3.3. ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ КАЛИБРОВКИ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Технология аналого-цифровых преобразователей. Монография.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Тождественность влажностей Wi = W0i из моделей (3.66) и (3.67)

−

(

)

()()(

−−=−−

(

−

−−=−−

(

)

−−−

реализует характеристику нормируемой влажности W

, (3.69)

−

isi

а тождественность токов Ii = Idi приводит к синтезу характеристики минимума структурного тока I

sis

. (3.70)

−

Анализ выражений (3.69) и (3.70) показывает взаимозависи-

мость дополнительных калибровочных характеристик W связь с информативными параметрами {W величинами {W

, Ii}. Общее решение уравнений (3.69), (3.70) нахо-

, Is} и нормированными

и Iis и их

дят итерационным анализом, а алгоритмы параметрической оптимизации {W

, Is} выводят из калибровки характеристик (3.69) и (3.70)

по i и (i + 1)-м образцам верхней и нижней границ адаптивного диа-

пазона

Алгоритм расчёта параметра I

следует из решения системы

уравнений (3.69) для i и (i + 1)-х измерений на образцах границ диапазона:

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪

⎪ ⎩

−

;

−

isi

00,1

−

(3.71)

−

,11

sii

Поделим одно уравнение системы (3.71) на второе и сгруппируем подобные члены:

Разделим между собой переменные относительно параметра Is:

()

[]

−

)

IIIIWIIIIW

siisiisisiii

)

++++ 10,110,1

)

IIIWIIIWIIWIIWI

10,110,10,110,1 +++++++

iisiiisiiiisiisiiis

и выразим алгоритм расчёта информативного параметра минимума тока структуры:

()

+++

()

0,110,1

IIIWIIIW

iisiiisiii

++++

10,110,1

IIWIIW

−−−

. (3.72)

isiisiii

121

Алгоритм (3.72) показывает зависимость тока Is структуры от

(

)

(

−−−

−

(

)

−=−

(

)

(

−−−

полного тока I ниц диапазонов {

ме параметр I

и значений характеристик Wi0, Iis для i и (i + 1)-х гра-

зависит от известных значений W0i, W

}, т.е. Is{Ii, Wi0, Iis}, и лишь в неявной фор-

влажности

0i+1

образцов.

Учитывая зависимость (3.66) и тождественность влажностей

= W0i, несложно преобразовать алгоритм (3.72) к стандартному

виду калибровки по модели {1, 1}:

−

010

−

, (3.73)

IWIW

1010

iiii

так как выразив в числителе и знаменателе (3.72) подобные члены

, I

, после их сокращения получаем зависимость

i+1

()

+++

01,10,1

()

IIWIIW

)

iisiisii

−−−

IIIWIIIW

101,10,1

++++

iiisiiisii

которая преобразуется к выражению (3.73).

Калибровочная зависимость (3.70) удобна для вывода алгоритма оптимизации W на образцах границ диапазона:

из системы уравнений для i и (i + 1)-х измерений

⎧ ⎪

⎪

sis

⎨ ⎪ ⎪

⎩

;

−

ssi

−

(3.74)

0,110

010

С учётом модели (3.66) систему (3.74) можно представить (после подстановки I

из одного уравнения в другое) в виде выражения

IIWIWIW

iiiiii

+++ 100110

из которого следует алгоритм расчёта параметра W0 для калибровки

, W0i} и

по модели {1, 1} относительно нормированных значений {I

, W

i+1

модель (3.66), получаем зависимость

122

}. Используя закономерность тождественности Wi = W0i и

0i+1

IIWIIIWI

++++

−

01,10,11

)

iisiiisiii

Перемножая в числителе выражения в скобках на соответст-

(

−−−

(

)

−

вующие токи I максимума влажности W

(3.70) математической модели (3.66) с кодом {0, 0} = {W

, I

, находим алгоритм оптимизации нормированного

i+1

для калибровочных характеристик (3.69) и

, Iis}:

. (3.75)

)

+++

−

IIWIIW

()

0,110,1

isiisiii

Из алгоритма (3.75) очевидна неявная зависимость информативного параметра W комый параметр W

