Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория передачи сигналов. Учебное пособие
.pdf
11
Основные характеристики детерминированных сигналов:
мощность, энергия, корреляционная функция, амплитудно-частотный спектр.
)()(
2
tStP
T
T
ср
T
E
dttS
T
P
0
2
)(
1
dttSE
T
)(
0
2
- мгновенная мощность сигнала
- энергия сигнала
- длительность сигнала
- средняя мощность сигнала
А
t
0
Т
2
)cos(
0
2
2
0
0
0
TU
dttUЕ
m
Т
m
2
2
0
m
ср
U
Т
Е
Р
Рис.4. Характеристики немодулированных сигналов
2.2. Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
При решении многих задач теории передачи сигналов, например,
оптимального приема, обнаружения, оптимальной линейной фильтрации
возникает необходимость определения степени сходства двух сигналов или
скорости изменения одного сигнала (связи между отдельными значениями
процесса, разделенными интервалом
признаков вводится понятие корреляции. Функции корреляции разделяются
). Для характеристики названных выше
на функции автокорреляционные (рассматривается один процесс) и взаимно
корреляционные (рассматриваются два разных процесса). Основные
определения функции корреляции детерминированных сигналов
представлены на рис.5.
12
Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
Т
ав
dttStSR
0
)()()(
Т
ав
dttStS
T
imR
0
1
)()(
1
)(
T
dttStSR
T
SS
)()()(
2
0
1
21
dttStS
T
imR
T
SS
)()(
1
)(
2
0
1
21
T
при
при
)()(
21
tStS
)()(
21
tStS
Автокорреляционная функция сигналов
с конечной энергией
Автокорреляционная функция сигналов с
бесконечно большой энергией
Функция взаимной корреляции сигналов с
конечной энергией
Функция взаимной корреляции сигналов с
бесконечно большой энергией
Определение
ортогональности
сигналов
Корреляция определяет зависимость
между двумя значениями сигнала
(сигналов), отстоящих друг от друга на
временной промежуток
- временной сдвиг между значениями сигналов
dttStSR
T
SS
)()()0(
2
0
1
21
Рис.5. Функция корреляции детерминированных сигналов
Важным понятием в теории передачи сигналов является принцип
ортогональности, в основе которого - коэффициент функции корреляции, и
который позволяет выбрать систему ортогональных функций (сигналов-
переносчиков), обеспечивающих наилучшее качество передачи. Следует
отметить, что при равенстве сигналов коэффициент ортогональности равен
максимальному значению (мгновенной мощности сигнала). Если сигналы
разные, то коэффициент ортогональности равен нулю. Этот принцип
оптимального приема широко используется в радиолокации при
обнаружении объекта. Он получил название «свой-свой» и «свой-чужой».
2.3. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса
В качестве примера расчета автокорреляционной функции на рис.6
приведена функция корреляции прямоугольного импульса. По мере
увеличения временного сдвига одного импульса относительно другого
13
и
Автокорреляционная функция прямоугольного импульса
и
имп
А
t
t
А
ии
иимп
АdttSЕ
и
2
0
2
)(
)(
ав
R
)0(авRЕ
Т
ав
dttStSR
0
)()()(
уменьшается общая площадь между ними, отмеченная на рис. 6
штриховкой. Следовательно, уменьшаются результат интегрирования и
автокорреляционная функция прямоугольного импульса. Когда временной
сдвиг достигает величины длительности
, импульсы теряют общую
площадь и автокорреляционная функция снижается до нуля.
Рис.6. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса
3.Случайные сигналы и их характеристики
3.1. Функция и плотность распределений вероятностей случайного
процесса
Большинство непрерывных электрических сигналов (сообщений, помех)
изменяются во времени случайным образом и не могут быть точно
определены в любой момент времени, как детерминированные сигналы,
подчиняющиеся определенным функциям времени. Такие случайные
изменения амплитуды электрического сигнала от времени представляют
собой непрерывные случайные процессы. Описание случайных процессов
представлено на рис.7.
