Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление строительными проектами методами математического моделирования. Монография
.pdf
ликвидации угроз со слабым ущербом оказывают наименьшее влияние на
)()()()(
332211
tPUtPUtPUtU
вероятность нахождения строительного проекта в плановом состоянии при
краткосрочном времени ликвидации этих угроз, а при длительном времени,
наименее опасными становятся негативные факторы с умеренным ущербом.
Наибольшее воздействие оказывают факторы, приносящие значительный
ущерб, хотя разница небольшая и зависит от временных параметров. Эти
зависимости позволят оптимально распределять ресурсы при проведении
профилактике влияния негативных факторов на строительный процесс.
Таким образом, была представлена динамическая модель, позволяющая
оценивать вероятности причинения ущерба той или иной степени процессу
выполнения строительных проектов, комплексов работ и мероприятий в
зависимости от времени. Зная вероятности P1(t), P2(t) и P3(t), характеризующие
возможность влияния негативных факторов, которые могут нанести,
соответственно, слабый, умеренный или значительный ущерб строительному
проекту, а также определив через U1, U2 и U3 величину такого ущерба, можно,
используя формулу для математического ожидания, определить средний ущерб
U(t), который может быть причинен строительному проекту в произвольный
момент времени его реализации t:
. (4.7)
Рассчитанный по формуле (7) средний ущерб принято называть риском
строительного проекта [66]. На рис. 4.7 приведены временные зависимости
риска строительных проектов для различных величин ожидаемого ущерба,
которые указаны на графиках в виде весовых множителей.
Рис. 4.7. Величина риска для разного распределения ущерба
121
Приведенная динамическая модель оценки риска при реализации
строительных проектов может служить основой для построения системы
оптимального управления ходом выполнения строительных работ и принятию
решений по организации строительных мероприятий.
4.3. Модели анализа критических угроз и пути их ликвидации
в строительной сфере
Ранее, было рассмотрено влияние некритических угроз на реализацию
строительных проектов. Такие угрозы могут нанести вред и принести ущерб
строительству и их, несомненно, необходимо учитывать. Но намного больший
вред наносят критические угрозы, реализация каждой из которых приводит к
модели учета критических угроз, каждая из которых обладает научной
новизной и позволит в той или иной степени прогнозировать их наступление и
быть готовым к их ликвидации.
Критические угрозы можно разделить на две категории [60]:
- явные критические угрозы, наступление любой из которых приводит к
срыву реализации строительного проекта;
- скрытые критические угрозы, которые состоят из множества
некритичных угроз, но они наступают постоянно в случайные моменты
времени, что приводит к ситуации, когда накапливается достаточно большое
число некритичных рисков и в результате происходит срыв выполнения
строительного проекта.
Ввиду разной природы критических угроз, рассмотрим обе ситуации
отдельно и опишем две совершенно разные модели их учета.
4.3.1. Моделирование явных критических угроз на основе марковских
случайных процессов
В данном разделе рассмотрим математическую модель, позволяющую
оценивать вероятность рисков, которые могут привести к срыву реализации
строительных проектов. Риски связаны с негативным влиянием внешних
факторов, которые могут возникать в случайные моменты времени и быть
разными по мере воздействия на каждом этапе строительства. Модель основана
на теории марковских случайных процессов. Приведена методика
осуществления вычислений по модели на примере, проведен анализ
полученных решений.
122
Таким образом, рассмотрим влияние на процесс реализации
строительных проектов критических рисков. Критические риски [66]
отличаются от допустимых или некритических тем, что они могут привести к
непоправимым воздействиям на процесс строительства и в большинстве
случаев приводят к невозможности его реализации в рамках утвержденного
проекта, в то время, как допустимые риски приносят лишь некоторый ущерб и
могут быть ликвидированы без изменения плана реализации строительного
проекта. Критические риски требуют намного большего контроля за
предпосылками их возникновения и срочного реагирования управляющей за
строительством стороны на возможности их реализации.
