Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория передачи сигналов. Учебное пособие
.pdf
21
2б. Марковский случайный процесс: текущие значения случайного процесса
зависят только от одного предыдущего значения, характеризуется
одномерной ПРВ и ПРВ перехода из одного состояния в другое.
2в. Немарковские случайные процессы: текущие значения случайного
процесса зависят от двух и более предыдущих значений.
3. Классификация случайных процессов по виду закона распределения
плотности вероятностей:
3а. Гауссовские и негауссовские случайные процессы.
Закон Гаусса (ПРВ)
2
2
1
2
)(2
)()(
exp
)(2
1
),(
t
tmtx
t
tx
x
x
1
),(),(
x
dxtxtxF
Многомерная ПРВ гауссовского процесса определяется одномерной ПРВ и
корреляционной функцией. Некоррелированные сечения гауссовского процесса являются
независимыми случайными величинами.
4. Классификация случайных процессов по виду корреляционной функции.
к
)]([ txМ
)]([ txD
)(),(),( xxDxМ
Рис.15. Марковские и немарковские случайные процессы
По третьему признаку классификации случайные процессы делятся на
гауссовские и негауссовские. У гауссовских случайных процессов
одномерное распределение плотности вероятностей подчиняется закону
Гаусса (рис.15). Многомерные ПРВ гауссовского процесса определяются
одномерной ПРВ и корреляционной функцией. Важное свойство гауссовского
случайного процесса: из некоррелированности двух сечений следует их
полная независимость (линейная и нелинейная).
3.3.Моментные функции случайного процесса
Для характеристики случайных процессов наряду с ФРВ и ПРВ широко
используются моментные функции.
Моментные функции – это среднее значение случайного процесса порядка
, полученное статистическим путем (рис.16).
Наиболее важными моментными функциями являются математическое
ожидание
и дисперсия
. В общем случае моментные функции
есть функции времени. Для стационарных процессов моментные функции и
ПРВ зависят лишь от значения случайного процесса [
].
22
Моментные функции -
это среднее значение случайного процесса порядка , полученное
статистическим путем.
к
dxtxtxtm
k
k
),()()(
dxtxtxMtxtxD ),()]([)([)]([
2
)()]([)(
0
txtxMtx
T
dttx
T
imxM
0
)(
1
)(
T
T
dttx
T
imxD
0
2
0
)(
1
)(
T
1к
2к
Усреднение по
множеству
реализаций
Усреднение по
времени
)(xM
)(x
Для стационарных и
эргодических случайных
процессов
dxtxtxtxMtm ),()()]([)(
1
)(xD
Лекция №3
Среднее значение случайного процесса
Рис.16. Моментные функции случайного процесса
Иллюстрация математического ожидания (среднего значения) случайного
процесса приведена рис.17.
Рис.17. Среднее значение случайного процесса
23
- коэффициенты, характеризующие вид функции ПРВ
k
x
k
m
1k
3k
4k
- коэффициент вариации, является мерой случайности
(стационарного случайного процесса)
- коэффициент характеризует степень несимметричности
функции ПРВ
- характеризует степень остроконечности функции ПРВ
( - обобщенный гауссовский закон,
- гауссовский закон)
2С
2,2 CС
2С
2С
4
4
x
m
С
][xD
x
Среднеквадратическое
отклонение
)(x
x
21
,tt
12
tt
к
Моментные функции определяют коэффициенты, характеризующие вид
обобщенных гауссовских законов (рис.18).
Рис.18. Характеристики обобщенных законов Гаусса
3.4. Корреляционная функция и спектральная плотность мощности
случайного процесса
Корреляционная функция случайного процесса устанавливает взаимосвязь
между двумя значениями (сечениями) случайного процесса, выбранными в
любые моменты времени
функция корреляции не зависит от начала отсчета, зависит от временного
сдвига между сечениями
функции является интервал корреляции
(рис.19). Для стационарного случайного процесса
. Важным параметром корреляционной
, который отделяет друг от друга
независимые сечения гауссовского случайного процесса.
24
Корреляционная функция случайного процесса
Корреляционная функция устанавливает взаимосвязь между двумя
значениями случайного процесса, соответствующими двум моментам
времени.
