Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория передачи сигналов. Учебное пособие
.pdf
121
)(jW
ф
Лекция №5
Оптимальная линейная фильтрация непрерывных случайных сигналов
Выделение полезного сигнала из аддитивной смеси сигнала и помехи:
)(t
)()()( tntty
Для гауссовских случайных процессов оптимальными являются линейные фильтры.
)(ty
)(t
)(jW
ф
Критериями оптимальности фильтрации являются: 1) минимум среднеквадратической
погрешности , обеспечивает наилучшее воспроизведение формы непрерывного
сигнала (фильтрация второго рода); 2) отношение максимального значения сигнала к
среднеквадратическому отклонению помехи , обеспечивает надежную фиксацию
факта наличия сигнала (фильтрация первого рода).
К фильтрам первого рода относятся согласованные и корреляционные фильтры.
Решение задачи оптимальной фильтрации (фильтрации второго рода) осуществляется
при непрерывном или дискретном наблюдении во временной или частотной областях.
Наиболее простой является расчетная модель линейной фильтрации в частотной
области при непрерывном времени.
2
11. Оптимальная линейная фильтрация непрерывных случайных
сигналов
При решении многих практических задач, относящихся к оптимальному
приему сигналов (в радиолокации, измерительной технике, видеонаблюдении
и др.) необходимо воспроизведение наилучшим образом сигнала на фоне
помех. Такая задача может быть решена с помощью теории фильтрации.
Наилучшее качество обеспечивают оптимальные нелинейный фильтры.
Для гауссовских случайных сигналов оптимальными являются линейные
фильтры.
11.1. Расчетная модель линейной оптимальной фильтрации второго рода
Задача теории оптимальной фильтрации - получить расчетные формулы
для определения частотной характеристики фильтра
создается расчетная модель, описание которой представлено на рис.122.
. Для этого
Рис.122. Расчетная модель оптимальной линейной фильтрации
122
)(
S
)(
п
S
)(t
)()()( ttt
1)(
jW
ид
Расчетная модель линейной оптимальной фильтрации второго рода
)(t
)(tn
и
- независимые эргодические случайные процессы с гауссовским
законом ПРВ и известными функции СПМ
)(
S
и
)(
п
S
Критерий оптимальности
min
2
)()()( ttt
Текущая погрешность
)(tn
)(t
)(ty
-
)(t
)(t
)(jW
ф
1)(
jW
ид
)(t
На основании
принципа
суперпозиции
получим
выражения (1,2).
2
22
)()()()()()()(
jWSjWSjWSS
идфпф
(2)
2
)(1)(
jWSS
ф
д
2
)()(
jWSS
фп
п
- помеховая составляющая текущей
погрешности
- динамическая составляющая текущей
погрешности
(1)
Так, на вход линейного фильтра поступает аддитивная смесь случайных
сигналов (независимых эргодических случайных процессов в виде полезного
сигнала и помехи) с гауссовским законом распределения плотностей
вероятностей с известными корреляционными функциями и спектральными
плотностями мощности
(сообщения)
. Для оценки качества используется приведенная дисперсия
текущей погрешности
и
. На выходе получаем оценку сигнала
(рис.28). Расчетная модель погрешности
представлена на рис.123. Она состоит из двух ветвей: реального оптимального
фильтра и идеального с модулем частотной характеристики
Рис.123. Расчетная модель частотной характеристики оптимального
линейного фильтра
На рис.123. представлен результат прохождения входной смеси через
фильтр на основании принципа суперпозиции. В формуле (2) выделены две
составляющие погрешности: помеховая (за счет попадания в полосу фильтра
123
222
пд
(3)
(5)
0
)(
)(
jdW
dS
ф
0
)(
2
jdW
d
ф
Фазовый сдвиг (время задержки) между входным и выходным сигналами фильтра не
влияет на текущую погрешность. Поэтому можно перейти от к .
.
Уравнение (6) решаем относительно .
)(jW
ф
)(
ф
W
)(
ф
W
(6)
Характеристика оптимального фильтра
оптф
W )(
оптф
W )(
)()(
)(
п
SS
S
(7)
djWSdjWS
фпф
22
2
)()(
2
1
)(1)(
2
1
22
)()()(1)()(
jWSjWSS
фпф
(4)
Расчет частотной характеристики оптимального линейного фильтра
помехи) и динамическая (за счет непропускания фильтром части полезного
спектра сигнала).