Целью для данной части научного исследования является разработка
математической модели, основанной на вероятностных методах, а именно, на
теории марковских случайных процессов [23, 24, 47], которая позволит в
динамике определить вероятность успешной реализации строительного проекта
на ее различных стадиях в зависимости от воздействия на строительный
процесс негативных факторов различной природы и интенсивности, которые
могут привести к срыву реализации строительного проекта.
Опишем математическую постановку задачи и предложим решение, ее
реализующее.
Рассмотрим некоторый строительный проект, находящейся в стадии
реализации, на который в некоторые случайные моменты времени оказывают
воздействие некоторые негативные воздействия или факторы, каждый из
которых может привести с некоторой вероятностью к срыву реализации
строительного проекта.
Будем считать, что потоки событий наступления негативных факторов
независимы и являются потоками Пуассона [24, 47], что обусловлено тем, что
негативное воздействие связано с влиянием большого числа неучтенных
воздействий и согласно предельной теореме потоков событий [47], их можно
считать потоками Пуассона.
Определимся с параметрами модели, будем считать, что количество
негативных воздействий или факторов равно N.
Для применения теории марковских случайных процессов, необходимо
определить некоторые состояния системы, которыми будут являться:
S0 – состояние с момента начала реализации строительного проекта до
момента времени начала первого воздействия;
Si, где i = 1, 2, …, N – состояния случайного процесса, когда (i-1) влияние
негативного фактора успешно ликвидировано до момента времени начала
наступления i-го воздействия, в результате которого либо с вероятностью pi
происходит срыв в реализации строительного проекта, либо с вероятностью (1-
pi) вредоносное воздействие будет ликвидировано и процесс строительства
продолжится до момента наступления следующего негативного воздействия;
S’i, i = 1, 2, …, N – состояние, когда i-й негативное воздействие привело к
срыву в реализации строительного проекта;
123
Sв – состояние, когда строительный проект был реализован, критический
)(и),,...,2,1()('),(),(
0
tPNitPtPtP
вii
S
0
S
’
1
S
’
2
S
2
S
i
S
’
i
S
N
S
’
N
S
в
S
1
0
1 (1-p1)
2 (1-p2)
i (1-pi)
N (1-pN)
1 p
1
2 p
2
i p
i
N p
N
…
…
ущерб не нанесен.
Кроме указанных выше вероятностных параметров pi, данная система
также будет описываться набором временные параметров Тi, где i = 0, 1, …, N,
которые имеют смысл среднего времени нахождения системы в состоянии Si до
выхода из него и перехода в некоторое следующее состояние. С указанными
временными параметрами связаны интенсивности переходных потоков
событий, которые ведут к выходу из состояния Si и смене состояний системы,
которые обозначим как λi=1/Тi, где i=0,1,…,N. В итоге, можно построить граф
состояний описанной системы с марковским случайным процессом,
управляющим этой системой, он изображен на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Граф состояний случайного процесса
Для анализа функционирования такой системы с течением времени и
определения наиболее вероятных моментов времени наступления критического
риска разной природы, необходимо рассчитать вероятности состояний
случайного процесса как функции от времени:
, которые имеют смысл вероятность
нахождения в случайный момент времени t системы в состоянии,
соответствующей этой вероятности. Вероятности состояний, обозначенных
штрихом, имеют смысл вероятности срыва выполнения строительного проекта
под влиянием каждого из критических рисков, а их сумма:
Pн(t)=P’1(t)+ P’2(t)+ … + P’N(t),
равна общей вероятности невыполнения строительного проекта. Обратная ей
вероятность Pв(t) будет показывать шансы успешной реализации строительного
проекта.
