1.6. МУЛЬТИВИБРАТОР

ратора, при этом алгоритм вычисления сокращается вдвое, а за пер-

+

Φ

(

)

=

−

−=Δ

−

=

вым и вторым пунктами непосредственно следует восьмой шаг.

8. Равенство потенциалов (1.61) и условие разбаланса приводят систему (1.55) к уравнению

U

1

EYYU

=

432

,

YY

+

43

из которого по методу эквивалентов следует непосредственно линейное решение (1.57) при условии

разбаланса.

YY<<

34

Из линейности статической характеристики (1.57) компаратора

(рис. 1.4) следует пропорциональность преобразования функцио-

нальных координат )( параметров:

F в пространственные координаты )(RF

. (1.62)

// RREUU

43021

За счёт избыточности коэффициентов усиления статическая характеристика компаратора имеет релейную форму, что важно для оперативного переключения схемы в момент сравнения напряжений по алгоритму:

если

>

⎫

⎧

UU

, то

⎬

⎨

21

<

⎭

⎩

1

⎧

=

E

0

. (1.63)

⎨

0

⎩

Как видно из выражений (1.57) и (1.62), при увеличении коэффициента

уменьшается абсолютная мера

для постоянного порога Е0 пропорционально

/ RRk =

340

, что соответственно по-

UU

21

вышает точность контроля сравнения амплитуд и их преобразования во временной интервал за счёт снижения приведённой погрешности:

Δ

ε =

. (1.64)

D

Для регламентированной разницы Δ при уменьшении погрешно-

ε

(1.64) расширяется диапазон

сти

изменения ам-

AAD

minmax

плитуд сравниваемых напряжений.

Таким образом, в отличие от итерационных расчётов, метод эквивалентов вдвое сокращает технологичность алгоритма получения априори линейной статической характеристики с закономерными условиями избыточности усиления ОУ и компаратора.

31

1.6. МУЛЬТИВИБРАТОР

С

Y

Y1Y2I

C

β

1. Структурной схеме (рис. 1.5, а) мультивибратора сопоставим

схему замещения (рис. 1.5, б) в виде сигнальных графов [8].

2. Методом узловых потенциалов по правилам Кирхгофа со-

ставим систему уравнений для неизвестных узлов с потенциалами

е

, е+, Е:

–

⎧

−

⎪ ⎪

⎨

+

⎪

2

⎪ ⎩

dU

CYYe

+⋅=

;0

dt

+⋅=+

;0)(

EYYYYe

(1.65)

2121

−+=

).(β

eeU

−+

3. Подставим первое и второе уравнения системы (1.65) в

третье вместо потенциалов е

где

RCT =

– постоянная времени.

Для условия разбаланса

ления

RRYYk==

цирования получим уравнение

и е–:

+

U

β

, после разделения переменных дифферен-

12210

dU

Y

22

E

=

YY

+

E

1

⎛ ⎜

k

T

⎝

0

dU

T

−

21

YY >>

, с учётом коэффициента уси-

21

U

−=

β

,

dt

⎞

2

dt

,

⎟ ⎠

R

0

R1

E

R

2

–

e

+

E

б) а)

Рис. 1.5. Схемы мультивибратора

32

которое для интегрирования по частям приводится к виду

η

=

η

∞→β

=

ε

=

U

2

dU

e

-

Проинтегрируем уравнение по напряжению в пределах

β

Ue =

на интервале времени τ,0 для нахождения динамиче-

2

−

ской характеристики мультивибратора:

τ

⎡

U

1

⎢

2

∫

T

⎢

⎣

0

τ

1

∫∫

T

0

E

⎛

−=

⎜

k

⎝

0

U

E

⎛ ⎜

⎜

k

⎝

0

U

2

β

⎞

2

−=

dt

⎟

.

⎟

β

⎠

U

2

⎤

⎞

dt

⎟

⎥

⎠

⎥

⎦

1

⎞

⎛

1

−

. (1.66)

⎟

⎜

β

⎠

⎝

Характеристика (1.66) мультивибратора (рис. 1.5) нелинейная с неявным представлением напряжения

.

U

2

4. Потребуем решение в явном виде с квазилинейной характе-

ристикой

U

20

τ

1

E

=

dt

, (1.67)

∫

k

T

0

тогда исследуемую характеристику (1.66) можно представить произведением эквивалента (1.67) на нелинейность

UU

, (1.67а)

202

с функцией вида

=η

1 S

β−

, (1.68)

11

β−

:

аналогичной для схемы интегратора (1.47).

5. Тождеству эквивалентной и исследуемой характеристики из

выражения (1.67а) соответствуют оптимальные условия (см. п. 1.4, шаги 5 – 7):

единичная нелинейность 1

избыточность усиления

нулевая погрешность

н

тождественность потенциалов

,

, (1.69)

0

,

ee .

