Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление строительными проектами методами математического моделирования. Монография
.pdf
Вводим исходные данные в расчетный лист MS Excel, как показано на
рис. 3.6.
Рис. 3.6. Исходные данные для автоматизированного распределения ресурсов
Для решения задачи линейного программирования (3.17) выделяем под
переменные диапазон ячеек В23-I29 и вводим в них произвольные числа,
можно их оставить пустыми. Остальные ячейки оформляем в соответствии с
рис. 3.7, расчетные функции в MS Excel приводим в соответствии с табл. 3.3.
Там же приведены параметры надстройки «Поиск решений» (Solver), которая
непосредственно выполняет решение оптимизационной задачи.
91
Таблица 3.3
Лист MS Excel
Ячейка
Формула
Диапазон
автозаполнения
K2
=СУММ(B32:I38)
-
K23
=СУММ(B23:I23)
K23-K29
B32
=B$2*B23/(B5-B14)
В32-I38
К32
=K5-K23
К32-К38
Параметры надстройки «Поиск решений»
Поле
Значение
Ячейка целевой функции
$K$2
Направление оптимизации
Максимум
Изменяемые переменные
$B$23:$I$29
Ограничения
$B$23:$I$29 <= $B$5:$I$11
Ограничения
$В$23:$1$29 >= $В$14:$1$20
Ограничения
$К$23:$К$29 <= $К$5:$К$11
Ограничения
$B$23:$I$29 = целое
Расчетные формулы для решения задачи (3.17) в MS Excel
В результате исполнения надстройки «Поиск решений», получены
результаты, которые приведены на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Результаты распределения ресурсов между мероприятиями
92
Результаты оптимального распределения ресурсов по строительным
nim
j
ijij
ijijj
ij
ba
xaW
xKE
1 1
)(
)(
mjniabax
ijijij
ij
с
...,,2,1,...,,2,1),(
мероприятиям или объектам приведены на рисунке 3.7 в ячейках В23-I29.
Приведенное решение оптимально.
Для проверки адекватности модели распределения ресурсов были
проведены вычислительные эксперименты, которые заключались в генерации
различных условий для распределения ресурсов на строительные мероприятия
или объекты, а затем решалась задача (3.11) с использованием вычислительной
техники. Эксперименты показали высокую устойчивость решения к внешним
условиям, отсутствие ограничений на исходные данные и однозначность
получаемого результата. Это может служить основанием того, что
разработанная модель пригодна для практического использования в
планировании и управлении строительными проектами.
3.3.3. Оценка эффективности модели
Предложенная модель распределения ресурсов позволяет определить
эффективность применения модели распределения ресурсов на строительные
мероприятия или объекты. В качестве критерия эффективности рационально
взять целевую функцию вида (3.13) которая и служит основой оптимизации
(3.17). Тогда показатель эффективности KE, как функция от распределения
ресурса хij будет выступать следующий критерий:
. (3.18)
Обозначим через x
c
, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m – обыкновенное
ij
распределения ресурса, без решения оптимизационной задачи (3.17), а
*
x
, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m – оптимальное распределение ресурсов,
ij
полученное из решения (3.17).
Поясним смысл распределения x
c
. Это распределение ресурса между
ij
мероприятиями предполагается получить лицом, принимающим решение по
планированию и управлению строительными проектами, на основании
интуиции и опыта. Обычно это распределение находится между необходимым
и достаточным ресурсом и подбирается так, чтобы выполнялись требование
ограниченности ресурса (3.15). Считая, что это распределение равномерное, для
моделирования распределения x
c
можно использовать формулу:
ij
, (3.19)
где - некоторый параметр, который подбирается максимально большим с
условием выполнения ограничения (3.15).
93
На основании этого, с учетом (3.18), эффективность E применения
%100
)(
)()(
%100
)(
)()(
1 1
1 1
*
1 1
*
nim
j
ijij
ij
c
ijj
nim
j
ijij
ij
ijj
nim
j
ijij
ij
c
ijj
ij
c
ijij
c
ba
xaW
ba
xaW
ba
xaW
xKE
xKExKE
E
Ресурсы
Мероприятия
М1
М2
М3
М4
М5
М6
М7
М8
R1
24
17
13
25
12
23
18
19
R2
16
19
22
12
21
15
20
13
R3
18 7 12
13
13
18 6 20
R4
18
16 6 11
19
19 4 19
R5
21
22
15
23 8 23
23
14
R6
5 8 6
18
16
18
10 5 R7
23
15 9 16 5 17 9 9
модели распределения ресурсов при проведении строительных мероприятий,
будет равна:
. (3.20)
Для обоснования эффективности были проведены вычислительные
эксперименты, суть которых заключалась в следующем.
