Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
где
(6.31)
(6.32)
Очевидно, что доли в числе плоских упругих волн продольных и поперечных плоских
упругих волн равны соответственно
(6.33)
Сравнивая (6.27) с (6.31), видим, что для того, чтобы получить число плоских упругих волн
или фононов одной природы, необходимо в (6.27) положить и .
6.7. Определение температуры вырождения идеального фононного газа
Для вычисления термодинамических характеристик идеального фононного газа
уравнения в (2.2) – (2.4) перепишем с учётом (6.31) и того, что фононы являются бозонами
=
T
exp [(
)(] (6.34)
[(
[(
) ( (6.35)
μ – β n) ( (6.36)
где для фонона
(6.37)
Для нахождения температуры вырождения идеального фононного газа [26], как и в пункте
2.5, положим в (6.34) , ( - число фононов в невырожденном идеальном
фононном газе), . Получим
exp[
n
(] (6.38)
Введём в (6.38) новую переменную интегрирования . Тогда
(6.39)
Согласно [10] интеграл в выражении (6.39)
(6.40)
Следовательно, выражение в (6.39) можно записать так
(6.41)
61
Из (6.41) находим температуру вырождения фононного газа
. (6.42)
6.8. Конденсация Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе
При понижении температуры в идеальном фононном газе ниже температуры его
вырождения часть фононов скапливается на самом нижнем уровне энергии . Эти
фононы не вносят вклада ни в энергию идеального фононного газа, так как их энергия ,
ни в давление, так как их модуль квазиимпульса . Это явление назовём конденсацией
Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе. Для всех фононы идеального
фононного газа имеют и, следовательно, согласно (6.41)
(6.43)
т.е. идеальный фононный газ представляет собой открытую систему (систему с переменным
числом частиц ). Переходя к терминологии открытых систем, уравнение в (6.43) следует
переписать так
(6.44)
Разделив (6.44) на (6.41), получим
(6.45)
Идеальный фононный газ, находящийся ниже температуры его вырождения, будем называть
вырожденным.
6.9. Нахождение плотности свободной энергии вырожденного идеального фононного
газа
Как известно [8] из термодинамики закрытых систем свободная энергия
(6.46)
Для вырожденного идеального фононного газа при всех химический потенциал его
фононов и, следовательно, . Полагая в (6.36) и делая замену переменной
интегрирования , получим
T
( – z
(6.47)
62
Интегрируя последнее выражение по частям, получим
T
Стоящий в (6.47) интеграл согласно [10] равен
(6.49)
(6.48)
, следовательно,
Переходя в (6.48) к характеристике открытой системы , получим
(6.50)
6.10. Уравнение состояния вырожденного идеального фононного газа
Согласно (5.17) уравнение состояния вырожденного идеального фононного газа как
открытой системы имеет следующий вид
(6.51)
Уравнение (6.51) является также и уравнением единственного равновесного процесса,
который можно осуществить в вырожденном идеальном фононном газе (процесса
конденсации Бозе-Эйнштейна).
6.11. Нахождение плотности энтропии вырожденного идеального фононного газа
Плотность энтропии вырожденного идеального фононного газа как открытой
системы можно получить, используя формулы (5.20) и (6.50)
(6.52)
Заметим, что (6.52) также можно было бы найти, используя уравнение состояния открытой
однокомпонентной системы (1.2).
6.12. Нахождение плотности внутренней энергии вырожденного идеального фононного
газа
Для закрытых систем [8] имеем
(6.53)
Аналогией этого уравнения для открытых систем будет уравнение
63
(6.54)
Подставляя в (6.54) значения и , получим плотность внутренней энергии
вырожденного идеального фононного газа
(6.55)
6.13. Нахождение плотности теплоёмкости вырожденного идеального фононного газа
Плотность теплоёмкости вырожденного идеального фононного газа можно найти,
используя её определение (1.17) или связь её с равновесным давлением (1.18). Получим
(6.56)
Из (6.56) следует, что ниже температуры вырождения плотность теплоёмкости
вырожденного идеального фононного газа, а, следовательно, и плотность теплоёмкости
твёрдых тел оказывается пропорциональной абсолютной температуре в третьей степени.