+

−

,

33

6. Закономерности (1.69) вдвое сокращают алгоритм вычисле-

T

E

τ

=

τ

ния характеристики (1.67) мультивибратора, так как из тождественности потенциалов следует простое соотношение с учётом уравнений системы (1.65)

где

RRk =

– коэффициент усиления. После разделения пере-

120

менных дифференцирования и интегрирования по частям

U

2

dU

T =

dt

=

dU

E

,

k

0

τ

E

dt

,

∫∫

Tk

0

00

находим не только квазилинейную характеристику (1.67), но и тождественное линейное преобразование амплитуды напряжения во время:

Uk

τ

20

=

. (1.70)

Из закономерности линейного преобразования (1.70) следуют

импульсные характеристики по широте )(U

Uk

20

T

=τ

;

E

1

=

τ

E

Ff

=

Uk

где

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

TF 1=

– частота следования периодов T при равенстве напря-

и частоте )(Uf :

(1.71)

,

20

kEU =

жений

.

02

Уравнения (1.71) показывают, что широтно-импульсное преоб-

разование организуется пропорционально изменению мгновенного

U

напряжения

при его равенстве нормируемому эквиваленту

2

в момент времени с широтой измерения

. Преобразование ампли-

kE

0

туды в частоту f линейно изменению нормируемым мерам

kEEi=

в момент их равенства порогу напряжения

00

частотой следования импульсов длительностью

34

.1 f

UU

с

20

Анализ соотношения (1.70) показывает закономерность линей-

T

С

ного преобразования амплитуды во время импульсов и импульсов в амплитуду за счёт сравнения исследуемого

сигналов за период

(необходимое условие) при их различии меж-

U

и нормируемого

2

iE0

ду собой во временном соотношении на один порядок (достаточное условие), что соответствует широтно- или частотно-импульсному преобразованию амплитуды.

1.7. АНАЛОГО-ИМПУЛЬСНЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ

1. Структурная схема (рис. 1.6, а) аналого-импульсного преобразователя (АИП) синтезирована методом аналогии [8] по определению функции «измерения», как алгоритма последовательности действий необходимых и достаточных условий (см. п. 1.6). Заменим структуру АИП (рис. 1.6, а) граф-схемой (рис. 1.6, б) замещения для математического моделирования импульсных характеристик.

2. Для узлов граф-схемы с неизвестными потенциалами

,

e

по правилам Кирхгофа составим систему уравнений

U

+

2

⎧

=

−

⎪ ⎪

⎨

+

⎪

2

⎪ ⎩

dU

;

CYe

dt

;)(

YUYUYYe

+=+

221121

).(

eeU

−β=

−+

(1.72)

e

−

3. Подставим неизвестные потенциалы −e и +e из первого и второго уравнений системы (1.72) в третье и получим выражение

,

0

Y

U1

R

R1

U

2

e

Y

R

2

U

1

а) б)

I

C

β

Y

U

2

Рис. 1.6. Схемы АИП

35

dU

=

2

T

−+=

0

dt

,

при условии усиления схемы

U

2

β

YY >>

разбаланса, а также наличии коэффициента

21

.

YYk

210

U

1

k

Приведём подобные члены и запишем уравнение для интегри-

рования по частям на интервале

, UeU−= :

2

U

2

dU

e

−

τ

⎡ ⎢

∫∫

T

⎣

0

τ= ,0t

в диапазоне напряжения

111

⎛

UU

⎜

21

⎜

k

⎝

⎞

⎤

−+= β

0

.

dt

⎟

⎥

⎟ ⎠

⎦

Из третьего уравнения системы (1.72) следует значение потен-

циала:

−

так как из схемы АИП (рис. 1.6)

11

⎛

Ue , (1.73)

⎜

2

⎜ ⎝

+

⎞

−=

⎟

k

β

⎠

0

.

kUe

02

После интегрирования по напряжению и подстановки пределов

и

U

2

АИП:

получим динамическую характеристику исследуемого

e

−

τ

1

U

[]

∫

T

0

()

0212

()

. (1.74)

β+−β−+=

11111

kdtkUU

0

4. Используя метод эквивалентов, потребуем желаемое линей-

ное решение:

U

τ

1

=

T

, (1.75)

dtU

120

∫

0

тогда исследуемую характеристику (1.74) можно представить через эквивалент (1.75)

, (1.76)

η

UU

202

где η – нелинейность преобразования.

36

Нелинейность АИП представляется дробью

(

)

−+β

(

+

β

+

+=η

11

⎛

1

S

⎜ ⎝

=η

⎛

1

⎜

k

⎝

в которой S – сокращение интеграла

S

=

1

∫

T

⎞

−+

⎟

β

k

⎠

0

, (1.77)

11

⎞

−−

⎟

β

⎠

UdtU

.

202

5. Качественный анализ выражения (1.76) показывает единич-

ное значение 1=η при нулевой погрешности нелинейности:

11

−=ε

н

, (1.78)

β

k

0

что достигается избыточностью коэффициентов усиления β – ОУ и

– АИП. Докажем это аналитически, преобразовав (1.77) к виду

k

0

удобному для дифференцирования относительно

=η

приравняв к нулю производную

η

d

⎡

=

d

⎢

β

d

⎣

Вычислим производную нелинейности η:

kS

1

()

0

k

+−β

0

1

()

k

0

1

()

1

0

k

()

0

1

−

111

()

[]

111

+−β

SkS

0

111

+−β

k

0

SkS

−+β

)

⎤ ⎥

111

+−β

⎦

)

0

k

+−β

0

kS

0

β:

,

0

=β

d

.