14
Случайные сигналы и их характеристики
Случайный сигнал (процесс) изменяется случайным образом и не может быть точно
определен во времени.
Случайный процесс характеризуется совокупностью реализаций
случайного сигнала .
Случайный процесс в фиксированный момент времени есть случайная
величина.
Совокупность случайных величин реализаций
в момент времени есть сечение случайного процесса.
)()....(),(
21
txtxtx
n
)(tX
ntn
t
)()....(),(
21
txtxtx
n
)(tx
к
Лекция №2
1
t
2
t
n
t
Рис.7. Описание случайного процесса
Наиболее полное описание случайного процесса возможно с помощью
многомерного закона распределения вероятностей (ФРВ), другое название -
многомерный интегральный закон. После дифференцирования интегрального
закона получается многомерная плотность распределения вероятностей (ПРВ)
или дифференциальный закон. Для расчета характеристик случайного
процесса необходимо большое число реализаций случайного процесса.
Определения ФРВ и ПРВ приведены на рис.8.
15
Функция распределения вероятностей случайного процесса ФРВ
(интегральный закон)
),....,;,.....,(
2121 nn
tttxxxF
)(tX
Случайный процесс полностью задан, если для любого набора моментов времени
и любых значений сигнала можно вычислить вероятность того,
что в указанные моменты времени случайный сигнал принимает значения, не
превышающие, а именно:
n
ttt ,....,
21
n
xxx ,.......,
21
)(tX
n
xxx ,.......,
21
nnnn
xtXxtXxtXРtttxxxF )(,......)(,)(),....,;,.....,(
22112121
nn
xtXxtXxtXР )(,......)(,)(
2211
совместная вероятность события,
определяющая многомерную ФРВ
n
nn
n
nn
xxx
tttxxxF
tttxxx
......
),.....,,,....,(
),....,,,....,(
21
2121
2121
Плотность распределения вероятностей случайного процесса ПРВ
(дифференциальный закон)
n
ttt ,...,
21
)(),...(),(
21
txtxtx
n
])([)(
nnn
xtXtР
n
x
Рис.8. Функция и плотность распределения вероятностей случайного
процесса
Наибольшее распространение для описания случайных процессов
получили одномерные ФРВ и ПРВ, которые характеризуют сечения
случайного процесса (рис.9). Сечение случайного процесса – это случайная
величина (амплитуда), которая имеет место в результате фиксирования
момента времени (
(
). Рассчитанные путем усреднения по множеству реализаций
вероятности
) в реализациях случайного процесса
для фиксированных
диапазоне изменения случайной величины, являются значениями функции
ФРВ случайной величины (сечения случайного процесса). Для вычисления
многомерной ФРВ необходимо вычислять более сложную вероятность
события, когда случайные величины сечений в выбранные моменты времени
, выбираемых во всем
не должны превышать заданные значения случайного процесса (рис.9).
16
nn
xtXxtXxtXP )(,....)(;)(
2211
Определение ФРВ
Для одномерной ФРВ
Для многомерной ФРВ
Значения меняются во всем
диапазоне изменений случайного процесса
(флуктуационной помехи или первичного
сигнала ) .
n
xxx ,.......,
21
)(tn
)(t
)(tX
])([)(
111
xtXtP
])([)(
211
xtXtP
])([)(
11 n
xtXtP
Рис.9. Одномерная и многомерная ФРВ
Свойства одномерных ФРВ и ПРВ приведены на рис.10.
Главным признаком функции, описывающей интегральный закон, является
диапазон изменений, который заключается в пределах от 0 до1 (вероятность
не может быть отрицательной и больше единицы).
Главным признаком функции, описывающей дифференциальный закон,
является равенство единицы результата интегрирования функции в пределах
изменения случайной величины (площадь под кривой ПРВ всегда равна
единице).
17
Свойства ФРВ (одномерной)
0),( txF
1),(0 txF
1.
2.
Свойства ПРВ (одномерной)
1.
2.