Основываясь на графе состояний, приведенного на рис. 4.8, для
вычисления всех вероятностей состояний необходимо решить систему
дифференциальных уравнений Колмогорова [47], которая имеет вид:
124
).()1(
)(
;,...,2,1),(
)('
;,...,2,1),()(
)(
);(
)(
11
00
0
tPp
dt
tdP
NitPp
dt
tdP
NitPtP
dt
tdP
tP
dt
tdP
NNN
в
iii
i
iiii
i
(4.8)
1)()(')(
10
tPtPtP
в
N
i
i
N
i
i
.1)()(')(
;,...,2,1),(
)('
;,...,2,1),()(
)(
);(
)(
10
11
00
0
tPtPtP
NitPp
dt
tdP
NitPtP
dt
tdP
tP
dt
tdP
в
N
i
i
N
i
i
iii
i
iiii
i
0)(;...,,2,1;0)0(';0)0(;1)0(
0
tPNiPPP
вii
Однако составленная таким образом система (4.8) имеет линейно
зависимые уравнения, что приводит к бесконечному множеству возможных
решений. Для устранения этой проблемы, из системы (4.8) необходимо удалить
одно любое уравнение и заменить его условием нормировки:
,
в результате получим систему вида:
(4.9)
Для нахождения частного решения системы дифференциальных
уравнений (4.9) также необходимо использовать начальные условия, имеющие
смысл того, что в начальный момент времени при t=0 система находилась в
начальном состоянии S0. Начальные условия запишем в виде:
. (4.10)
Таким образом, для нахождения вероятностей состояний была составлена
система дифференциальных уравнений, которая является линейной,
неоднородной и с постоянными коэффициентами [6]. Разработаны
аналитические методы ее решения, например, метод собственных значений и
собственных векторов [2]. Однако ввиду большого числа уравнений, в
125
дальнейшем будем проводить решение численными методами, описанными в
)(и),('),(),('),(),('),(),('),(),(
443322110
tPtPtPtPtPtPtPtPtPtP
в
)(tP
в
).()1(
)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()(
)(
);(
)(
444
444
4
44333
4
333
3
33222
3
222
2
22111
2
111
1
1100
1
00
0
tPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
tP
dt
tdP
в
S
0
S
’
1
S
’
2
S
2
S
3
S
’
3
S
4
S
’
4
S
5
S
1
0
1 (1-p1)
2 (1-p2)
3 (1-p3)
4 (1-p4)
1 p
1
2 p
2
3 p
3
4 p
4
[9].
Опишем и проанализируем решение системы (4.9) и (4.10) для случая N=4
негативных воздействий с критическим риском на строительный проект. В этом
случае граф состояний марковского случайного процесса можно описать в
виде, который приведен на рис. 4.9.
Рис. 4.9. Граф состояний случайного процесса
для случая N=4 негативных воздействий
Найдем вероятности всех состояний случайного процесса:
,
которые будут описывать динамику его функционирования, в частности найти
вероятность срыва реализации строительного проекта Pн(t)=P’1(t)+ P’2(t)+
P’3(t)+ P’4(t) и вероятность его успешного завершения
.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова, построенная на
основании приведенного на рис. 4.9 графа состояний случайного процесса,
будет следующей:
126
(4.11)
Заменив в системе (4.11) последнее уравнение на условие нормировки
1)()(')(
4
1
4
0
tPtPtP
в
i
i
i
i
.)(')(1)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()()1(
)(
);(
)('
);()(
)(
);(
)(
4
1
4
0
444
4
44333
4
333
3
33222
3
222
2
22111
2
111
1
1100
1
00
0
i
i
i
iв
tPtPtP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtPp
dt
tdP
tPp
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
tP
dt
tdP
.4,3,2,1;0)0(';0)0(;0)0(;1)0(
0
iPPPP
iiв
, получим окончательно следующую систему
дифференциальных уравнений:
(4.12)
Она будет дополнена группой начальных условий:
(4.13)
В качестве входных параметром для моделирования случайного процесса
и нахождения временных зависимостей для вероятностных состояний, зададим
некоторые значения для временных параметров – среднего времени
нахождения системы в состояниях S0, S1, S2, S3, S4:
Т0=1/0=20, Т1=1/1=120, Т2 =1/2=120, Т3=1/3=270, Т4=1/4=60,
(время указано в часах), а также определим вероятностные параметры,
имеющие смысл реализации критических рисков каждого вида:
интервала от 0 часов до 1000 часов, построим графики вероятностей состояний
Проводя численное решение системы (4.12), (4.13) для временного
p1 = 0,05; p2 = 0,1; p3 = 0,2; p4 = 0,1.
