Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление строительными проектами методами математического моделирования. Монография
.pdf
Использование показателей качества распределения ресурсов,
.;;
;
1
;
max;
332211
321
321
3
3
3
2
2
2
1
1
1
bKxbKxbKx
Мxxx
А
Cxxx
b
x
W
b
x
W
b
x
W
.;;
;
1
;
max;
332211
321
321
3
3
2
2
1
1
3
21
bKxbKxbKx
Мxxx
А
Cxxx
b
x
b
x
b
x
W
WW
вычисляемое по формулам (3.8) и (3.9), позволят осуществлять оперативное
планирование и прогнозирование поставками ресурсов в будущем в
зависимости от экономической обстановки.
Следует отметить, что представленная модель распределения ресурсов
применяется для одного, определенного их типа. Если имеется несколько видов
ресурсов, то для каждого составляется своя модель, которая будет иметь вид
(3.6) или (3.7), а отличаться будет только исходными данными.
Перейдем теперь к вопросу практической реализации моделей (3.6) и
(3.7). Так как они являются достаточно сложными с точки зрения
вычислительных процедур, рационально для их численного решения
использовать численные методы.
Для решения оптимизационных задач (3.6) и (3.7) были разработаны
вычислительные листы на базе Excel, в которых непосредственно задача
оптимизации решалась с использованием надстройки «Поиск решений» (Solver)
[69].
Приведем методику организации вычислений на примере N=3
потребителей ресурса, для которых проводится его распределение, а перевозка
ресурсов возможна на двух видах транспортных средств T1 и T2.
Раскрытая формулировка задачи оптимизации по аддитивной модели,
полученная на основе (3.6), для трех потребителей будет иметь вид:
(3.10)
Тот же результат, но для мультипликативной модели, имеет вид:
(3.11)
На основании приведенных формул (3.10) и (3.11) были составлены
вычислительные листы в MS Excel, интерфейс которых для аддитивной модели
приведены на рис. 3.3. Для мультипликативной модели интерфейс
аналогичный.
81
Ячейка
Формула
В4
=(D3*E3+D4*E4)/(D3+D4)
B15-D15
Произвольные числа до запуска «Поиск решений»
В11
=B10+C10+D10
В12
=ОКРУГЛВВЕРХ((B10+C10+D10)/B4;0)
В13
=(B10*B8+C10*C8+D10*D8)/B4
В14
Для аддитивной модели:
=B10*B7/B9+C10*C7/C9+D10*D7/D9
Для мультипликативной модели:
=(B10/B7)^B9*(C10/C7)^C9*(D10/D7)^D9
В15
=((B10/B7)+(C10/C7)+(D10/D7))/3
Рис. 3.3. Расчетный лист Excel для задачи снабжения ресурсами
Выделенные серым поля предназначены для ввода исходных данных.
Остальные поля являются либо подписями, либо вычисляемыми. Формулы для
расчета вычисляемых полей указаны в табл. 3.1. Формулы одинаковые и для
аддитивной и для мультипликативной модели, если в табл. 3.1 не указано иное.
Таблица 3.1
Формулы MS Excel, используемые для моделей
распределения ресурсов
Вычислительная процедура в Excel предполагает использование
надстройки «Поиск решений». Для решения задач (3.10) или (3.11) (для
аддитивного и мультипликативного метода одинаково), надстройка заполняется
в соответствии с рис. 3.4.
82
Рис. 3.4. Заполнение окна «Поиск решений»
Наиболее сложным остается вопрос: какую модель – аддитивную или
мультипликативную лучше использовать для применения на практике. Для
ответа на него были проведены многочисленные вычислительные
эксперименты, которые заключались в расчете объемов ресурсов для разного
числа потребителей при различных параметрах задачи и сравнивались
результаты расчета для обеих моделей.
Сравним аддитивную и мультипликативную модель оптимизации, в том
числе на основании результатов проведенных вычислительных экспериментов:
1. Аддитивная модель оптимизации представляет собой задачу
линейного программирования и для расчетов по ней можно применять
аналитические методы [64], такие как симплекс-метод, метод ветвей и границ и
другие. Мультипликативная модель является нелинейной, следовательно, более
сложной в вычислительном плане.
