Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
AB
()
А
Поставим следующие вопросы — как молекулярная физика объясняет уравнение Клапейрона — Менделеева и газовые законы? Какие
понятия вводятся для ответа на этот вопрос?
Введем модельную систему под названием идеальный газ. Идеаль-
ным газом назовем физическую систему, составленную из невзаимодействующих материальных точек, находящихся в хаотическом движении. Эта модель позволит нам понять физическую природу давления
газа на стенки сосуда как результат передачи импульса хаотического
движения молекул (вместо молекул рассматриваются материальные
точки) при ударах о стенки сосуда. При рассмотрении других свойств
газов модель идеального газа будет усложняться.
Разберемся сначала с вопросом о скоростях движения газовых молекул.
3.1.4. Опыт Штерна
В 1920 г. немецкий физик О. Штерн поставил опыт по экспериментальному определению скоростей молекул. Рассмотрим схему опыта
(рис. 3.1). На оси двух цилиндров находится вольфрамовая проволока, покрытая тонким слоем серебра. Внутренний цилиндр имеет прорезь вдоль образующей. Когда проволоку нагревают,
серебро испаряется и оставляет узкий след (точка А)
на внутренней поверхности большого цилиндра.
Если цилиндры привести в быстрое синхронное
вращение и вновь нагреть проволоку, то след осадка
из атомов серебра окажется смещенным в противоположную вращению сторону и размытым. Смещение следа происходит из-за того, что за время полета
Рис. 3.1
атомов от внутреннего цилиндра к внешнему последний успевает повернуться. Размытие следа связано с тем, что скорости
атомов серебра, вылетающих из прорези, неодинаковы.
Введем обозначения радиусов цилиндров R и r и угловой скорости
вращения ω = 2πn, которая измерялась в этих опытах. По измеренному значению расстояния АВ можно вычислить усредненную скорость
молекул:
2ÀnR rR
.
91
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
N
()
υ υ+dυ
υ
Вывод этой формулы сделайте самостоятельно.
Скорости атомов серебра согласно этим опытам оказались равны-
ми нескольким сотням метров в секунду.
Заметим, что в опыте Штерна измеряется скорость, близкая к среднеарифметической, но не равная ей. Это связано с тем, что газ атомов
серебра, испарившихся с нити, не находится в равновесном состоянии. В условиях глубокого вакуума в установке концентрация серебра
незначительна, и атомы серебра не успевают столкнуться друг с другом достаточное число раз для установления равновесного состояния.
3.1.5. Распределение Максвелла (закон распределения
молекул идеального газа по скоростям и энергиям
теплового движения)
Теперь выясним, как решает вопрос о скоростях молекул молекулярно-кинетическая теория. В первую очередь разберем важную в молекулярной физике проблему: как молекулы распределены по скоростям теплового движения. Ясно, что скорости разных молекул
в случайный момент разные. Или одна молекула в результате соударений с другими молекулами в разные моменты времени имеет различные значения скорости.
Для описания распределения молекул по скоростям физика вводит специальные язык и понятия. Введем понятие
Рис. 3.2
функция распределения.
Представим ось скоростей для молекул, на которой выделим узкий интер-
вал от скорости υ до скорости υ + dυ (рис. 3.2). Число молекул, скоро-
сти которых лежат в этом интервале, обозначим dN (υ). Отношение
этого числа к полному числу N молекул рассматриваемого идеально-
dN
υ
го газа
— относительное число молекул, скорости которых ле-
жат внутри выделенного узкого интервала. Разделив это отношение
на ширину интервала, получим функцию распределения F(υ) (или
плотность распределения) молекул по модулю скорости теплового движения:
92
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
().
p,
22
Fd
F(υ)
′
y
′
x
()
dN
(3.3)
F
Nd
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид этой
функции для равновесного состояния идеального газа:
32
здесь m
0
kT
/
m
() ex
F
— масса одной молекулы; k — постоянная Больцмана.