11.2. Характеристика оптимального фильтра
Для расчета частотной характеристики оптимального линейного фильтра
необходимо получить выражение дисперсии текущей погрешности и найти ее
минимум с помощью операции дифференцирования (6) (рис.124).
Рис.124. Частотная характеристика оптимального линейного фильтра
11.3. Анализ дисперсии текущей погрешность оптимального линейного
фильтра
Трудности разработки оптимальных линейных фильтров заключается в
том, что спектры полезного сигнала и помехи перекрываются. Частотная
характеристика оптимального линейного фильтра должна максимально
подавлять спектр помехи и вносить минимальные искажения в спектр
полезного сигнала. На рис.125 представлен анализ дисперсии текущей
погрешности, характеризующей качество фильтрации, для разных
124
)(
S
)(
п
S
После подстановки формулы (7) в выражение (5) получим:
(8)
Если , то , .
)(
)(
)(
п
оптф
S
S
W
22
Если , то , .
)()(
SS
п
1)(
оптф
W
22
п
В полосе частот, где спектры сигнала и помехи не пересекаются, т.е. ,
. На участках, где спектры сигнала и помехи пересекаются, АЧХ фильтра тем
меньше, чем меньше соотношение между спектральными составляющими сигнала и помехи.
0)()(
п
SS
1)(
оптф
W
)(
S
)(
п
S
оптф
W )(
1
Для физически реализуемых фильтров интегрирование имеет смысл в пределах от 0 до .
d
SS
SS
п
п
)()(
)()(
2
1
2
)()(
SS
п
Формула (8) показывает потенциальные возможности оптимальной фильтрации.
Анализ дисперсии текущей погрешности оптимального линейного фильтра
оптф
W )(
соотношений между спектрами (спектральными плотностями мощности)
сигнала
и помехи
.
Рис. 125. Анализ дисперсии текущей погрешности
Следует отметить, что приведенные формулы для
нереализуемы, выражение (7) является ориентиром для проектирования
фильтров, обеспечивающих минимальные искажения полезного сигнала.
12. Помехоустойчивость оптимального приемника дискретных
сигналов
Оценка помехоустойчивости дискретных сигналов базируется на теории
обнаружения и распознавания сигналов. В качестве основного показателя
помехоустойчивости систем используется вероятность ошибочного приема
- физически
элементарного сигнала.
125
Помехоустойчивость оптимального приемника дискретных сигналов
В качестве основного показателя помехоустойчивости приемника дискретных сигналов
используется вероятность ошибки при приеме элементарного символа .
ошРош
Р
пер
ош
N
N
пер
N
при
ij
1
Р
0
Р
0 ( ); 1 ( ); 2 ( ); 3 ( ) а=4
2
Р
3
Р
0
0/0
Р
Операция усреднения с помощью
априорных вероятностей
i
P
3210
3210 ошошошошош
РРРРРРРРР
Лекция №6
i
P
jiP/
- априорные вероятности
- апостериорные
вероятности
(позиционность кода)
для случая равенства апостериорных
вероятностей и равенства априорных
вероятностей
а
P
i
1
(1)
(2)
(3)
(4)
Пример аналитического расчета
ош
Р
0/1
P
0/2
Р
0/3
Р
3
1
0/
0
i
iош
РР
1/a
j
ji
a
i
iош
PPР
jiош
РаР
/
)1(
ош
Р
0/30/20/1
;; РРР
0/0
Р
3210
,, РРРР
ош
Р
12.1. Помехоустойчивость оптимального приемника дискретных сигналов
Определение вероятности ошибки приема элементарного сигнала
представлено на рис. 126 [1,7].
Рис.126. Определение вероятности ошибки
На рис.126 рассмотрен конкретный пример расчета
четырех сигналов (0,1,2,3) и варианты приема вместо переданного сигнала 0 .