2. Аддитивная модель ищет решение на крайних точках области
допустимых решений, что приводит к тому, что некоторые потребители
получают минимально возможный ресурс, за счет избыточного ресурса у
других потребителей, что приводит к искажению результатов оптимизации с
точки зрения сути поставленной задачи. Мультипликативная модель лишена
83
этого недостатка, решение ищется по всей области допустимых значений. Это
основное преимущество мультипликативной модели.
3. Критерий эффективности, которым является временные
трудозатраты, для обеих моделей получается примерно одинаковым, как
показали вычислительные эксперименты, разница составляет не более 3 %.
Однако, в 70% случаев наблюдается небольшое его повышение у аддитивной
модели.
4. Аддитивная модель является более чувствительной к весовым
множителям Wi.
Достоинство мультипликативной модели, изложенное в п. 2, по нашему
мнению, превосходит все ее недостатка, поэтому считаем, что для
практических расчетов рационально использовать мультипликативную
оптимизационную модель.
В заключении, на основании вышеизложенного материала, можно
предложить алгоритм управления перевозимыми ресурсами, который
учитывает все стадии предварительного сбора информации, анализа и принятия
решений в ходе управления, применения оптимизационных моделей,
описанных в работе и возможных действиях, если модель оптимизации не
приводит к решению задачи.
Алгоритм решения задачи по оптимальному управлению поставок
ресурсов приведен на рис. 3.5.
84
Рис. 3.5. Алгоритм управления поставками ресурсов
Начало процесса
оптимизации
Ввод исходной информации:
N, r, C, М, К, Kkr, bi, Wi, i=1,2,…,N,
Ai, nj,, j=1,2,…, r,
Выбор модели
оптимизации
Оптимизация по
аддитивной модели
Оптимизация по
мультипликативной модели
Решение найдено
Реализация
решения
Уменьшение коэффициента
минимальной обеспеченности К
К>Kkr
Изменение условий
распределения ресурса
По ресурсу
По транспорту
Анализ результатов,
подготовка данных
на будущий период
Конец алгоритма
Нет
Нет
Да
Да
Как видно из рис. 3.5, в случае дефицита ресурсов и не получения
оптимального плана их распределения, проводится итерационный процесс
85
понижения коэффициента минимальной обеспеченности К до тех пор, пока он
не достигнет своего критического значения. Если и при этом не будет
достигнуто оптимальное решение, необходимо кардинально менять условия
задачи: привлекать недостающие ресурсы из внешних источников, находить
дополнительные транспортные средства, переключать потребителей на иных
поставщиков и иные.
Таким образом, представленная модель распределения и перевозки
ресурсов позволит составлять оптимальные планы поставки сырья, товаров,
работников, оптимизировать транспортные затраты, осуществлять эффективное
управление запасами при выполнении группы строительных мероприятий.
Однако, данная задача предполагала, что имеющихся запасов достаточно
для бессбойного обеспечения строительных объектов. В случае существенного
дефицита ресурсов, приведенная математическая модель может не давать
сходящийся результат. Ввиду этого, далее приведем математическую модель,
позволяющую оптимизировать распределения ресурсов между строительными
объектами в условиях дефицита ресурсов.
3.3. Математическая модель оптимального распределения ресурсов
в строительной сфере в условиях их дефицита
В данном разделе ставится цель разработать математическую модель,
основанную на методах векторной оптимизации, позволяющую оптимально
распределять ограниченные по запасам ресурсы разного вида между
строительными мероприятиями, работами или объектами с целью повышения
эффективности выполнения строительных проектов.
Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- сформулировать и обосновать математическую модель распределения
ограниченных ресурсов между строительными объектами, работами или
мероприятиями;
- описать методику проведения вычислительных процедур для
реализации модели в численном виде;
- на основе вычислительных экспериментов оценить эффективность
применения модели распределения ресурсов при управлении строительными
проектами.
3.3.1. Математическая модель задачи
Под ресурсами в строительстве будем в данном разделе понимать любые
виды ресурсов, поставляемые на строительный объект и необходимые для
выполнения строительного проекта: строительные материалы, конструкции и
детали, человеческие ресурсы, запасные части, комплектующие,
энергоресурсы, оборудование и прочие ресурсы.