S0, S1, S2, S3, S4 в зависимости от времени t, они представлены на рис. 4.10. Эти
127
кривые представляют вероятности ликвидации критических рисков на каждом
этапе их поступления.
Рис. 4.10. Вероятности ликвидации критических рисков на каждом этапе
Из рис. 4.10 можно заметить, что вероятности всех этапов реализации
строительного проекта (кроме начального) имеют максимумы, которые
показывают моменты времени максимального воздействия критических рисков
каждого вида на проект.
На рис. 4.11 представлены графики временных зависимостей
вероятностей срыва строительного проекта разными видами критических угроз.
Рис. 4.11. Вероятности срыва строительного проекта
разными видами критических угроз
128
Как видно из рис. 4.11, вероятности срыва строительного проекта
NkppP
k
i
ikk
,...,2,1,)1(
1
1
разными видами критических угроз растут с течением времени, выходя на
некоторые постоянные значения при t∞. Асимптотические значения
вероятностей срыва строительного проекта можно рассчитать аналитически,
они будут равны:
P’1=p1; P’2 =p2(1-p1); P’3 =p3 (1-p2) (1-p1); P’4 =p4 (1-p3) (1-p2) (1-p1). (4.14)
Результаты вычислений указанных вероятностей, произведенные по
формуле (4.14) на основании значений параметров, взятых в данном примере,
есть:
P’1=0,05; P’2 =0,095; P’3 =0,171; P’4 =0,0684.
Можно обобщить формулу (4.14) на случай произвольного числа
критических рисков N, записав вероятности срыва строительного проекта по
каждому критическому риску:
.
В заключение приведем зависимости от времени двух базовых
вероятностей: вероятности успешной реализации строительного проекта Рв(t), а
также обратной ей вероятности срыва проекта из-за воздействия критических
рисков Pн(t). Эти зависимости приведены на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Вероятности успешной реализации Рв(t) и срыва Pн(t) строительного
проекта
Как и графики на рис. 4.11, данные вероятности из рис. 4.12 растут с
течением времени, выходя на некоторые постоянные значения при t∞.
129
Асимптотические значения указанных вероятностей можно рассчитать
N
i
iв
pP
1
)1(
N
i
iн
pP
1
)1(1
аналитически, они будут равны:
Р
(t)= (1-p1) (1-p2) (1-p3) (1-p4); Рн(t)=1- Рв(t),
в
или в численном виде для указанных данных: Рв(t)= 0,616; Рн(t)=0,384.
В случае количества критических рисков, равных N можно записать:
,
.
Таким образом, предложенная модель позволяет оценить влияние на
реализацию строительного проекта каждого из критических рисков,
поступающих последовательно. Следует отметить то, что в рамки модели
можно включить и риски, поступающие параллельно. Для этого все риски,
поступающие параллельно в течение некоторого периода времени, следует
объединить в некоторый единый риск с временным параметром, равным
общему времени воздействия группы рисков и вероятностным параметром,
определенным по формулам сложения и умножения вероятностей в
зависимости от вида взаимодействия рисков.
Наиболее эффективна представленная модель будет задействована в
систему управления строительными проектами в совокупности с методами
сетевого планирования и управления в условиях неопределенности [29, 49].
4.3.2. Моделирование скрытых критических угроз на основе теории
массового обслуживания
В данном разделе представлена математическая модель, позволяющая
учитывать влияние на строительный проект неявных критических рисков.
Такие риски по отдельности являются допустимыми, но при их неоднократном
воздействии, они могут накапливаться и в совокупности создавать критический
риск, способный привести к срыву реализации строительного проекта.
Представленная модель основана на теории массового обслуживания
(ТМО), которая позволит оценить в вероятностном подходе объем
поступающих негативных воздействий на строительные проекты, величину
ущерба и принять превентивные меры по ликвидации возможных угроз.
При реализации строительных проектов свойственна ситуация, когда на
ход осуществления строительства оказывает влияние множество факторов,
многие их которых носят негативный характер. В результате, процесс
реализации строительного проекта носит стохастический характер и результат
можно прогнозировать только в вероятностном подходе. Моделирование
процесса проведения строительных мероприятий в таких условиях возможно
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]