, Iis} и полного тока Ii образцов для i и (i + 1)-х границ диапазо-

нов {

от известных норм {W0i, W

является функцией от зависимых характеристик

} образцов. Ис-

0i+1

Анализ аппроксимации желаемой функции по модели {0, 0} =

, Iis} показывает:

= {W

– сложность процедуры калибровки из-за использования

трёх взаимозависимых характеристик W I

, Wi0) в отличие от двух и одной по моделям с кодами {0, 1} =

is (W0i

= {W

, I0}, {1, 0} = {W0, Isi} и {1, 1} = {W0, Is};

– неявную связь информативных параметров {W мированных значений образцов {W

диапазонов {

значений характеристик {W

} при их регламентации от взаимозависимых

, Iis};

, W

, Wi0, Wis), W

i (Ii

} для i и (i + 1)-х границ

0i+1

, Iis) и

i0 (Ii

, Is} от нор-

– низкую метрологическую и технологическую эффективность

аналитического контроля из-за иррациональных аппроксимаций по итерационным алгоритмам последовательного приближения субъективных мер измерения.

3.3. ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ КАЛИБРОВКИ

Оценить математические модели можно из сопоставления их оптимальных выражений, предельных образов характеристик и значений их параметров [3, 8, 12].

3.3.1. МОДЕЛЬ {1, 0}

Модель {1, 0} с фиксированной константой W0 = 1 и функцией тока I нормы W

структуры, компенсирующей неопределённость единичной

(3.76)

IIW

isii

123

организуют из модели с кодом {1, 1} с двумя информативными па-

(

−

раметрами {W

, Is}:

. (3.77)

)

IIWW

disi

Закономерности калибровки регламентируют тождественность эквивалентам {W модели (3.76) и (3.77) к системе уравнений

, Idi} измеряемых величин {Wi, Ii}, что преобразует

;)1(

⎧ ⎨ ⎩

WII

isii

−=

(3.78)

.)1(

WWII

0iisi

Поделим первое уравнение системы (3.78) на второе и выразим калибровочную функцию тока I

через нелинейность ничной нормы W

нормируемого D

= 1 в виде отношения исследуемого D = 1 – Wi и

= 1 – Wi / W0 диапазонов:

структуры

(3.79)

II η

wssi

, компенсирующую неопределенность еди-

1WWW

=η

−

. (3.80)

Качественная оценка функции (3.79) показывает её линейность

= Is при единичном значении нелинейности

количественно, приравнивая нулю производную

−

⎛ ⎜

⎜

−

⎝

⎞

⎟

⎠

Вынесем подобные члены за скобку

− WWW

и с учётом формулы (3.80) нелинейности

следующее из соотношения (3.81). Это соответствует тождеству

−

⎛ ⎜

⎜

⎝

−

)1(

−

010=

10=

−

⎞

−

⎟

⎟ ⎠

000

запишем равенство

(3.82)

. Докажем это

dWd

WWW

(3.81)

124

качественной оценки функции (3.79) после подстановки в (3.81) вы-

−=−

−

(

−

ражения (3.80):

Для условия (3.81) формула (3.80) тождественна единице, так как

при этом функция Isi (3.79) стремится к информативному параметру

. (3.83)

)1(

==η

Isi = Is, (3.84)

WWW

−

соответствующему минимальному значению тока Is структуры.

Тождество (3.84) отражает предельное значение функции I

при

обнулении производной нелинейности (3.80), когда выполняется тождество (3.82) согласно алгоритму

lim

→

II =

ssi

−

. (3.85)

Из анализа нелинейности (3.80) предела (3.85) функции (3.79)

следует, что математическая модель {1, 0} = {W

, Isi} формулы (3.76)

стремится к образу модели {1, 1} с информативными параметрами

, Is} за счёт исключения нелинейности по алгоритму минимиза-

ции (3.85) предела функции калибровки.

Следовательно, оптимальными значениями неопределённой постоянной и компенсирующей её функции {W информативные параметры {W

, Is} = opt{W0, Isi}, преобразующие

модель (3.76) со сложной калибровочной функцией I

, Isi} = {1, 0} служат

к оптималь-

ной математической модели (3.77) с кодом {1, 1}, программно управляемым в адаптивном диапазоне по образцам с известными значениями, нормируемыми на его границах.

