1.4. ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СХЕМЫ

2. По правилам Кирхгофа для схемы замещения (рис. 1.2, б) со-

+

=

β−=

(

)

−

=

η

ставим систему уравнений:

Учитывая, что

II

=

0

D

систему (1.35) к тождеству

U

2

β U

⎧ ⎨ ⎩

exp

;

IYUYe

2

eU

−

0

exp

D

(1.35)

.β

−

eU

⎞

−

, а

⎟

−

⎟ ⎠

β/

UU

+

⎛ ⎜

⎜ ⎝

21

0

, преобразуем

/

Ue

2

⎞

.

⎟

⎟ ⎠

−

−=

2

⎛

1

⎜

U

⎝

IYUY

+=−

02

3. Определим характеристику исследуемой схемы после приве-

дения подобных членов

⎛ ⎜

⎝

1

⎞

+

1

⎟

β

⎠

UU

+

−=

⎜

02

⎜ ⎝

⎛

exp

IYU ,

21

U

0

β/

⎞ ⎟

⎟ ⎠

откуда исследуемая характеристика находится в неявной форме нелинейного вида:

−=

exp

RIU . (1.36)

02

+

β/

UU

⎛ ⎜

U

⎝

⎞

21

⎟ ⎠

0

1

⎞

⎛

+

1

⎟

⎜

β

⎠

⎝

4. Нелинейной характеристике (1.36) по методу эквивалентов

(см. п. 1.2) сопоставим линейное решение в явном виде

(1.37)

/exp UURIU

01020

и определим условия линеаризации решения (1.36) с учётом эквивалента (1.37):

, (1.36а)

η

UU

202

где нелинейность η имеет вид

U

2

β

e . (1.38)

η

=

β1

+

5. Качественная оценка выражения (1.36а) приводит его к эк-

виваленту (1.37) при единичном значении нелинейности 1

.

21

Докажем это аналитическим решением в процессе оптимизации

∞=β

уравнения (1.38) относительно коэффициента усиления при обнулении производной

d

η

=

d

β

После дифференцирования (1.39) получим

d

1

η

=

β

⎛

1

−

⎜

1

β+

⎝

а приведя подобные члены, с учётом (1.38), находим соотношение

⎡

1

⎢

e

1

β+

⎢ ⎣

U

2

⎛ ⎜

β

⎜ ⎝

β

1

−η−

⎞

β

⎟ ⎟

1

β+

⎠

⎞

e

⎟

β+

⎠

()

1

U

2

β

0

=β

ded

. (1.39)

UU

22

U

ββ

2

−

2

β

UU

22

β+

ββ

e

0

=

e

,

⎤ ⎥

.

0

=

⎥ ⎦

Отсюда следуют равенство для определения оптимума нелинейности

⎡

1

⎢ ⎣

а также условие избыточности

U

⎛ ⎜

−=η

+

2

⎜

2

β

⎝

2

⎞

⎤

11

β

⎟

, (1.40)

eU

⎥

⎟

β

⎠

⎦

.

Избыточность коэффициента усиления β находится из обнуления дроби

что возможно для предела

1

lim =

∞→β

,

0

=

β+

1

.

0

β+

Вычислим пределы сомножителей выражения (1.40) при избыточном усилении:

lim

⎛ ⎜

+

⎜

2

∞→β

β

⎝

⎞ ⎟

=

⎟

β

⎠

1111

+

∞

;000

=+=

22

U

=

η

=

(

)

+

U

2

β

∞→

β

0

∞

.

1lim

===

eee

Подставляя пределы в равенство (1.40), находим оптимум нелинейности для избыточности β:

1opt

при ∞=β . (1.41)

6. Анализ нелинейности (1.38) при условии оптимальности

(1.41) показывает физический смысл дроби

1

ε

=

, (1.42)

н

β

как погрешности нелинейности исследуемого решения (1.36), так как при

стантой

7. Нулевая погрешность

0ε

=

н

, а нелинейность является единичной кон-

UU

202

ε

U

0н

=

ε

н2

()()

(1.42) и оптимумы (1.41) и (1.43)

ε

н

0

ee

н

101/ε1/

=+=+=η

. (1.43)

обеспечивают линейность экспоненциирования (1.37) за счёт организации виртуальной земли потенциала

Uе

−

н2

что приводит к гальванической развязке выходного

сигнала.

U

1

:

е

−

,

0ε

от входного

U

2

8. Для виртуальной земли система (1.34) приводится к

уравнению

,

0/exp

=

UUIYU

0102

откуда непосредственно следует линейное решение (1.36) для оптимума (1.43) при нулевой погрешности (1.42) и избыточности усиления, т.е. оптимальные параметры УПТ, который служит ИКР.

Следовательно, как и для амплитудных ИС, для функциональных ИС также правомерен информационный алгоритм расчёта из трёх пунктов, после первых двух следует третий шаг по п. 8, с аналогичными эффективностью и вы

водами для линейных интеграль-

ных схем (см. анализ п. 1.2).

