Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
1.3. Вращательное движение
0
LM
ii
0
0
0
t
2
VR
ii
22
ii
2
22
ik
кону Ньютона (см. сноску 27 на с. 57) —
ik
M
внутр
, перепишем ре-
зультат этого суммирования к виду
N
dt
d
i
N
.
i
(1.56)
11
Из последнего равенства вытекает третий по счету закон сохранения в механике — закон сохранения момента импульса: если на систему тел не действуют моменты внешних сил или их действие компен-
N
M
сировано (т. е. если
), то суммарный вектор моментов
i
1
i
импульса этих тел остается постоянным28.
Действительно, согласно (1.56), если
L
довательно,
Кинетическая энергия вращающегося тела
iN
1cons
i
.
N
i
M
, то
i
1
dt
N
d
L
i
, а сле-
i
1
Рассмотрим тело, вращающееся (в данный момент времени) с угловой скоростью ω. Так же, как это было сделано в гл. 1.3.2, разобьем
тело на очень маленькие фрагменты (рис. 1.26) и запишем кинетическую энергию некоторого (i-го) кусочка:
dmV
K
=
i
i
.
(1.57)
Затем, переписав (1.57) через угловые переменные
2
,
получим
28
эквивалентности всех направлений в пустом пространстве. Попробуйте однозначно
указать, где право, а где лево, где передняя сторона, где задняя. Затем, повернувшись
на пол-оборота, вновь укажите эти направления.
1
KdmR
Данный закон сохранения является следствием изотропности пространства, т. е.
.
61
1. Механика
О
ω
1
r
V
dm
ii
22
RJ
2
Причем ω — одинаково для всех точек тела.
Рис. 1.26
Выполнив суммирование по всем точкам тела, найдем его кинети-
ческую энергию:
1
KK dmR
2
ii
.
В этом равенстве фигурирует уже известная сумма (см. (1.54)) —
2
dm
— момент инерции тела. Таким образом, выражение для
i
i
кинетической энергии вращающегося тела может быть записано как
2
KJ
(сравните с (1.19)).
Работа момента силы
Элементарная работа (см. (1.16)) задается выражением
dA FdS=
.
Перепишем это выражение через момент силы. Поскольку (см. (1.39))
,
dS dR
62
1.3. Вращательное движение
ab
21
то в смешанном произведении векторов допустимы циклические перестановки (
cbca cab
):
.
В свою очередь,
RF M
dA dRF
— моменту силы. Таким образом, окон-
чательно получим
dA Md
Если ось вращения единственна, то
.
(1.58)
Md Md Md
cos
z
а следовательно,
где M
dA Md
— проекция момента силы на ось вращения (см. рис. 1.24). При
z
,
(1.59)
z
этом работа будет положительна, если сила способствует вращению
(вектор момента силы сонаправлен с вектором углового перемещения), и отрицательна в противном случае.
В заключение отметим, что в соответствии с (1.58) теорема о кинетической энергии выполняется и для вращательного движения. На самом деле
,
dA Md Jd J
d
dJ
dt
Jd Jd d
1
2
2
2
JJdК
2
d
dt
.
(1.60)
Интегрируя (1.54), найдем, что
2
AdКK K
,
12
1
т. е. и в случае вращения работа равнодействующего момента всех сил,
действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.
С учетом последнего закон сохранения и превращения механической
энергии обобщается как на случай вращающегося, так и на случай
63
1. Механика
22
22
катящегося (т. е. одновременно вращающегося и движущегося поступательно) тела. В таком случае кинетическая энергия определяется
выражением
K
mV J
,
т. е. кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетических
энергий его поступательного и вращательного движений.
Вопросы для самоконтроля к главе 1
1. Каковы отличия определений понятий «пройденный путь»
и «перемещение»? В каком случае перемещение равно нулю при ненулевом значении пройденного пути?
2. Каковы отличия определений понятий «мгновенная скорость»
и «средняя скорость»? При каком условии эти скорости совпадают?
3. Дайте определения мгновенного и среднего ускорения. Напишите классификацию видов поступательного движения.
4. В чем заключается отличие тангенциального и нормального ускорений? Как определяется полное ускорение при криволинейном движении?
5. Какими величинами описывается вращательное движение? Как
связаны угловые и линейные характеристики движения?
6. Как определяются и рассчитываются силы тяжести, реакции
опоры, трения?