3.3.2. МОДЕЛЬ {0, 1}

Модель {0, 1} с произвольной постоянной I0 и функцией нормированной влажности W

константы, имеет вид

, компенсирующей неопределённость

. (3.86)

)

IIWW

iii

125

Формула (3.86) следует из модели {1, 1} с информативными пара-

(

−

метрами {W

, Is}:

(3.87)

)

IIWW

disi

при замене минимального тока Is структуры на произвольную константу I ровочную функцию W

, а максимальная влажность W0 трансформируется в калиб-

Сопоставим математические модели (3.86) и (3.87) по их нели-

нейности нормируемых {W

нений

при условии тождественности измеряемых {Wi, Ii} и

, Idi} значений в процессе решения системы урав-

;)1(

⎧ ⎨ ⎩

IIWW

iii

(3.88)

.)1(

IIWW

−=

isi

Находим функцию калибровки W0i, приравнивая уравнения системы (3.88)

с учётом нелинейности стоянной I

по зависимости:

, компенсирующей неопределенность по-

, (3.89)

WW η

=η

. (3.90)

−

Качественная оценка выражения (3.89) показывает предельное значение информативного параметра W при единичном значении нелинейности

калибровочной функции Wi0

= 1. Количественную

оценку находят оптимизацией соотношения (3.90), приравнивая нулю его производную:

Дифференцируя нелинейность

− II

−

)(

−

⎛ ⎜

⎜ ⎝

по току Ii находим:

=−

)1(

⎞

00=

⎟

−

⎠

isiii

⎛ ⎜

⎜

−

⎝

. (3.91)

−

⎞

−

⎟

⎟ ⎠

а с учётом выражения (3.90) определяем оптимальное тождество

= 1. (3.92)

126

−//=

−

Из линейности (3.92) зависимость (3.90) преобразуется в уравнение

IIII

sii

которое показывает оптимальное значение константы I0, эквивалентное информативному параметру минимального тока I туры:

opt (I0) = Is. (3.93)

струк-

Тождества (3.92) и (3.93) требуют стабилизации функции Wi0 к оптимальному значению информативного параметра W нормированной влажности. Информативные параметры {W предельные значения opt {W

, I0} преобразуют модель (3.86) с ко-

максимума

, Is} как

дом {0, 1} к оптимальной математической модели (3.87) с кодом {1, 1}.

Следовательно, предельным образом модели {0, 1} с произвольной постоянной I

и функцией нормированной влажности Wi0,

компенсирующей неопределённость константы, является оптимальная математическая модель {1, 1} с оптимальными информативными параметрами {W

, Is}. Информативными параметрами программ-

но управляют по алгоритмам оптимизации в адаптивном диапазоне образцами с известными значениями влажности, нормируемыми на его границах.

Оценка нелинейности моделей {1, 0} и {0, 1} с фиксируемой произвольной константой и компенсирующая её неопределённость функцией показывают их стремление к оптимальному образу модели {1, 1} с программно управляемыми по образцам информативными параметрами. Следующим шагом по вектор

у сложности логичным является оценка модели {0, 0} с двумя варьируемыми функциями {W

, Isi}.

3.3.3. МОДЕЛЬ {0, 0}

Модель {0, 0} = {Wi0, I

теристиками максимальной влажности W структуры

формируется из модели {1, 1} с информативными параметрами

, Is}:

} с зависимыми калибровочными харак-

и минимальным током Iis

(3.94)

)1(

0 iisii

IIWW

127

−

−−=

−=−

−

(3.95)

)1(

00 disi

IIWW

при их неопределённости. Исследование влажности Wi по модели (3.94) усложняется алгоритмом аппроксимации желаемой функции по трём зависимым между собой калибровочным характеристикам

, Wi0, Iis), I

i (Wi

, Wi0, Wi) и W

is (Ii

, Iis, Wi), варьируемым по субъек-

i0 (Ii

тивным законам.