0
4
2
2
m
0
kT
(3.4)
Остановимся на смысле этой функции распределения. Она представляет собой плотность распределения, т. е. показывает, как плотно группируются молекулы вблизи разных
скоростей. Функция имеет смысл относительного числа частиц, скорости которых лежат в единичном интервале скоростей. Из формулы (3.4) видно, что при
υ = 0 функция F (υ) обращается в ноль,
что означает отсутствие в системе покоящихся молекул.
С другой стороны, при υ → ∞ эта
υ
в
υ
функция также обращается в ноль,
т. е. в системе отсутствуют частицы с бес-
Рис. 3.3
конечно большими скоростями (рис. 3.3).
Увеличение множителя υ 2 с ростом скорости и уменьшение при этом
экспоненты приводят к формированию максимума вблизи некоторого значения скорости υ
(рис. 3.3). Это означает, что вероятность обна-
в
ружить молекулу со скоростью υ вблизи этого значения максимальна.
С помощью рассматриваемой функции удобно подсчитывать число молекул, скорости которых лежат в любом интервале скоростей.
Так, используя общее определение плотности распределения (3.3), можем записать: F (υ)dυ — относительное число частиц со скоростями
вблизи υ внутри интервала dυ, NF (υ)dυ — абсолютное число таких ча-
стиц. Тогда для произвольного интервала скоростей от υ
2
чим число частиц
NN
12
,
()
1
. На графике (рис. 3.3) оно отобра-
до υ2 полу-
1
жается площадью заштрихованного участка.
93
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
Fd
22
N
Fd
,.
Если в качестве пределов интегрирования принять значения υ1 =
= 0 и υ2 → ∞, то получим N
NN
и
()
0
, откуда
= N — общее число частиц в системе
1, 2
Fd() .
0
1
(3.5)
Условие (3.5) носит название условие нормировки, которому по опре-
делению удовлетворяет функция распределения.
С помощью функции распределения рассчитывают различные ус-
редненные скорости: наиболее вероятную υ
υ
, среднюю квадратичную
υ
.
кв
, среднеарифметическую
в
Для расчета наиболее вероятной скорости берут производную
от F(υ) (формула (3.4)) по скорости υ и приравнивают эту производную к нулю. Из полученного уравнения находят
в
kT
m
0
RT
.
(3.6)
M
Получим формулу для этой скорости с помощью функции распределения. Для этого возьмем число молекул в узком интервале dυ скоро-
стей — NF (υ)dυ, умножим его на значение скорости для этого интер-
вала υNF (υ)dυ (получили сумму скоростей на этом интервале)
и проинтегрируем по всему интервалу скоростей от 0 до ∞, получая
сумму всех скоростей молекул
Разделив эту сумму на общее число молекул N, получим
Используя таблицы интегралов, найдем
94
Среднеарифметической скоростью называют такую величину:
12
kT
88
m
0
0
...
N
.
(3.7)
NF d()
, т. е. числитель дроби (3.7).
RT
M
113
в
0
()
.
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
,.
вк
0.001
0
300
600
900
V, м/с
T = 300 K
T = 900 K
F(V)
Средней квадратичной скоростью называют величину
N
1
N
i
2
.
i
1
кв
Проводя такие же рассуждения, как и для среднеарифметической
скорости, получают формулу, известную со школьной программы:
kT
33
кв в
m
0
RT
M
122
Полученные скорости для любого газа при какой-либо температуре мало отличаются друг от друга, располагаясь в последовательности
.
Для молекул азота и кислорода при комнатных
в
температурах эти скорости имеют порядок нескольких сотен метров
в секунду, что близко к скорости звука в воздухе, а также к результатам опытов Штерна.
Повышение температуры газа увеличивает скорости молекул. Возрастает число молекул с большими скоростями, а число молекул с малыми скоростями уменьшается. Максимум функции распределения смещается в сторону больших скоростей (рис. 3.4). При этом площадь под
кривой f (υ) остается неизменной и равной 1 (условие нормировки (3.5)).
Рис. 3.4
Попробуйте самостоятельно построить кривые F (υ) для двух разных
газов (с разными массами молекул) при одной и той же температуре.