Апостериорные вероятности
вероятность
- правильный прием. Вероятность ошибки при передаче
сигнала 0 определяется выражением (2). Усредненная вероятность ошибки по
всем возможным сигналам с учетом априорных вероятностей
характеризуют матрицу ошибок,
для случая передачи
формулой (3). Как видно из формулы (1), для расчета вероятности ошибки
нужны статические данные (эксперимент). Следует отметить, что
аналитический расчет
затруднен. Однако для многих важных задач
получены оценки вероятности ошибки в рамках общей теории
–
126
ош
Р
Помехоустойчивость оптимального и асимптотически оптимального приемника
различения полностью известных сигналов
На входе приемника
)(),()( tntStу
)(tS
)(tn
- ортогональные сигналы с
одинаковой энергией
- гауссовская помеха
Выражение коэффициента корреляции на выходе приемника в канале с копией
входного сигнала:
Выражение коэффициента корреляции на выходе приемника в канале без копии входного
сигнала:
Закон распределения ПРВ случайной величины - нормальный с
параметрами:
)(q
сп
2
2][
сп
qM
2
2][
сп
qD
сп
q
Закон распределения ПРВ случайной величины - гауссовский с
параметрами:
п
q
0][
п
qM
2
2][
п
qD
)(q
п
Вероятность превышения значения величины
H
h
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
dqqHhP
H
п
)()(
1
Hhhgq
ji
2
,
2)()()(
hhq
ji
)(0)(
,
ji
ji
РУ
)(ty
х
х
(6)
Случай «свой-чужой»
Случай «свой-свой»
)(
1
HhР
помехоустойчивости. Так, можно получить аналитическую формулу
для
случая, описанного выражением (4).
12.2. Помехоустойчивость оптимального приемника различения полностью
известных сигналов
Рассмотрим самый простой случай оптимального приемника полностью
известных сигналов (рис.127).
Рис.127. Помехоустойчивость оптимального приемника полностью
известных сигналов
Схема оптимального приемника корреляционного типа, описание входного
сигнала, характеристика коэффициента корреляции на выходе приемника для
случаев наличия сигнала и его отсутствия (на входе только помеха)
приведены на рис.127. Качество работы решающего устройства
двухпозиционного приемника оценивается вероятностью ошибки
т.е. превышения коэффициента корреляции в канале, где нет копии входного
сигнала (случай «свой-чужой»), значения коэффициента корреляции в канале,
где есть копия входного сигнала (случай «свой – свой») (рис.104).
,
127
2а
ош
Р
Вероятность отсутствия ошибки:
Вероятность отсутствия ошибки во всех каналах, где нет копии входного сигнала:
Вероятность правильного
приема:
1
1
)](1[
a
HhР
dHHHhPР
сп
a
прправ
)()](1[
1
..
)()( qH
спсп
1а
1,0
ош
Р
Вероятность ошибки:
..1прправош
РР
Выражение для ортогональных сигналов при условии
ош
Р
Выражение для сигналов с неизвестной начальной фазой:
ош
Р
)()1(
VаР
ош
)2/exp(]2/)1[(
2
аР
ош
2
- отношение мощностей
сигнала и шума на один
элементарный импульс
Выражение для канала с негауссовской помехой:
ош
Р
(8)
(9)
(12)
(13)
(14)
)(1
1
HhP
)](1,,[)1(
,
jiаоош
qVаР
ji
квадратурный прием
(7)
(11)
(10)
..прправ
Р
H
ош
Р
12.3. Помехоустойчивость оптимального многопозиционного приемника
Для оптимального приемника с позиционностью кода больше двух (
расчет вероятности ошибки усложняется из-за наличия многих комбинаций
каналов и сигналов. На рис.128 представлен алгоритм нахождения выражения
для
такого приемника.
)
Рис.128. Алгоритм расчета вероятности ошибки многопозиционного
приемника
Для облегчения расчета (рис.128) рассмотрена вначале вероятность
правильного приема
нет ошибки. В формуле (9) использована операция усреднения, так как
величина
является случайной.
(значение коэффициента корреляции в канале с сигналом)
, означающей, что ни в одном канале приемника
На рис.128 приведены также расчетные формулы вероятности ошибки для
случаев гауссовской (12) и негауссовской (14) помех, а также для случая
приема с флуктуирующими амплитудой и начальной фазой синусоидального
сигнала-переносчика (13). Приведенные формулы
широко используются
128
2
2
2
и
2
кв
2
ан
2
Лекция № 7
Помехоустойчивость цифровых систем передачи непрерывных
сообщений
Оценка помехоустойчивости – приведенная дисперсия суммарной
погрешности:
)(
2222
анквфи
2
2
и
ф
2
кв
2
ан
- погрешность интерполяции
- коэффициент фильтрации помех интерполяционным
фильтром
- погрешность квантования
- аномальная погрешность
1
ф
222
анкв
Причина погрешности: - операция квантования; действие внешних помех.
