Поскольку масса тела (при условии его целостности) и множитель
1/2 — постоянные величины, внесем их под знак дифференциала:
2
dA d
Здесь введено обозначение
K =
mV
mV
K.
d
2
2
(1.17)
.
Выполняя далее интегрирование выражения (1.17) в пределах
от первого состояния тела (характеризуемого значением скорости
до второго (характеризуемого значением скорости
2
Ad
12
1
2
mV
222
2
mV mV
2
2
1
V
), получим
2
.
(1.18)
2
.
V
)
1
Как следует из (1.18), в процессе совершения работы изменяется
некая скалярная величина К, зависящая от скорости тела. Эта величина называется кинетической энергией.
Кинетическая энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершить работу за счет его движения,
численно равная
2
mV
К =
.
(1.19)
Следует отметить, что как из (1.17), так и из (1.18) вытекает выражение для кинетической энергии вида:
2
mV
K
34
const,
1.2. Динамика поступательного движения
2
h
h
mg
где const — произвольная постоянная величина, значение которой выбирается равным нулю по той причине, что при нулевом значении скорости тело не может совершить работу за счет своего движения. В соответствии с этим кинетическая энергия определяется выражением (1.19).
Равенства (1.17) и (1.18) являются математической записью теоремы о кинетической энергии в дифференциальной и интегральной
формах соответственно.
Теорема о кинетической энергии: механическая работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии
Полезное соотношение:
mV
m
2
2
p
,
m
2
mV
K
222
где p — импульс тела.
Свойства кинетической энергии:
1) кинетическая энергия всегда больше или равна нулю — К ≥ 0;
2
mV
2) формула
K =
— универсальна для расчета кинетической
энергии (в случае значения скорости много меньше скорости света);
3) кинетическая энергия суммы тел равна сумме кинетических
энергий каждого из этих тел.
Связь работы и потенциальной энергии.
Теорема о потенциальной энергии
Теорему о потенциальной энергии, в отличие от теоремы о кинетической энергии, невозможно доказать в общем случае, поэтому докажем ее на примерах. Для этого рассмотрим работу конкретных сил.
Потенциальная энергия и работа силы тяжести. Вычислим работу
силы тяжести при перемещении тела с высоты
на высоту
1
по про-
2
извольной траектории. При этом в рассматриваемом примере h1 < h2
(рис. 1.15), вследствие чего угол (α) между вектором силы тяжести (
и вектором перемещения — тупой. Поэтому введем в рассмотрение
еще один угол β = π — α.
Согласно (1.16) элементарная работа силы тяжести может быть записана в виде:
dA mgdS mgdS mgdS mgdS
cos( )cos() cos( ).
35
)
1. Механика
h
h
h
0
21
ПП
2
β
1
mg
Рис. 1.15
dS
α
Произведение dScos(β) — проекция вектора элементарного пере-
мещения на ось высоты, т. е. dScos(β) = dh, где dh — приращение (изменение) высоты, а знак минус обусловлен тем, что в рассматриваемом примере вектор перемещения образует с вектором силы тяжести
тупой угол. Тогда
dA mgdh.
Интегрируя это выражение от начального до конечного положе-
ния тела, получим
2
AdAmgdhmgh mgh
1
2
1
21
.
(1.20)
Таким образом, работа силы тяжести равна взятому с обратным
знаком изменению некой скалярной величины П. Эта скалярная величина называется потенциальной энергией, в данном примере — по-
тенциальной энергией силы тяжести. Из равенства (1.20) следует, что
потенциальная энергия силы тяжести определяется выражением
П = mgh + const,
где const — произвольная постоянная величина, значение которой
обычно выбирается так, чтобы в точке начала отсчета высоты (h = 0)
потенциальная энергия силы тяжести равнялась бы нулю (П(h = 0) =
= mg · 0 + const = 0 ⇒ const = 0).
В заключение следует отметить тот факт, что форма траектории (движения тела) никак не была отражена при выводе соотношения (1.20),
а следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории.
36
1.2. Динамика поступательного движения
Fk
x
2
2
21
ПП
x
x
x
2
Потенциальная энергия и работа силы упругости. Теперь вычислим
работу силы упругости при растяжении пружины.
Сила упругости описывается законом Гука:
x
,
упр
где
— вектор деформации, k — коэффициент жесткости.
Согласно (1.16), закону Гука и тому факту, что векторы деформации и перемещения совпадают (рис. 1.16), элементарная работа силы
упругости может быть записана в виде
dA Fd SFdS dS dx Fdxkxd x
// ,
k
dx
kdx
2
.
2
Тогда, интегрируя элементарную работу от начального до конечного состояния пружины (при условии неизменности коэффициента жесткости), получим:
2
k
A
12
22
dx
22 22
1
2
k
dx
1
2
kx kx
2
2
1
.
(1.21)
2
с обратным знаком изменению некой скалярной величины П. Эта скалярная величина — потенциальная энергия силы упругости. Из равенства (1.21) следует, что потенциальная энергия силы упругости определяется выражением
где const — произвольная постоянная величина, значение которой
обычно выбирается так, чтобы в отсутствие деформации (х = 0)
Рис. 1.16
Как и в случае силы тяжести работа силы упругости равна взятому
2
kx
П
const,
37
1. Механика
= =
2
00
h
2
xd
потенциальная энергия силы упругости равнялась бы нулю (
2
k 0
constconst
).