0),( tx
1),( dxtx
x
dxtxtxF ),(),(
ПРВ
ФРВ
Рис.10. Свойства одномерных ФРВ и ПРВ
Пример законов одномерных ФРВ и ПРВ для гауссовской случайной
величины приведен на рис.11.
Рис.11. Вид законов ПРВ и ФРВ гауссовской случайной величины
18
3.2. Классификация случайных процессов
Случайные процессы классифицируются по следующим признакам:
1) по характеру зависимости от времени;
2) по характеру зависимости текущих значений случайного процесса от
предыдущих значений;
3) по виду закона распределения плотностей вероятностей;
4) по виду корреляционной функции.
По первому признаку случайные процессы делятся на стационарные и
нестационарные (рис.12.)
Рис.12. Стационарные и нестационарные случайные процессы
Случайный процесс, у которого вероятностные характеристики не
изменяются во времени, называются стационарными. В противном случае –
нестационарные. Если от времени не изменяются законы распределения
19
Классификация случайных процессов
1.Стационарные и нестационарные случайные процессы.
Случайный процесс, у которого вероятностные характеристики не изменяются во
времени, называется стационарным.
Случайный процесс, у которого вероятностные характеристики изменяются во времени,
называется нестационарным.
Стационарные процессы разделяются на стационарные в узком смысле, когда не
изменяются во времени законы распределения вероятностей, и в широком смысле, когда
от времени не зависят только числовые характеристики: математическое ожидание,
дисперсия, корреляционная функция (зависит только от ).
Стационарные случайные процессы в узком смысле стационарны и в широком смысле,
но не наоборот.
Эргодический случайный процесс относится к стационарным, у которого каждая
достаточно продолжительная реализация может характеризовать весь случайный
процесс.
Эргодический случайный процесс
вероятностей, то случайный процесс стационарен в узком смысле. Если от
времени не изменяются только числовые характеристики (моментные функции),
то случайный процесс стационарен в широком смысле (частный случай).
Стационарный случайный процесс в узком смысле стационарен и в широком
смысле, но не наоборот.
Вероятностные характеристики стационарных случайных процессов, так
же как и нестационарных определяются путем усреднения по множеству
реализаций (рис.9). Существуют стационарные случайные процессы, у которых
вероятностные характеристики вычисляются путем усреднения по времени
одной достаточно продолжительной реализации. Такие случайные процессы
называются эргодическими (рис.13).
Рис.13. Стационарный и эргодический случайный процесс
По второму признаку классификации случайные процессы делятся на
абсолютно случайные типа белого шума, марковские и немарковские процессы.
Сечения абсолютно случайных процессов не зависят друг от друга. Поэтому
реализация белого шума представляет из себя отдельные значения,
20
0
Продолжение классификации случайных процессов
2. Классификация по характеру зависимости текущего значения случайного
процесса от предыдущих значений:
2а) абсолютно случайные, т.е. непредсказуемые (например, белый шум),
характеризуются одномерной ПРВ, имеют корреляционную функцию в виде
дельта-функции и равномерную спектральную плотность мощности (СПМ).
)(
x
S
0
N
)(
x
R
0
перпендикулярные оси абсцисс. Поэтому функция корреляция белого шума
есть дельта-функция, равная бесконечности в точке
, равная нулю для
других значений . Спектральная плотность мощности белого шума есть
прямая, параллельная оси абсцисс, уходящая в бесконечность.
Абсолютно случайные процессы характеризуются одномерной плотностью
распределения вероятностей. Корреляционная функция и спектральная
плотность мощности абсолютно случайного процесса (белого шума)
приведена на рис. 14.
В марковских случайных процессах связаны между собой два
значения: текущее и предыдущее. Поэтому такие процессы характеризуются
одномерной ПРВ и ПРВ, связывающей два сечения случайного процесса. Это
наиболее распространенная модель случайного процесса, используемая в
аналитических исследованиях при решении различных задач.
В немарковских случайных процессах текущее значение зависит от
нескольких (от двух и более) предыдущих сечений (рис.15).
Рис.14. Характеристики белого шума
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]