2121212121
),;,()()(),( dxdxttxxtxtxttR
x
212121
),,()()()( dxdxxxtxtxR
x
Для стационарных случайных процессов
)(
12
tt
Нормированная функция корреляции
)0(
)(
)(
x
x
x
R
R
r
)()0(
2
xDR
xx
)(
x
r
dr
xк
)(
0
интервал
корреляции
Свойства
)(
x
R
2
)0()(
xx
RR
0)(
x
imR
)()(
xxRR
1.
2.
3.
)(
x
r
)(
x
r
1/Sк
Нормированная функция корреляции стационарного
случайного процесса
dr
xк
)(
0
интервал корреляции
Рис.19. Корреляционная функция случайного процесса
Пример нормированной корреляционной функции
рис.20. Алгоритм расчета интервала корреляции: 1) расчет площади S под
кривой
; 2) расчет
, где 1- максимальное значение нормированной
корреляционной функции.
приведен на
Рис.20. Нормированная корреляционная функция случайного процесса
25
)(
x
R
)(S
)(
x
R
)(S
Спектральная плотность мощности (СПМ)
СПМ – энергетическая характеристика стационарного случайного процесса.
СПМ – это зависимость средней мощности случайного процесса от
полосы частот шириной в 1 Гц.
СПМ однозначно связана с корреляционной функцией преобразованиями
Винера-Хинчина.
)(
x
S
deRS
j
xx
)()(
deSR
j
xx
)(
2
1
)(
0
)cos()(2)(
dRS
xx
Для четных функций и положительных значений аргументов:
dS
S
x
x
эф
)(
)0(
1
0
Эффективная полоса частот случайного сигнала
Преобразования Винера-Хинчина:
)(
x
S
dSR
xx
)cos()(
1
)(
0
)(S
1
Корреляционная функция стационарного случайного процесса
однозначно связана с другой важной характеристикой, а именно, спектральной
плотностью мощности случайного процесса
. Спектральная плотность
мощности – это зависимость средней мощности стационарного процесса от
полосы частот, шириной в 1 Гц. Преобразования Винера-Хинчина связывают
между собой функции
и
(рис.21).
Рис.21. Спектральная плотность мощности случайного процесса
Одним из самых распространенных первичных сигналов является речевой
сигнал. Спектральная плотность мощности речевого сигнала приведена на
рис.22. На рис.22 отмечены основные точки
тона (определяет высоту голоса, имеет значения порядка 300 Гц); обертоны
(частотные составляющие голоса выше частоты основного тона, определяют
тембр голоса); форманты (повышенные обертоны шириной в 1Гц, определяют
разборчивость речи). Ширина полосы частот речевого (телефонного) канала
составляет (0,3-3,4) кГц.
:
- частота основного
26
Частота
основного
тона
Спектральная плотность мощности речевого сигнала
Модели речевого сигнала
)(
x
S
эф
Полиномы Баттерворта
k
k
S
k
xx
x
x
2/
)2/sin(
])/(1[
2
)(
2
2
Рис.22. Спектральная плотность мощности речевого сигнала
Для аналитических расчетов используются модели речевого сигнала,
представленные на рис.23. В основе моделей речевого сигнала лежат
полиномы Баттерворта.
Рис.23. Модели спектральная плотность мощности речевого сигнала
27
)(tS
)()(
0
tWStS
k
N
k
kk
)(tS
1k
N
k
S
)(tW
k
k
N
)()( tStS
k
N
T
kk
dttStVS
0
)()(
)(tV
k
4. Дискретное представление случайных процессов
4.1. Классификация дискретных представлений
Дискретное представление – это преобразование функции непрерывного
времени в функцию дискретного времени. Основное назначение операции
дискретного преобразования случайных процессов (первичных сигналов) –
это устранение информационной избыточности в сообщении, увеличение
скорости передачи информации и повышение эффективности использования
каналов связи. Дискретное представление является приближенным
аналитическим описанием сложных сигналов через элементарные сигналы,
отображающие простые функции, например, синусоидальные. Аналитическое
представление может быть линейным и нелинейным.