2
кв
2
ан
(1)
(3)
(2)
222
анкви
02
и
для оценки помехоустойчивости систем передачи информации с дискретными
сигналами, например, ИКМ, ДИКМ.
13. Помехоустойчивость цифровых систем передачи непрерывных
сообщений
Цифровые системы передачи сигналов (ИКМ, ДИКМ) предназначены для
передачи непрерывных сообщений с помощью дискретных каналов,
использующих импульсные сигналы-переносчики. Поэтому в качестве оценки
качества (помехоустойчивости) передачи сигналов используется приведенная
дисперсия текущей погрешности
погрешности
состоит из суммы нескольких составляющих: погрешности
дискретизации (интерполяции)
(рис.28). Величина текущей
, погрешности квантования
погрешности, возникающей в линии связи от больших выбросов помех,
называемой аномальной
(1), представленной на рис.129. Высокое качество
интерполирующих фильтров (2) позволило упростить формулу для
суммарной приведенной текущей погрешности
(3).
,
Рис.129. Суммарная погрешность цифровых систем передачи информации
13.1. Оценка погрешности квантования в цифровых системах с ИКМ и ДИКМ
129
Оценка погрешности квантования в цифровых системах с ИКМ
Погрешность квантования – неустранимая погрешность, возникает
вследствие замены истинного значения сообщения
разрешенным квантованным уровнем .
)(кt
кв
- случайная величина, ПРВ зависит от способа разбивки шкалы,
способа отождествления истинного значения с квантованным уровнем (шаг
квантования, число уровней квантования, основание кода), ПРВ сообщения.
При равномерном распределении ПРВ сообщения оптимальным (по
критерию минимума среднеквадратичной погрешности квантования) является
равномерное квантование.
/1)(
11
minmax
квкв
кв
LL
кв
кв
L
- шаг квантования
- число уровней квантования
- динамический диапазон сообщения
кв
АИМ-сигнал
к
кв
аL
а
к
- позиционность кода
- разрядность кода
)(
кквкв
t
кв
кв
(4)
(5)
кв
кв
кв
Погрешность квантования – неустранимая погрешность цифрового
преобразования непрерывных сигналов в цифровые (рис.40). Она возникает
вследствие замены истинного значения сообщения в момент опроса
разрешенным квантованным уровнем (по закону арифметического
округления).
Особенности расчета погрешности квантования приведены на рис.130.
Рис.130. Погрешность квантования
Погрешность квантования
нулевым математическим ожиданием и диапазоном изменений, равным шагу
квантования
определения моментной функции второго порядка центрированной случайной
величины (рис.16). На рис.131 приведен закон ПРВ случайной величины
. Для расчета дисперсии
(первичного сигнала). Правило трех сигм позволяет оценить через
динамический диапазон значений
– случайная величина с равномерным ПРВ и
дисперсию сигнала (8). Это необходимо
для расчета приведенной дисперсии погрешности квантования.
используется правило
130
кв
/1
Погрешность квантования
кв
квкв
-
2/кв
2/кв
-
)(
кв
кв
кв
1)(
в интервале
2/2/
квквкв
в вне интервала ПРВ равна 0
0][
кв
М
)(
-
36
2
2
(6)
(7)
6
(8)
2
2
2
2
2
2
2
3
2/
2/
22
12)1(12
12/
3
)(][
квкв
кв
кв
кв
квквквквкв
LL
dD
кв
кв
кв
кв
Приведенная дисперсия погрешности квантования для ИКМ
зависит от шага квантования, количества уровней
квантования, позиционности кода, числа разрядов в кодовой
комбинации, ПРВ сообщения.
Приведенная дисперсия погрешности квантования для ДИКМ
1
2
2
2
р
р
22
квИКМквДИКМ
к
квкв
кв
квИКМ
аLL
2222
2
2
2
2
33
)1(12
36
2
квИКМ
2
квИКМ
р
к
р
квр
р
квр
р
квДИКМ
а
LL
2
2
22
2
22
2
2
3
12
36
12
(9)
(10)
(13)
По аналогии с формулой (8)
рр
6
(12)
(14)
(11)
22
36
р
р
Рис.131. Дисперсия погрешности квантования
Полученное выражение (7) на рис.131 необходимо привести к дисперсии
сигнала, чтобы понять, на сколько велика погрешность квантования (рис.132).
Рис.132. Приведенная погрешность квантования
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]