П( )x
0
В заключение вновь следует отметить, что согласно (1.21) работа
силы упругости не зависит от формы траектории.
Как видно из рассмотренных выше примеров, в природе существуют силы, работа которых не зависит от формы траектории и определяется только конечным и начальным положениями тела. Такие силы
называются консервативными.
Консервативная сила — сила, работа которой не зависит от формы
траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела.
Обобщим на случай произвольной консервативной силы равенства (1.20) и (1.21), полученные на примерах сил тяжести и упругости, в форме теоремы.
Теорема о потенциальной энергии: работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:
dA d
консерв
П,
(1.22)
где П — потенциальная энергия.
Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершить работу за счет его взаимодействия с другими телами. Потенциальная энергия определяется
не только взаимным положением тел (т. е. их координатами), но и природой сил их взаимодействия (для силы тяжести
2
kx
упругости
П =
), поэтому записать универсальную формулу для
П=mg
, а для силы
ее расчета невозможно.
Свойства консервативных сил представлены ниже.
1. Связь консервативной силы и потенциальной энергии, созда-
ваемой этой силой.
Пусть некая консервативная сила действует строго вдоль и по направлению оси Ох. Подставляя (1.16) в (1.22) и раскрывая скалярное
произведение, получим
Fd
консерв
38
П
или
dx
dr
grad
)fr
1.2. Динамика поступательного движения
F
консерв
d
П.
dx
Учитывая, что сила направлена вдоль оси Ох, перепишем это ра-
венство в векторном виде:
d
F
консерв
i
где
– единичный вектор, направленный по оси Ох.
П
i
,
Обобщая последнее равенство на случай произвольно направлен-
ной силы, имеем
d
П.
— оператор градиента17,
z
ijk,,
—
Здесь
d
grad i
dr
F
консерв
j
x
k
y
единичные вектора, направленные вдоль осей x, y, z соответственно.
2. Консервативная сила направлена в сторону максимально быстрого уменьшения потенциальной энергии с изменением координат (проявлением этого свойства является тот факт, что тело стремится скатиться с горы, а не закатиться на гору).
3. Работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории равна нулю:
жения тела совпадают, то П
ская, гравитационная и т. д.
т. е. силы, которые приводят к переходу механической энергии в тепло или другие виды энергии.
строго возрастания функции с изменением ее аргумента.
Ad
ППП
коннач
0.
Поскольку на замкнутой траектории начальное и конечное поло-
нач
= П
кон
.
Примеры консервативных сил: силы тяжести, упругости, кулонов-
Примеры неконсервативных сил: силы трения и сопротивления,
Свойства потенциальной энергии рассмотрены ниже.
17
Вектор градиента функции (
((
) направлен в сторону максимально бы-
39
1. Механика
1. Значения потенциальной энергии определены с точностью до произвольной константы. Другими словами, начало отсчета потенциальной
энергии может быть выбрано произвольно. Попробуйте ответить на вопросы: чему равно значение потенциальной энергии тела, поднятого
на высоту h над поверхностью земли? А если под ним яма глубиной h1?
2. Потенциальная энергия может быть как больше, так и меньше нуля или, более того, изменять свой знак с изменением координаты (если выбрать за начало отсчета потенциальной энергии силы тяжести поверхность земли, то значение потенциальной энергии тела,
опущенного в яму, будет отрицательно, а поднятого над землей — положительно). Обычно начало отсчета потенциальной энергии выбирается так, чтобы потенциальная энергия сил притяжения была отрицательна, а сил отталкивания — положительна.
3. Аддитивность. Потенциальная энергия суммы тел (системы тел)
равна сумме потенциальных энергий каждого тела. При этом следует иметь в виду, что тела обладают потенциальной энергией не только
вследствие их взаимодействия с неким другим телом, но и между собой.
Так, два тела, помещенные в поле сил тяжести Земли, обладают энергиями их взаимодействия не только с Землей — mgh1 и mgh2, но и друг
с другом — П12 и П21, где П12 и П21 — потенциальные энергии взаимодействия первого тела со вторым и второго с первым (очевидно, что П12 равна П21). Тогда потенциальная энергия первого тела равна mgh1 + П12,
второго — mgh2 + П21, их суммарная потенциальная энергия — mgh1 + П12 +
+ mgh2 + П
Таким образом, суммарная потенциальная энергия тел, ис-
21.
пытывающих действие некой внешней силы (в рассмотренном примере
силы тяжести), не равна сумме потенциальных энергий каждого из этих
тел, находящихся в поле данной силы по отдельности, а содержит еще
потенциальные энергии их взаимодействия между собой.
1.2.5. Закон сохранения и превращения
механической энергии
Согласно гл. 1.2.4 тело может обладать как кинетической (если оно
движется), так и потенциальной (если оно взаимодействует с другими телами) энергиями. Очевидно, что этими двумя энергиями тело
может обладать одновременно (например, падающее тело). Сумма
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]