Для сопоставления моделей {0, 0} и {1, 1} определим калибровочные характеристики W (3.94) и (3.95) при условии тождественности измеряемых {W нормируемых {W ности W

= Wi0 приводит к системе уравнений

, Idi} значений. Тождественность значений влаж-

и Iis из совместного решения выражений

;)1(

⎧ ⎨ ⎩

IIWW

iisii

(3.96)

,)1(

IIWW

−=

isi

, Ii} и

позволяющей найти образ калибровочной характеристики нормировки W

с нелинейностью

, (3.97)

WW η

=η

. (3.98)

IIII−

isi

Нелинейность зависимости (3.98) в отличие от выражения (3.90) усугубляется неопределённостью множества параметров I ных калибровочной характеристикой I

что следует из решения уравнений (3.97) и (3.98), так как

, (3.99)

]/)1(1[

WIIWII

00 siisii

00 iisiis

)()(

IIWIIW

, связан-

Тождественность значений токов Ii = Idi преобразует модели (3.94) и (3.95) к системе уравнений:

⎧ ⎨ ⎩

для получения калибровочной характеристики I

;)1(

WWII

iiisi

(3.100)

)1(

WWII

−=

isi

минимального тока

структуры

128

, (3.101)

−

(

[

−−=

−

(){

−−−

wsis

определяемой нелинейностью

=η

−

. (3.102)

Зависимость (3.102) по сравнению с соотношением (3.80) более нелинейна из-за неопределённости комплекса значений W рующих калибровочную зависимость

, (3.103)

]

)

111

WIWWIW

isiisi

, форми-

являющуюся решением системы уравнений (3.101) и (3.102) относительно W

Зависимости (3.99) и (3.103) служат для анализа правильности синтеза калибровок (3.97), (3.101) и оптимальных решений линеаризации нелинейностей (3.98), (3.102).

Анализируют соответствие калибровочной характеристики

(3.97) модели {0, 0}, подстановкой формулы (3.99) в выражение (3.94):

⎧

⎨

⎩

−−−= ]/)1(1[1

⎫

WIIW

⎬

000 iis

⎭

После сокращения подобных членов: единиц, предельных токов

и нормируемых влажностей Wi0 – получаем тождественность пре-

образования модели {0, 0} в эквивалентную модель {1, 1}:

. (3.104)

)1(

0 isi

IIWW

Тождественность исследуемого решения (3.104) эквиваленту (3.95) подтверждает правильность синтеза калибровочной характе-

ристики (3.97).

Аналогичные рассуждения справедливы при подстановке зависимости (3.103) в первое уравнение системы (3.100):

}

]11[1

IWWIII

0 siisisi

с получением тождественности исследуемого решения эквиваленту – второму уравнению системы (3.100), что подтверждает правильность синтеза характеристики (3.101).

Качественная оценка выражений (3.97) и (3.101) показывает, что предельными значениями характеристик {W формативные параметры {W

, Is} при единичных значениях нели-

, Iis} служат ин-

129

нейностей

=η=

(

=∂∂−η

−

∂

(

[

=−−η−

. Количественную оценку находят оптимиза-

цией нелинейностей (3.98) и (3.102) при равенстве нулю их производных.

Определим оптимум нелинейности (3.98) по току:

Производная выражения (3.105) имеет вид:

−

isi

−

[]

)(

−

isi

или с учётом (3.98) находим, что

−

iis

⎛ ⎜

⎜ ⎝

=∂∂−

⎞

. (3.105)

⎟

−

⎠

isisiii

⎡ ⎢

−

⎣

isi

)

011

iisI

−

()

−

isi

⎤

∂∂−

iis

⎥ ⎦

. (3.106)

Определим частную производную из равенства (3.99), приведя его к удобному для дифференцирования образу:

∂

()

[]

∂

WWWIWWWI

−=+−

. (3.107)

000000

iisii

Подставляя выражение (3.107) в уравнение (3.106), получим со-

отношение

]

)

0111

из которого следует оптимальное единичное значение предельного выражения нелинейности по току:

= 1. (3.108)

opt

Это решение справедливо для равенства (3.106) при нулевом значении частной производной (3.107), а также из соотношения (3.98) при подстановке предельного значения характеристики тока:

= Is. (3.109)

Iopt

Оптимальные решения (3.108) и (3.109) требуют стабилизации функции (3.97) W раметра W

– оптимального максимума нормы влажности. Информа-

тивные параметры {W

к оптимальному значению информативного па-

, Is} как пределы характеристик {Wi0, Iis} пре-

образуют модель (3.94) с кодом {0, 0} к оптимальной математической модели (3.95) с кодом {1, 1}.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]