23

1.4. ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СХЕМЫ

=

β

1. Для синтеза математической модели операторной ИС заменим структурную схему (рис. 1.3, а) схемой замещения (рис. 1.3, б) в сигнальных графах [4].

2. По правилам Кирхгофа составим систему уравнений для неизвестных узлов с потенциалами

⎧

−

⎨ ⎩

2

и

β.

:

U

2

+

;

IYUYe

С

(1.44)

e

−

1

−=

eU

−

3. Подставим в первое уравнение системы (1.44) значение потенциала

с учётом тока

из второго уравнения:

e

−

U

2

β

dU

=

CI

С

.

dt

dU

CYUY

+=−

1

dt

Объединим подобные члены одного порядка и введём постоян-

ную времени

/

:

CRYCT

2

β

dU

.

TUU−=+

1

dt

Разделим переменные интегрирования и проинтегрируем по

частям уравнение

U

2

dU

e

−

τ

1

∫∫

T

0

U

⎛

U

⎜ ⎝

⎞

2

,

dt

+−=

⎟

1

β

⎠

С

I

U1

R

U

U1

2

Y

e

–

C

U

–

2

б)

а)

Рис. 1.3. Схемы интегратора

24

после подстановки пределов получим исследуемую динамическую

(

)

β

=

η

=

η

характеристику

U

операторной схемы:

,,12tUU

τ

∫

T

0

()()

212

. (1.45)

−+−=

β/11/β/1dtUU

Анализ решения (1.45) показывает, что исследуемая схема – ин-

тегратор с нелинейной характеристикой в неявном виде.

4. Используя метод эквивалентов (см. п. 1.2), потребуем ли-

нейное решение исследуемого уравнения (1.45) в явном виде

U

τ

1

−=

T

, (1.46)

dtU

120

∫

0

тогда характеристику (1.45) можно выразить через нелинейность η:

, (1.46а)

η

UU

202

которая имеет следующий вид

⎛ ⎜

−=

⎜ ⎝

τ

∫

U

0

⎞

U

2

⎟

()

−

⎟

20

⎠

. (1.47)

1ββη Udt

20

5. Для получения линейного тождества выражения (1.46а) качественная оценка показывает единичное значение нелинейности (1.47). Докажем это аналитически, приравнивая к нулю производ-

ную нелинейности грал символом S:

d к приращению усиления βd , обозначив инте-

η

d

[]

()()

β

d

20

.

0/1/

=β−β−β=

dUSd

После дифференцирования получим

d

η

=

β

1

Ud

−β

()

1

20

−

S

−β

2

U

−β

()

1

20

1

=

U

1

−β

()

20

01

=η−

при условии (1.47), откуда следует единичное значение оптимума нелинейности

1opt

при ∞→β. (1.48)

25

Следовательно, линейность интегрирования ИС с эквивалент-

()(

)

−

=

===

+

=

ной (желаемой) характеристикой (1.46) достигается при оптимальных условиях (1.48) для тождества (1.46а):

τ

1

UU

−==

T

. (1.49)

dtU

1202

∫

0

6. Из нелинейности (1.47) следует физический смысл дроби , определяющий погрешность нелинейности от интегриро-

εβ/1 =

н

вания:

, (1.50)

S

ε1/ε1η −

нн

оптимальное значение которой при условиях (1.48) соответствует нулю:

, (1.51)

0εoptн=

так как из предела при избыточности коэффициента усиления видно, что

11

.

limεlim

=

н

∞→β∞→β

β

0

=

∞

7. Линейность динамической характеристики (1.49) достигает-

ся условиями (1.48) и (1.51) за счёт виртуальной земли узлового потенциала

Виртуальная земля узла сигнал от входного напряжения

, равного нулю:

e

−

.

−

0ε0ε

→

гальванически разделяет выходной

e

−

U

UU

.

1

00εlimεlim

22

U

2

8. При условиях виртуальной земли и избыточности усиления

упрощается решение системы (1.44), так как первое уравнение тождественно равно нулю:

.

0

IYU

С

1

Из этого тождества очевидна квазилинейная динамическая ха-

рактеристика (1.46) интегратора, так как

dU

T −=

dt

U

,

1

26

а после разделения переменных и интегрирования по частям равенства

напрямую следует, что

U

2

dU

∫∫

0

U

τ

1

−=

1

−=

T

dtU

1

T

0

τ

. (1.52)

dtU

12

∫

0

Следовательно, алгоритм расчёта интегратора сокращается вдвое,

так как после первых двух шагов следует третьим 8-й пункт.

За счёт виртуальных закономерностей операционного усилителя, как ИКР, квазилинейное преобразование (1.52) приводится к линейной динамической характеристике при постоянном или медленно изменяющемся входном напряжении

так как интегрирование константы приводит к линейной функции:

τ

1

∫

0

τ

01

:

U

1

τ

−=

UU

, (1.53)

12

T

()

τ0τ

UUtUdtU =−==

.