Случайно генерировались необходимые и достаточные ресурсы для
каждого мероприятия или объекта, а также запасы ресурсов. При этом
количество видов ресурса и число мероприятий также было различным.
Затем для каждого эксперимента по формуле (3.19) генерировалось
обыкновенное распределение ресурсов x
оптимизационной задачи (3.17) вычислялось оптимальное распределение x
c
и на основании решения
ij
*
ij
Далее, вычислялось эффективность для каждого эксперимента по формуле
(3.20). Вычисления были реализованы в среде MS Excel с использованием
надстройки «Поиск решений».
Например, для данных, изображенных на рис. 3.7, обыкновенное
распределение ресурсов x
c
приведено в табл. 3.4.
ij
Таблица 3.4
Обыкновенное распределение ресурсов для данных из рис. 3.7
.
Были проведены более 50 вычислительных экспериментов, которые
показали, что средняя эффективность оптимального распределения ресурсов по
сравнению с обыкновенной составляет 34,513 % (для примера данных из
94
рис. 3.6, эффективность составила 36,25 %).
Приведенные выше расчеты показывали, как можно оценить
ij
j
дос
jij
jj
x
TTb
Tt
)(
min
min
n
i
ij
ij
j
дос
jjj
x
b
TTTt
1
minmin
)(
количественную эффективность по объему распределяемых на строительные
объекты или мероприятия ресурсов. Однако, на основании данной модели
можно оценить и временную эффективность.
Очевидно, что объемы выделенных на некоторые строительные работы
ресурсов и время выполнения данных работ взаимосвязаны. Дефицит ресурсов,
как правило увеличивает продолжительность выполняемых работ по сравнению
с временем их выполнения при достаточном объеме ресурсов.
Для оценки временной эффективности необходимо получить зависимость
времени выполнения строительных мероприятий или работ от выделяемых на
них ресурсов.
Рассмотрим систему строительных проектов, которая включает в себя m
мероприятий или работ на одном или нескольких строительных объектах, на
осуществление которых требуется затратить ресурсы n видов. Обозначим через
tj - время выполнения j-го мероприятия, а xij – количество ресурса i-го типа,
выделяемого на j-е мероприятие, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m.
Для получения зависимости tj(xij) введем следующие допущения.
1. С ростом потребления ресурса время выполнения строительного
мероприятия или работы должно уменьшаться.
2. Время выполнения строительной работы каждого вида не может
быть меньше некоторого минимального времени, которое обозначим для j-ой
работы через T
j
min
.
3. Если ресурсов минимальное число, но достаточно для
осуществления строительной работы, то есть их количество равно bij, то время
выполнения j-го мероприятия равно T
j
дос
.
Если брать отдельный вид ресурса типа i, то для моделирования по
приведенным условиям лучше всего подходит гиперболическая модель вида:
tj(xij)= T
где коэффициент k находим из условия нормировки: tj(bij)= T
min
+ k/xij, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m,
j
дос
. В итоге, для
j
конкретного ресурса искомая зависимость будет иметь вид:
, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m.
Для учета ресурсов всех типов, проведем суммирование по ним, что даст
общую зависимость времени выполнения строительных мероприятий или работ
от затраченных на него ресурсов:
, j=1, 2, …, m.
Полученная зависимость позволяет проводить оценку времени
выполнения строительных мероприятия в зависимости от выделяемых на него
ресурсов, а в качестве параметров T
дос
j
и T
min
можно использовать реальное
j
время выполнения мероприятия при минимально допустимом и
95
неограниченном объемах ресурсов, соответственно, полученные эмпирическим
путем.
Таким образом, в данном разделе описана разработанная и основанная на
методах векторной оптимизации математическая модель, которая позволит
оптимально распределять ограниченные по запасам ресурсы разного вида
между строительными объектами, строительными мероприятиями или
работами с целью повышения эффективности выполнения строительных
проектов.
При этом получены следующие основные результаты:
- на математическом языке поставлена, разработана и обоснована
математическая модель распределения ограниченных ресурсов между
строительными объектами, работами или мероприятиями;
- описана методика проведения вычислительных процедур для
реализации модели в численном виде в среде MS Excel;
- на основе вычислительных экспериментов была оценена эффективность
применения модели распределения ресурсов при управлении строительными
проектами, которая в среднем составила более 34%, получена временная
зависимость между продолжительностью выполнения строительных работ и
объемом выделенных на них ресурсов, что позволит оценить временную
эффективность от применения модели на практике.