Для решения задач на определение числа молекул, скорости которых лежат в некотором задаваемом интервале скоростей, удобно перейти от абсолютных значений скоростей к использованию их отно-
95
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
eu
22
dm
12
Te
сительных значений. Под относительной скоростью будем понимать
величину u = υ / υв, где υв — наиболее вероятная скорость (3.6). Использование относительной скорости позволяет записать вместо функ-
ции F(υ) функцию F(u). Эта новая функция имеет смысл
Fu
()=
dN
Ndu
относительного числа частиц ∆N / N, скорости u которых лежат в еди-
ничном интервале относительных скоростей.
Эта функция имеет вид:
2
4
u
Fu
() .
2
(3.8)
Формула (3.8) получается после подстановки υ = u / υ
в правую
в
часть (3.4). Видно, что в формулу (3.8) не входит температура газа в явном виде, что позволяет приводить значения функции F (u) в негромоздких таблицах.
Разные скорости молекул соответствуют и разным кинетическим
энергиям. Исходя из функции распределения молекул по скоростям,
нетрудно перейти к функции распределения по значениям кинетической энергии ε. Для этого в выражение
32
dN NF dN
4
вместо переменной υ подставим
2
dN
() () ,
N
kT ed NF d
/
m
/
32
0
kT
/
12
2
m
µ
и
0
kT
2
2
m
0
kT
0
d() () exp
/
и получим
2
где dN(ε) — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от ε до ε + dε. Функция распределения (или плотность распределения) молекул по энергиям теплового движения имеет вид
96
Fk
() .
2
32
/
/
12
kT
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
ed
//
Смысл этой функции — относительное число молекул, скорости
которых лежат в единичном интервале энергий вблизи энергии ε.
3.1.6. Средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул
В гл. 3.1.5 мы научились составлять выражение для среднего значения физической величины, используя функцию распределения. Воспользуемся этим приемом и запишем
/
Fd kT
0
() .
2
/
32
0
/
32
kT
Значение интеграла найдем в таблицах и получим
2343
µ
À
32 52
kT kT kT
À
2
,
(3.9)
что совпадает с ранее введенным выражением (3.1).
3.1.7. Молекулярно-кинетический смысл температуры
Температура в физике имеет многогранный смысл. Так, температура выражает объем термометрического вещества, когда для ее измерения используют газовый или жидкостный термометры. С другой стороны, она отражает условия равновесия фаз в тройных точках
стандартных веществ (водорода, кислорода, воды и др.) и степень отступления от этих точек. Но не менее важно и то, что полученное выражение (3.9) позволяет придать температуре смысл параметра, определяющего среднюю энергию теплового движения частиц вещества.
Эта связь, как видно из (3.9), осуществляется с помощью постоянной
Больцмана k и коэффициента 3/2.
Постоянная Больцмана перекидывает мост между макроскопическим миром с его физическими приборами и микромиром молекул
и атомов, которые физика может изучать с помощью приборов, состо-
97
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
z
y
x
ящих из атомов и молекул. Эту постоянную можно было бы сделать
большей в полтора раза, что упростило бы вид формулы (3.9). Однако, как будет видно в дальнейшем, коэффициент 3/2 в этой формуле
удобен для отражения трехмерности поступательного движения молекул в пространстве.
Понятие температуры в курсе физики будет развиваться. К этому
понятию мы вернемся при изучении теплового излучения и при рассмотрении распределения молекул в силовых полях (гл. 3.1.13).
3.1.8. Число степеней свободы движущихся молекул
Для анализа движения молекул необходимо выявить составляющие
этого движения. Введем понятие число степеней свободы (обозначение i)
для молекул газа, под которыми будем понимать число независимых координат, необходимых для задания положения молекулы в пространстве. В случае идеального газа молекулы моделируются материальными
точками. Для описания положения материальной точки в пространстве
достаточно задать всего три координаты (i = 3), поэтому для модели идеального газа число степеней свободы принимаем равным трем.