11

Аналогичная характеристика справедлива при линейном разложении в ряд экспоненты за счёт избыточности усиления напряжения:

⎛ ⎜

−= ⎜ ⎝

t

⎞

−

T

⎡

⎟

UUU

112

⎢

⎟

⎣

⎠

t

⎤

⎞

⎛

11e1

⎜ ⎝

,

−−=

⎟

⎥

T

⎦

⎠

что соответствует выражению (1.53) с обратным знаком. Знак минус характеристики (1.53) отражает инверсию сигнала операционным усилителем. Это говорит о закономерности линейного преобразования амплитуды в координатах времени:

U

2

1

t

k

==

. (1.54)

0

T

27

Прямая пропорция (1.54) позволяет реализовать не только линейное

(

+

измерение амплитуды аналогового сигнала, но и служит основой линейного преобразования функциональных координат амплитуды в координаты времени, например мультивибраторами (см. п. 1.6).

1.5. КОМПАРАТОР

1. Сопоставим структурной схеме (рис. 1.4, а) компаратора

схему [8] в сигнальных графах (рис. 1.4, б).

2. По правилам Кирхгофа для узловых потенциалов

составим систему уравнений:

⎧

−

⎪

()

⎨

+

⎪ ⎩

3. Значения потенциалов

(1.55) подставим в последнее:

E

=

β YY

Выразим подобные члены, используя условие разбаланса моста

, тогда получим

02=Y

Y

⎛

4

E −

⎜

YY

+

⎝

R

2

)

()

eeE

−=

−+

,

e

−

EYYU

432

+

YY

43

1

⎞

=

−

⎟

β

⎠

43

EYYUYYe

+=+

EYYUYYe

+=+

.β

из первых уравнений системы

+

−

+

YU

32

YY

+

43

e

−

;

21121

;

(1.55)

43243

EYYU

211

.

21

U

.

1

,

, E

e

+

Y

U1

U2

R1

R3

U2

Y

e

1

3

–

e

+

E

R

4

U1

2

E

–

β

+

Y4Y

4

Рис. 1.4. Схемы компаратора

28

Поделим правую и левую часть уравнения на первое слагаемое

(

−

+

(

)

−

=

(

+

β

(

+

β

скобки, заменив отношение

+

1

k

⎛

E −+=

0

⎜

β

⎝

−

коэффициентом

/YY

34

⎞

()

⎟

11

⎠

:

k

0

.

kUkU

0201

После деления уравнения на сомножитель при Е найдём исследуемую характеристику компаратора:

E

=

и, используя метод эквивалентов, потребуем линейное решение

1

k

()

0

kUkU

)

1β/1

−+

UUkE

2100

0201

(1.56)

. (1.57)

При этом исследуемое решение (1.56) можно выразить через эквивалент (1.57):

,

η0EE

где η – нелинейность характеристики вида

)

=η

01

1/1kEU+−β

()

. (1.58)

0

4. Определим оптимальное выражение нелинейности η относительно усиления (1.58) и приравняем её нулю:

После дифференцирования получим

EU

/1

+

()

k

1

+−β

()

0

ОУ, для чего возьмём производную выражения

)

/1β

+

η

d d

01

−

[]

⎡

= d

d

⎢

β

⎣

EU

/1

01

k

1

()

+−β

0

EU

⎤

01

()

1β

)

=

2

⎥

+−

k

⎦

0

1

k

1

−−β

()

0β

=

.

[]

0

EU

01

,

0/1

=η−+

откуда следует избыточность усиления ОУ, а также оптимальная к нему нелинейность

*

/1η EU+= . (1.59)

01

29

5. Оптимизируем зависимость (1.59) относительно коэффици-

(

−

=

η

∞

=

β

=

(

−==∞=

β

ента

усиления компаратора:

k

0

*

d

η

d

dk

0

⎡ ⎢

⎣

U

+=

1

−

()

⎤

dk

⎥

UUk

⎦

210

.

01

=

0

Дифференцирование нелинейности по усилению приводит к уравнению

1

k

0

/

−

k

что соответствует условиям линейности

1opt

при ∞→β,

)

UUU

2

0

1

211

k

*

)

0η1

=−=

,

0

. (1.60)

→

k

0

6. Закономерность линейности (1.60) обусловлена избыточно-

стью усиления компаратора:

что соответствует условию разбаланса сопротивление

R

минимально.

0

3

1

Y

4

0

==

Y

k

0

,

3

YY >>

или

43

, когда

RR >>

34

Следовательно, линейность компаратора достигается избыточ-

ностью коэффициентов усиления разбаланса

и

RR >>

34

RR >>

12

.

ОУ и

схемы при условии

k

0

7. Оптимальное единичное значение нелинейности (1.60) дик-

тует линейную характеристику (1.57) при тождественности потенциалов

, (1.61)

ee

−+

которая следует в пределе третьего уравнения системы (1.55) при избыточности усиления:

∞→β

)

eeEE 0//lim

.

−+

Тождество (1.61) обусловлено виртуальным потенциалом земли, гальванически развязывающим входные амплитуды напряжения

и

с выходным сигналом Е. Закономерности (1.60) и (1.61) повы-

U

2

U

шают технологичность расчёта статической характеристики компа-

30

1