7. Как определяется результирующая сила в случае, когда на тело
действует несколько сил? Перечислите правила сложения векторных
величин.
8. Как связаны результирующая сила, действующая на тело,
и ускорение движения этого тела?
9. Сформулируйте определения понятий «механическая работа»
и «мощность». В каких единицах они измеряются?
10. Дайте определения кинетической, потенциальной и полной механической энергии. Сформулируйте закон сохранения механической
энергии.
64
1.3. Вращательное движение
11. Дайте определения понятиям «импульс тела» и «системы тел».
Как связаны изменение импульса тела и равнодействующая сил, действующих на это тело? Сформулируйте закон сохранения импульса.
12. Дайте определения понятий «момент инерции материальной
точки» и «абсолютно твердое тело»?
13. Что такое момент силы? Что он характеризует и как определить
его направление? В каком случае момент силы равен нулю?
14. Как связаны результирующий момент сил, действующих на тело,
момент инерции и угловое ускорение тела (основное уравнение динамики вращательного движения)?
15. Что такое момент импульса? Как связано изменение момента
импульса тела с действующим на него моментом силы? Запишите закон сохранения момента импульса. При каком условии выполняется
закон сохранения момента импульса?
16. Как рассчитывается работа сил при вращении тела?
17. Как рассчитывается кинетическая энергия вращательного движения?
18. Как рассчитывается кинетическая энергия сложного (поступательно-вращательного) движения?
65
2. Специальная теория
V
относительности
Специальная теория относительности — современное учение о пространстве и времени, пространственно-временных зависимостях различных физических величин.
Отличительной чертой специальной теории относительности
от всего изложенного выше является описание движения тела со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Получающиеся при этом
результаты находятся в кажущемся противоречии с нашим обыденным опытом. Однако все выводы специальной теории относительности нашли свое подтверждение на эксперименте, в частности при
изучении движения элементарных частиц в ускорителях. Наиболее известными экспериментальными подтверждениями специальной теории относительности являются взрыв атомной бомбы и существование магнитного поля электрического тока.
2.1. Преобразования Галилея
В основе ньютоновской механики (описывающей движение частиц со скоростями много меньшими скорости света) лежит принцип
относительности Галилея, который утверждает, что никакими механическими экспериментами, проведенными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно определить, движется она или покоится.
Или, другими словами, все законы Ньютона инвариантны, т. е. неизменны при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.
Рассмотрим две инерциальных системы отсчета (рис. 2.1), оси Ох
и О′x′ которых параллельны. Пусть одна из них условно покоится (система О′), а другая (система О) движется относительно первой прямоли-
нейно и с постоянной скоростью
66
, направленной вдоль осей Ох и O′x.
2.1. Преобразования Галилея
rVt
rrVt
lx xxVt xVtx xl
,
tt
tt
Рис. 2.1
Считая, что в начальный момент времени (t = 0) начала отсчета этих
систем совпадали, запишем правила преобразования координат точки М при переходе из одной системы отсчета в другую (см. рис. 2.1),
сведя их в табл. форму.
Преобразования Галилея
O → O′ O′ → O
x′ = x + Vt
y′ = y
z′ = z
x = x′ − Vt
y = y′
z = z′
Для радиус-вектора:
O → O′ O′ → O
Следствия из преобразований Галилея.
1. Инвариантность длин. Результат измерения длины одинаков
во всех инерциальных системах отсчета:
т. е. пространство — абсолютно.
2. Инвариантность интервалов времени. Т. к.
мерения интервала времени, разделяющего два события, одинаков
во всех инерциальных системах отсчета:
т. е. время — абсолютно.
rixjykz
ix Vt jy kz
t′ = t
m′ = m
m = m′
21 2121
tt tt
21 21
,
(2.2)
t = t′
(2.1)
результат из-
67
2. Специальная теория относительности
V
dt
vvV
.
t
0
3. Преобразование скорости. Пусть тело движется относительно
инерциальной системы О со скоростью v, направленной вдоль оси Ох.
В свою очередь система О движется относительно другой инерциаль-
ной системы О′ прямолинейно и с постоянной скоростью
, направ-
ленной вдоль осей Ох и O′x (эти оси параллельны). Тогда, согласно
преобразованиям Галилея, скорости движения этого тела относительно систем отсчета О′ и О связаны следующим преобразованием:
dr Vt
dr
dt
dt
v
.