Когда речь идет о тепловом движении молекул азота, водорода, метана и многих других газов, модель материальных точек становится
недостаточной, неадекватной и нуждается в усложнении. Молекулы
двухатомных газов, таких как водород H2, кислород О2, азот N2 и других, удобно представлять не одной, а двумя материальными точками, которые находятся на фиксированном расстоянии друг от друга
(рис. 3.5).
Для описания положения центра тяжести такой «гантели» надо задать три независимые координаты. Кроме того, для задания ориентации оси молекулы необходимы
еще три числа, например значения направляющих косинусов прямой в пространстве.
Рис. 3.5
Из этих трех косинусов независимы
только два (вспомним, что cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1). В итоге получается,
что двухатомной молекуле следует приписать пять степеней свободы (i
= 5). Из них первые три связаны с поступательным движением центра
98
3.1. Основные представления молекулярно-кинетической теории
z
y
x
масс молекулы, а две оставшиеся — с возможными вращениями молекулы вокруг любой пары осей.
В этой модели полагают, что вращения молекулы вокруг собственной оси несущественны. Кроме того, предполагается, что отсутствуют
колебания атомов относительно центра масс. Ограниченность такого
предположения существенна при высоких температурах, когда колебания атомов в двухатомной молекуле имеют место и четко наблюдаются по оптическим спектрам.
Для многоатомных молекул (модель молекулы метана СН4 представлена на рис. 3.6) необходимо задать уже
шесть чисел. Три из них описывают положение центра масс, еще три — расположение «тела» молекулы относительно
координатных осей. Таким образом, получаем шесть степеней свободы: три от-
Рис. 3.6
носятся к поступательным движениям, три — к вращательным.
Здесь также необходимо отметить, что колебания атомов внутри молекулы не учитываются, что допустимо при невысоких температурах.
В итоге получаем следующую табл. форму для числа степеней свободы.
Число атомов в молекуле Число степеней свободы, i
1 (He, Ar, Ne, ...) 3
2 (H
, N2, O2, ...) 5 (3 + 2)
2
3 и более 6 (3 + 3)
Для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения.
3.1.9. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы молекул. Средняя энергия,
соответствующая одной степени свободы
Очевидная эквивалентность трех базовых направлений в пространстве (т. е. координатных осей x, y, z) позволяет заключить, что средние
энергии поступательного движения молекулы вдоль этих направле-
99
3. Физические основы молекулярной физики и термодинамики
2
2
ний совпадают. Зная среднюю энергию, приходящуюся на три сте-
3
kT,
пени свободы поступательного движения (
формула (3.1)),
получаем, что на каждую степень свободы приходится втрое меньшая
1
kT
величина
.
Исходя из общих представлений о природе систем, состоящих
из большого числа частиц, статистическая физика доказывает важную теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы этих систем. Применительно к молекулам газа, для теплового
движения которых характерно как поступательное, так и вращательное движение, это утверждение сводится к тому, что на любую степень
свободы молекулы приходится в среднем одна и та же энергия kT / 2.
Получаем, что на i степеней свободы приходится в i раз большая
средняя энер гия, и записываем важную формулу для полной средней энергии теплового движения молекулы газа в равновесном состоянии:
ikT2.
При решении задач значение i следует брать из табл. формы на с. 99.
3.1.10. Основное уравнение молекулярно-кинетической
теории идеального газа для давления
Давление газа, в соответствии с МКТ, является результатом передачи импульсов молекул стенке сосуда при упругих ударах. Напомним, что под молекулами в модели идеального газа подразумеваются
просто материальные точки, которым формально приписаны масса
m0 и хаотическое движение без взаимодействия между ними. Выве-
дем на основе этого представления основное уравнение МКТ — формулу для давления (р).
Пусть идеальный газ находится в сосуде цилиндрической формы
с основанием площади (S) (рис. 3.7). Движение молекул можно представить состоящим из шести эквивалентных потоков вдоль положительных и отрицательных направлений осей координат.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]