В рамках линейного представления детерминированный или случайный
сигнал
может быть точно или приближенно представлен в виде
линейного функционального ряда:
, (4.1)
где
- оценка сигнала;
- длина ряда;
- весовые коэффициенты или координаты функции;
- базисные функции (элементарные функции разложения сложных
сигналов).
Если
, то
(представление будет точным), если
конечно, то представление будет приближенным.
Оценка сигнала называется аппроксимацией и осуществляется на
-
приемной стороне. Весовые коэффициенты получаются на передающей
стороне по формуле:
, (4.2)
где
- весовая функция;
28
)()( tVtW
kk
)(ktS
k
t
)()(
kk
tttV
)(tV
k
)(),...(),(),(
210
tWtWtWtW
N
];batt
CdttWtW
k
Т
i
)()(
0
ik
ik
Т - длительность сигнала.
В зависимости от выбора весовых и базисных функций выделяют следующие
способы линейного дискретного представления.
1. Обобщенное дискретное представление в виде разложения в обобщенный
ряд Фурье с последующей аппроксимацией (широко используется в вокодерной
телефонии). В этом случае
2. Дискретное представление в виде отсчетов (мгновенных выборок
моменты времени
) с последующей интерполяцией (используется в импульсно-
.
в
кодовой модуляции). В этом способе весовая функция есть дельта-функция,
которая в момент отсчета равна единице, во всех остальных моментах равна
нулю:
.
3. Разностное дискретное представление в виде конечных разностей
различного порядка, когда весовая функция
является линейной
комбинацией мгновенных отсчетов (используется в дифференциальноимпульсно-кодовой модуляции). В простейшем случае для конечной разности
первого порядка производится операция вычитания из текущего мгновенного
отсчета предыдущего отсчета с последующей интерполяцией.
Процессы аппроксимации и интерполяции осуществляются на приемной
стороне.
4.2. Обобщенные дискретные представления ортогональным рядом (ОДП)
Для реализации способа дискретного представления ортогональным рядом
(разложением в ряд Фурье) необходима система ортогональных функций.
Система действительных функций
ортогональной на отрезке времени [
, если выполняются условия:
при
; 0 при
.
называется
При этом ни одна из функций не равна тождественно нулю:
29
0)(
0
2
dttW
Т
k
1)(
0
2
T
kk
dttWW
)()( tWtV
kk
k
S
)(tWSkk
Обобщенные дискретные представления ортогональным рядом (ОДП)
(разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье)
Система ортогональных функций:
0
)()(
0
С
dttWtW
k
T
i
ik
ik
при
при
0)(
0
2
dttW
Т
k
1)(
0
2
T
k
dttW
Система ортонормированных
функций
Функции не равны тождественно
нулю.
В качестве системы ортонормированных функций используются различные полиномы:
Лежандра, Чебышева, Уолша, Хаара, тригонометрические и др.
.
Если выполняется условие:
, то система функций
называется системой ортонормированных функций.
Для дискретизации используются формулы (4.1), (4.2), при этом весовые и
базовые функции совпадают:
.
Совокупность координат
называют спектром сигнала, произведение
- спектральными составляющими (рис.24).
Таким образом, обобщенный ряд Фурье представляет собой сигнал в виде
суммы спектральных составляющих. В качестве системы ортонормированных
базисных функций могут использоваться различные полиномы: Лежандра,
Чебышева, Уолша, Хаара, тригонометрические и др.
Рис.24. Разложение в обобщенный ряд Фурье
30
Пример разложения сигнала в ряд Фурье с помощью тригонометрических функций
Пример формирования координат
00 1 0 0 11 00
t
Координаты
Временной промежуток
для передачи
координат других
сигналов
Пример разложения в обобщенный ряд Фурье представлен на рис.25.
Рис.25. Разложение в ряд Фурье с помощью синусоидальных функций
Сигнал делится на временные отрезки (например, по 20мс), затем
анализируется с целью выработки координат, которые передаются в линию
связи за время, много меньшее, чем 20мс. В результате происходит временное
сжатие сигнала (рис.26).
Рис.26. Пример формирования координат
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]