Таким образом, предложенная модель распределения ресурсов приводит
к значительному увеличению эффективности организации и управления
строительными проектами [53] и увеличивает вероятность своевременного их
завершения с минимальными затратами.
3.4. Модель управления запасами,
основанная на марковских случайных процессах
Сфера строительства, которая интенсивно развивается в последнее время,
выявляет большое количество различных проблем, которые считались
неактуальными несколько десятилетий назад. Если раньше было возможное
четкое планирование ресурсного обеспечения строительными объектами на
протяжении всего цикла строительства, то на сегодняшний день, ввиду
обострения конкуренции между строительными организациями, возникает
необходимость постоянного контроля за уровнем имеющихся ресурсов,
снижения затрат на их поставку, определения нормативного уровня запаса
ресурсов в динамике, обеспечения своевременности поставки ресурсов [12].
В виду этого, задача эффективного управления запасами ресурсов на
строительных объектах на текущей момент является актуальной и необходимой
для выполнения графиков реализации строительных проектов [75].
В данном разделе поставлена задача разработать математическую модель,
которая позволит прогнозировать объем необходимых запасов на некотором
96
строительном объекте в зависимости от интенсивностей их пополнения и
.)(
2
1
t
t
ijij
dttt
расходования в условиях нестационарных темпов строительства.
Учитывая, то, что процесс строительства зависит от большого числа
внешних факторов и внутренних условий, он достаточно непредсказуем [100],
то есть является в своей динамике случайным процессом. Ввиду этого, для его
моделирования рационально использовать вероятностные методы. В связи с
тем, что объем запасов может постоянно меняться со временем как в
возрастающую, так и в убывающую сторону, для математического описания
динамики количества запаса рационально использовать случайные функции
или случайные процессы [23, 47, 48]. Таким образом, представленная в работе
модель оценки объема запасов для строительных объектов будет основана на
теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.
Для моделирования задачи пополнения запасов на объектах
строительства на основе теории марковских процессов, необходимо обосновать
условие того, чтобы переход системы между своими состояниями происходил
вследствие некоторого потока событий с интенсивностью Λ, которая может
быть различной для каждого перехода между состояниями. Эта интенсивность
связана со средним временем Т пребывания случайным процессом в
предыдущем состоянии перед переходом в последующее состояние, которые
являются обратными величинами: Λ=1/Т. Поток событий, приводящий к смене
состояний должен быть потоком Пуассона [47].
Согласно [76], пуассоновские и близкие к ним по структуре потоки
событий встречаются в строительной сфере наиболее часто. Это связано с тем,
что при моделировании процессов ведения строительных работ, чаще всего
идет наложение (суммирование) потоков событий различной природы или их
случайное разрежение, при этом события, составляющие эти потоки, являются
независимыми. Согласно предельной теореме потоков событий [23], при этом
результирующий поток событий будет стремиться к потоку Пуассона. Это дает
основание с высокой точностью использовать марковские случайные процессы
с дискретным состоянием и непрерывным временем для динамического
описания процесса управления запасами ресурсов разного вида в строительной
сфере.
Кроме этого, для простоты будем считать, что интенсивности переходных
потоков для смены состояний случайного процесса Λij, где i – номер состояния,
из которого осуществляется переход, а j – номер состояния, в который
осуществляется переход, являются стационарными. Если же нужно
рассматривать нестационарные поток Пуассона с интенсивностью Λij(t), то на
временном интервале проведения военной операции от t1 до t2, можно
использовать среднюю интенсивность для данного временного интервала:
97
Перечисленные аргументы дают основания использовать случайные
марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем для
моделирования задачи пополнения запасов на объектах строительства.
Перейдем к математической формулировки задачи.
Пусть имеется некоторый строительный объект, на котором необходимо
поддерживать некоторый запас в заданном количестве. Пополнение запаса
производится с некоторого склада или иного подразделения, находящегося на
удалении от строительного объекта и доставка запаса требует затрат ресурсов и
времени, которые ограничены.
Под запасом будем понимать средневзвешенный объем поставляемых
ресурсов различной природы (строительные материалы, комплектующие,
технику и т.д.), который может измеряться в физических единицах, например, в
штуках, тоннах, метрах и прочем. Но ввиду того, что доставка запаса и его
расходы планируются на некоторый период (месяц, неделю, сутки), в качестве
единицы измерения объема запаса рационально использовать средний объем
запаса, который необходим для нормального обеспечения строительного
объекта в течение единицы времени. Это допущение позволит использовать
марковские процессы с дискретным состоянием [23, 48].