SkS

−

111

,

0

=

2

01

=η−+

,

что достигается при избыточности ∞→β, а также когда

1 kS

. (1.79)

0

37

Определим оптимум нелинейности η относительно усиления

+

=

η

∞→β

∞

ε

+

−=η

−

=

ε+=ε+

−

k

0

при дифференцировании выражения (1.79) и обнулении производной:

η

d

=

dk

0

что соответствует с учётом (1.79) уравнению

−

k

0

или линейности преобразования (1.76) и (1.75)

при условиях избыточности усиления

+

Sk

⎛

d

⎜ ⎝

0

2

k

0

⎞

0

⎟

k

⎠

0

Sk

11

()

k

0

1opt

,

→

k

0

=

dk

,

0

01

=η−=

,

(1.80)

. (1.80а)

6. Аналогичный результат (1.80) следует для нулевой погреш-

ности нелинейности

а также оптимизации нелинейности η по

:

н

η

d

=

d

ε

d

S

1

ε+

limlimopt

=η=η

→ε→ε

00

S

1

⎛ ⎜

ε−

1

⎝

н

1

ε−

н

ε+

⎞

н

d

⎟ ⎠

н

01

+

=

−

:

н

0

=ε

,

1

=

01

.

После дифференцирования и приведения подобных членов по-

лучим, что

1

S

+

1

ε−

()

1

н

Это соответствует тождеству

которое возможно, как следует из выражения (1.77), при 1

Действительно, из решения уравнения (1.77) получим

S

н

ε−

н

1

=

2

()

1

S

ε−

н

S

, (1.81)

.

0

=η+

S .

SSS 1,

а нелинейность (1.81) при этом является единичной константой (1.80).

38

7. Для закономерностей (1.80) при 1

−

=

ε

≈

=

(

Φ

линеаризации АИП: инверсия аналогового входного напряжения относительно порогового напряжения

UU −=

21

τ

1

dtU

2

∫

T

0

S ,

τ

1

dtU

1

∫

T

0

что приводит к тождеству

0

ττ

−=

1

∫∫

0

S следует условие

выхода АИП, т.е.

U

2

1

−==

,

dtUdtU

2

U

из которого следует разнополярность преобразуемых амплитуд.

Следовательно, квазилинейное преобразование (1.75) достигается в АИП при избыточных коэффициентах усиления и единичной нелинейности (1.80) при нулевой погрешности

и инверсии пре-

н

образуемых амплитуд.

8. При выполнении закономерных условий квазилинейное преобразование (1.75) тождественно линейной динамической характеристике АИП для медленно изменяющегося входного

τ

U

1

20

T

из которой следует амплитудно-частотная зависимость

=

Udt

==

∫

0

Ff

1

T

U

1

(1.83)

E

при фиксации выходного напряжения равным ной мере за период

следования импульсов частоты f .

FT 1

U

1

τ

, (1.82)

20

сигнала:

const

нормирован-

EU

Линейность частотного преобразования (1.83) амплитуды приводит к прямо пропорциональной закономерности – трансформации функции из координат функционального

временные

координаты:

()

TF

f

U

() ()

F ===Φ

1

F

E

TF

пространства во

)

F

. (1.84)

1

39

Справедливо и обратное линейное частотно-амплитудное пре-

=

(

образование при выполнении закономерностей: избыточности усиления ОУ и АИП при нулевой погрешности нелинейности и единичной нелинейности.

9. Закономерные условия (1.80), (1.84) приводят к тождествен-

ности узловых потенциалов ОУ (см. рис. 1.6):

, (1.85)

ee

−+

что очевидно из третьего уравнения системы (1.72) при избыточности β в пределе

∞→β

β

UU

22

=

∞

()

0lim

.

−==

ee

−+

Условие (1.85) соответствует виртуальной земле, гальванически развязывающей амплитудные и импульсные сигналы для их линейной адресации из функциональных

во временные

()

ΦF

TF

коор-

)

динаты (1.84).

Это приводит к виртуальности ОУ в АИП-преобразованиях, что справедливо для оптимального решения – ИКР.

10. Для условий линейной закономерности (1.80), (1.84), (1.85) из системы (1.72) напрямую следует простое дифференциальное уравнение первого порядка

которое после интегрирования на интервале времени

dU

TU =

1

,

dt

τ= ,0t

по диа-

пазону напряжений

приводит к тождеству

Для медленно изменяющегося напряжения

EU ,02= :

E

0

dU

E

τ

1

=

T

τ

1

=

∫

T

0

dtU

1

∫∫

0

. (1.86)

dtU

1

относительно

U

1

частоты следования импульсов из (1.86) определяется линейная зависимость (1.83).

40