86
Далее приведем математическую модель оптимального распределения
ресурсов между строительными объектами и мероприятиями, которая
отличается научной новизной. Она основана на теории оптимального
управления на основе решения оптимизационных задач [30, 31, 73]. Данную
модель можно одинаково эффективно использовать как для распределения
ресурсов для выполнения строительных работ на нескольких строительных
объектов, так и для распределения ресурсом между различными работами или
мероприятиями по проведению строительства на одном строительном объекте.
Проблема заключается в том, что обычно ресурсы ограничены и, как
правило их количества не хватает для полноценного обеспечения всех
строительных объектов. Но в условиях дефицита ресурса, мероприятия по
организации строительных работ на объектах строительства все равно
осуществимы, так как необходимые ресурсы на такие мероприятия обычно
планируются с некоторым запасом, который обеспечит идеальное его
исполнение. В условиях дефицита ресурсов возможно выполнение
мероприятий и с меньшим количеством ресурса, но эффективность
мероприятия при этом может упасть на величину, не превышающую 20-30 %.
Назовем минимальное количество ресурса, приводящего к выполнению
мероприятий при проведении строительных работ, в рамках разумного падения
его эффективности, достаточным количеством ресурса, отводимого на
организацию строительных работ.
Приведем математическую постановку задачи оптимального
распределения ресурсов между строительными объектами [31].
Пусть имеется n видов или типов некоторого ресурса, который обозначим
как R1, R2, …, Rn, его необходимо перераспределить на m строительных
объектов с максимально эффектом. Мероприятия или строительные объекты
обозначим через M1, M2, …, Mm.
Введем следующие матрицы:
aij , i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m – необходимое количество ресурсов i-го типа,
который должно получить j-й строительный объект (мероприятие) для
проведении строительных работ при их идеальной реализации;
bij, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m – достаточное количество ресурсов i-го типа,
который должно получить j-й строительный объект или мероприятие для
реализации строительных работ с минимально возможной эффективностью.
Также необходимо для построения адекватной модели распределения
ресурсов учитывать важность строительных объектов или мероприятий.
Обозначим через Wj, j=1, 2, …, m – вес или важность j-го объекта или
мероприятия по проведению строительных работ с точки зрения его вклада в
выполнения комплексной задачи выполнения строительного проекта.
Кроме этого, для учета ограниченности ресурсов, обозначим через Zi –
общий запас ресурсов i-го типа.
87
Необходимо определить хij - количество ресурсов i-го типа, который
....,,2,1,...,,2,1,
1
mjni
ba
ijij
ij
....,,2,1min,)(
1
nkWxaxF
j
m
j
ijijijijk
nkxWxF
m
j
ijjijijk
...,,2,1max,)(
1
nk
ba
xW
xF
m
j
ijij
ijj
ijk
...,,2,1max,)(
1
....,,2,1,...,,2,1,, mjnibxax
ijijijij
должно получить j-е мероприятие или объект так, чтобы эффективность
выполнения строительных проектов была максимальна.
Для решения этой задачи введем некоторый критерий эффективности [50]
ij, который показывает, на какую долю уменьшится эффективность j-го
мероприятия по проведению строительных работ, если ресурс i-го типа,
распределяемый на него в рамках допустимого значения уменьшить на
единицу. Предполагая, что эффективность мероприятий по проведению
строительных работ равномерно зависит от наличия ресурсов, из чего следует
то, что падение эффективности мероприятия, связанного с нехваткой единицы
ресурса обратно пропорциональна разности между достаточным и
необходимым количеством ресурса [39]. Исходя из этого, критерий
эффективности можно записать в виде:
(3.12)
Критерием оптимизации Fi для нахождения оптимального распределения
ресурса i-го типа будет служить целевая функция, которая имеет смысл
обобщенной величины падения эффективности проведения строительных работ
из-за недостатка необходимых ресурсов. Согласно [39] она должна быть