Введем следующие состояния системы обеспечения строительного
объекта запасами, которые учитывают то, что не рационально хранить на
данном строительном объекте объем запаса, необходимого более чем на 7
единиц времени. Тут стоит сделать пояснение. Выбор семи единиц времени
обусловлен тем, что при реальных строительных проектах, чаще всего
планирование производится понедельное [76] и единицей времени являются
сутки. Также, на неделю осуществляется расчет необходимых ресурсов.
Следует отметить, что предлагаемую, больше для примера в данной
работе модель легко обобщить на иные интервалы времени и их количество.
На основе вышесказанного, введем через Si – состояние случайного
процесса, соответствующее тому, что объем запаса на строительном объекте
достаточно на i суток, но недостаточно на i+1 суток, i=0, 1, 2, …, 7.
Ввиду того, что доставленные запасы последовательно увеличивают
номер состояния, а расход имеющихся запасов последовательно уменьшают это
состояние, для моделирования рационально использовать марковские
случайные процессы гибели и размножения с непрерывным временем и
дискретным состоянием [23]. Перейдем к числовым показателям,
характеризующим данный случайный процесс.
Процесс гибели и размножения, который описывает процесс пополнения
и расходования запасов для строительных объектов, будем описываться только
двумя параметрами, что значительно упрощает процесс математического
моделирования, но эти параметры, в свою очередь, будут определяться
множеством показателей, которые зависят от внешних и внутренних факторов,
влияющих на процесс пополнения и расходования запасов. Рассмотрим эти
параметры подробнее.
98
Параметр характеризует интенсивность пополнения запасов, он равен
).()(
)(
;6,...,2,1),()()()(
)(
);()(
)(
76
7
11
01
0
tPtP
dt
tdP
itPtPtP
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
iii
i
7
0
1)(
i
i
tP
S0
S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
среднему объему запасов, которые необходимо подвести, чтобы увеличить
запас на строительном объекте в среднем на одни сутки. Фактически его смысл
заключается в отношении среднего объема завозимых запасов к необходимому
объему требуемых строительному объекту запасов на одни сутки. В случае
стабильного строительства без сильного влияния каких-либо условий на его
течение, то есть когда пополнение запасов в среднем равно объему
израсходованных запасов, данный параметр равен единице.
Параметр характеризует интенсивность расходования запасов, он равен
среднему расходу запасов за один период времени. В стационарных условиях,
когда нет необходимости менять расход запасов, этот показатель также равен
единице (что следует из определенной системы измерения запасов). В случае
вмешательства случайных негативных факторов, параметр возрастает и
модель позволит рассчитать вероятностные состояния системы.
На основании теории марковских процессов гибели и размножения и с
учетом указанных допущений, составим граф состояний марковского процесса,
который приведен на рисунке 3.8.
Рис. 3.8. Граф состояний процесса гибели и размножения
Для решения поставленной задачи, необходимо найти вероятности
состояний Pi(t), i = 0,1, …, 7, которые имеют смысл вероятность того, что в
момент времени t случайный процесс будет находиться в состоянии Si.
На основании приведенного графа из рис. 3.8, составляется система
дифференциальных уравнений Колмогорова [23, 48] вида:
(3.21)
Система дифференциальных уравнений (3.21) является однородной и
вырожденной [6], поэтому из нее можно удалить одно (любое) уравнение,
заменив его условием нормировки:
99
. Сделаем это с последним
уравнением, получив невырожденную систему дифференциальных уравнений
.1)(
;6,...,2,1),()()()(
)(
);()(
)(
7
0
11
01
0
i
i
iii
i
tP
itPtPtP
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
.,7...,,1,0;0)0(;1)0( kiiPP
ik
7...,,1,0);(lim
itPP
i
t
i
.1
;6,...,2,1,)(
;
7
0
11
01
i
i
iii
P
iPPP
PP
вида:
(3.22)
Система (3.22) дополняется начальными условиями, заключающимися в
том, что в начальный момент времени система находилась в состоянии Sk:
(3.23)
Одной из основных проблем реализации данной модели является то, что
неизвестно, в каком состоянии находилась система в начальный момент
времени. Однако, при длительном проведении строительных работ, этот фактор
не важен.
Перейдем к статической модели пополнения и расходования запасов на
некотором объекте строительства, когда функционирование случайного
процесса ведется длительное время и фактор наличия необходимых запасов не
является определяющим в усредненном понимании.
В таком подходе, решение задачи сводится к нахождению финальных
вероятностей состояний случайного процесса:
,
которые будут независимы от времени.
В этом случае система дифференциальных уравнений (3.22) с
начальными условиями (3.23) переходит в систему линейных алгебраических
уравнений вида:
(3.24)
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]