V
т. к. const
dr
VvV
dVt
dt
dt
V
dt
(2.3)
Обратное преобразование скоростей очевидно имеет вид:
4. Инвариантность ускорения. Величина ускорения, измеренная
во всех инерциальных системах отсчета, — одинакова и не зависит
от скорости их движения.
Действительно, в соответствии с (2.3), имеем
dv
dt
dV
dt
dv V
dt
=
.
dv
dt
a
,
т. к.
V�= cons
a
, следовательно
2.2. Постулаты специальной
теории относительности
В основе специальной теории относительности лежит ряд экспериментов по измерению значения скорости света, устанавливающих
ее независимость от скорости движения источника или приемника света.
68
2.2. Постулаты специальной теории относительности
2 .
cc
12
=
cc
12
=
V
1
V
2
Земля
С2 С1
V
Земля
Опыт Бонч-Бруевича
В данном эксперименте измерялась разность скоростей света, идущего от звезд, образующих двойную звезду. Двойная звезда — это две
звезды, вращающиеся с некоторой линейной скоростью V относитель-
но общего центра масс (рис. 2.2).
Согласно преобразованиям Галилея (см. табл. форму на с. 67) скорости света, излученного первой и второй звездой, должны отличаться на удвоенное значение линейной скорости вращения звезд:
cc V
21
Однако было установлено, что
.
Опыт Майкельсона и Морли
Цель этого эксперимента заключалась в измерении скорости движения Земли по орбите путем измерения разности скоростей распространения света по направлению и против направления ее движения29
(рис. 2.3).
В соответствии с преобразованиями Галилея (см. табл. форму
на с. 67) значение этой разности должно быть равным
cc V
21
Однако было установлено, что
2
.
. Согласно
этим двум экспериментам и многим другим, проведенным позже, скорость света не зависит от скорости движения его источника или приемника.
Одна из первых попыток объяснения независимости значения скорости света от направления
его распространения, наблюдаемая в экспери-
Рис. 2.2
менте Майкельсона и Морли, была предпринята голландским физиком Г. А. Лоренцем. Лоренц
в 1892 г. в своей работе «Относительное движение
Земли и эфира» высказал предположение, что длина тела вдоль направления его движения сокращается. В последующих работах Лоренцем была развита электромагнитная теория этого сокращения
Рис. 2.3
29
Здесь и ниже излагается лишь суть эксперимента Майкельсона и Морли и вы-
воды, сделанные по его результатам.
69
2. Специальная теория относительности
и записаны преобразования координат и времени при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Теория Лоренца была
поддержана и развита в работах Д. Д. Томсона, установившего зависимость массы электрического заряда от скорости его движения; Д. Лармора, получившего формулу сложения скоростей; А. Пуанкаре, сформулировавшего второй постулат специальной теории относительности.
Однако в рамках данного подхода рассматривались лишь электромагнитные силы, а все предсказываемые эффекты (например, зависимость
массы от скорости) связывались с наличием нескомпенсированного электрического заряда и ограничивались лишь электромагнитными явлениями.
Обобщение теории Лоренца на неэлектромагнитные силы и явления было осуществлено А. Эйнштейном. В своих первых работах
«К электродинамике движущихся сред» и «Зависит ли инерция тела
от содержащейся в нем энергии» А. Эйнштейн показал, что сокращение длин, замедление времени, зависимость массы от скорости и сами
преобразования Лоренца являются фундаментальными свойствами
пространства и времени, а не следствиями действия электромагнитных сил, и вывел свое знаменитое соотношение между массой и энергией. Теория А. Эйнштейна получила название специальной (частной)30
теории относительности, поскольку в ней рассматриваются только
инерциальные системы отсчета, т. е. системы отсчета, движущиеся
с постоянной по величине и направлению скоростью. В дальнейшем
А. Эйнштейном, совместно с М. Гроссманом, была сформулирована
общая (обобщенная) теория относительности, основным результатом
которой является вывод о том, что сила гравитационного притяжения — это следствие кривизны пространства.
Специальная теория относительности, сформулированная А. Эйнштейном, базируется на двух, вытекающих из экспериментов, постулатах:
1) никакими физическими экспериментами, проведенными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно определить, движется она или покоится. Этот постулат является обобщением принципа
относительности Галилея;
2) скорость распространения света в вакууме постоянна и не зависит от скорости движения его источника или приемника.
30
В оригинале.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]