мультипликативной от веса мероприятия Wj, критерия эффективности ij, а
также от количества ресурса, которого недостаточно на данное мероприятие:
aij - хij. Согласно приведенным требованиям, целевая функция будет равна:
(3.13)
Преобразовав алгебраически условие оптимизации (3.13) и изменив его
направление, можно записать выражение, тождественное (3.13) с точки зрения
оптимизационных задач:
,
а учитывая соотношение (3.12), можно записать:
. (3.14)
Перейдем к ограничениям оптимизационной задачи. Как было сказано
ранее, выделяемые на мероприятие по проведению строительных работ
ресурсы не могут быть меньшими по величине, чем достаточные, но и не
должны превышать необходимые, если окажутся избыточные ресурсы, они
будут направлены в общий резерв. Математически, данные условия можно
записать в виде:
88
Кроме этого, отведенные на мероприятия ресурсы могут быть целыми,
niZx
i
m
j
ij
...,,2,1,1
....,,2,1,...,,2,1,
,
,
;...,,2,1,
;...,,2,1max,)(
1
1
mjniцелоеx
bx
ax
niZx
nk
ba
xW
xF
ij
ijij
ijij
i
m
j
ij
m
j
ijij
ijj
ijk
....,,2,1,...,,2,1,
,
,
;...,,2,1,
max;)(
1
1 1
mjniцелоеx
bx
ax
niZx
ba
xW
xF
ij
ijij
ijij
i
m
j
ij
nim
j
ijij
ijj
ij
если они представляют неделимые объекты (это необязательное условие), и не
могут превышать его запаса:
. (3.15)
В результате, учитывая целевую функцию (3.14) и ограничения, получаем
многокритериальную (векторную) задачу целочисленного линейного
программирования [31] следующего вида:
(3.16)
Следует отметить, что оптимизационная задача (3.16) является векторной
[30], то есть она требует оптимизации распределения ресурсов по каждому из
объектов или строительных мероприятий. С точки зрения организации
вычислительных процедур по модели (3.16), векторная оптимизация
достаточно трудоемкая, так как требует проведения вычислений по каждому
ресурсу отдельно. Для решения этой проблемы имеется возможность перейти к
однокритериальной задаче оптимизации, учитывая то, что задача по каждому
ресурсу линейная.
При построении однокритериальной задачи линейного программирования
лучше всего использовать метод обобщенной целевой функции [51, 63], когда
критерии оптимизации (3.14) суммируются, формируя общую целевую
функцию. Математическая модель задачи целочисленного линейного
программирования, которая будет использовать обобщенную целевую
функцию, оптимизирующую все ресурсы по единому критерию, будет иметь
вид:
(3.17)
89
Если запас ресурса превышает необходимое количество, то остаток
miZxr
i
m
j
iji
...,,2,1,1
Мероприятие
М1
М2
М3
М4
М5
М6
М7
М8
Запас
ресурса
Вес Wi
5 9 6 7 4 2 8
3
Необходимые ресурсы
R1
24
17
13
25
12
23
18
19
154
R2
19
22
23
17
22
18
22
15
138
R3
20
10
13
15
16
21
12
20
107
R4
20
18 8 12
22
24 8 20
112
R5
21
22
15
23 8 23
23
14
150
R6
11
12 8 17
15
18
13
12
86
R7
24
17
14
17
11
18 9 13
103
Достаточные ресурсы
R1
20
14 7 22 7 16
15
14
R2
15
17
22
10
21
13
20
13
R3
18 7 10
13
11
16 6 18
R4
16
14 4 11
17
17 2 19
R5
16
21
10
18 2 19
19
11
R6
4 8 6
16
14
16
10 5 R7
21
13 7 15 5 17 7 6
ресурса переводится в резерв. Количество резерва ri можно определить по
формуле:
.
Решать оптимизационную задачу (3.17) можно аналитически при
небольшом количестве ресурсов и мероприятий (объектов), однако намного
эффективней при этом использовать вычислительную технику [8, 9]. Для
численного решения задачи был разработан вычислительный лист на базе MS
Excel, который позволял автоматизировать вычисления по оптимальному
распределению ресурсов на строительные мероприятия.
3.3.2. Методика организации вычислительных процедур и апробация
Приведем методику проведения вычислительных процедур в среде MS
Excel на следующем примере. Данная методика может быть использована для
автоматизации расчетов для любого количества мероприятий или объектов и
произвольного числа ресурсов.
Имеем 8 маскировочных мероприятий по проведению строительных
работ, в ходе которых требуется распределение 7 видов ресурсов. Данные по
мероприятиям и ресурсам приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Исходные данные для примера апробации модели
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]