6.14. Уравнение состояния невырожденного идеального фононного газа при высоких
температурах
При температуре идеальный фононный газ представляет собой уже закрытую
термодинамическую систему (систему с постоянным числом частиц
). Под высокими
температурами мы будем понимать такие температуры, при которых , где –
температура вырождения идеального фононного газа. В этом случае химический потенциал
фононов становится очень большой отрицательной величиной. Учитывая, что в этом случае
[( ( (6.57)
можно переписать систему уравнений (6.34) – (6.36) так
[(
[(
T
n
)( (6.58)
)( (6.59)
[( μ – β n) (. (6.60)
В выражении (6.60) использовалось разложение в ряд при малых значениях
64
[(
n
)( (6.61)
Нетрудно видеть, что в (6.58) – (6.60) сделан переход от статистики Бозе-Эйнштейна к
статистике Максвелла-Больцмана. Разделив уравнения (6.60) и (6.58) друг на друга, получим
уравнение состояния идеального газа (1.2). Таким образом, идеальный фононный газ при
высоких температурах подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева.
6.15. Внутренняя энергия идеального фононного газа при высоких температурах
Разделив (6.60) на (6.59) и введя новую переменную интегрирования ,
получим
(6.62)
так как согласно [10]
(6.63)
Из (6.62) следует связь между равновесным давлением и плотностью внутренней энергии
идеального фононного газа
(6.64)
Сравнивая (6.64) с (1.14), видим, что для идеального газа, состоящего из фононов,
соотношение между равновесным давлением, создаваемым им, и плотностью внутренней
энергии такое же, как и для идеального газа, состоящего из фотонов. Нетрудно видеть из
(6.64), что фонону, как и фотону, следует приписать число степеней свободы равное шести.
Подставляя в (6.64) значение из (1.2), получим внутреннюю энергию идеального
фононного газа при высоких температурах
(6.65)
6.16. Теплоёмкость при постоянном объёме невырожденного идеального фононного
газа при высоких температурах
Из (1.16) и (6.65) по определению теплоёмкости при изохорическом процессе
следует, что
(6.66)
Уравнение в (6.66) подтверждает закон П. Дюлонга и А. Пти, который справедлив для
большинства твёрдых тел с простой кристаллической решёткой.
65
6.17. Химический потенциал фонона при высоких температурах
Введя новую переменную интегрирования , где ,
уравнение (6.58) можно представить так
[ ( =
(6.67)
Интегрируя (6.67), получим
ln
(6.68)
Учитывая (6.42), формулу в (6.68) можно записать ещё так
(6.69)
Очевидно, что при высоких температурах химический потенциал представляет
собой очень большую отрицательную величину.
6.18. Энтропия идеального фононного газа при высоких температурах
Комбинируя известные формулы и , получим
(6.70)
Подставляя в (6.70) выражение для химического потенциала из (6.69), получим
(6.71)
6.19. Вычисление температур вырождения фононного газа для некоторых твёрдых тел
Разделив уравнение (6.14) на уравнение (6.20), получим
(6.72)
в твёрдых телах всегда
Из уравнения (6.72) следует, что при всех возможных значениях
.
Используя формулу (6.42), вычислим температуру вырождения фононного газа в
металле, который является серебром. Учитывая, что
(6.73)
где - масса атома металла, уравнение в (6.42) можно переписать так
66
(6.74)
Для серебра
, -3,
,
кристаллическом серебре
= , [32], поэтому согласно (6.26)
. Подставляя эти данные для серебра в (32) с учётом того, что
, получим температуру вырождения для фононного газа в
. Для алюминия ,
=
[32] и, следовательно, , ,
температура вырождения фононного газа в кристаллическом алюминии
. Вычисления показывают, что
K. Для
свинца , [32],
,
вычислений оказывается, что для кристаллического свинца
.
K. Согласно
сказанному выше закон Дюлонга-Пти для простых веществ должен выполняться при
температурах
, т.е., по крайней мере, при
. Это означает, что для серебра
при K, для алюминия при K, для свинца при K.
Учитывая, что температуры плавления этих веществ равны
, видим, что для кристаллических веществ эти температуры просто
K,
K,
недостижимы, так как задолго до достижения этих температур все эти кристаллические
вещества уже превратятся в жидкие. Cравнивая температуры вырождения твёрдого тела с
температурами Дебая [33] K , K , K , видим очень хорошее
совпадение между ними.
6.20. Твёрдые тела в гармоническом приближении
Теория упругости, основанная на линейном законе Гука, называется линейной.
Линейную теорию упругости можно назвать ещё теорией упругости в гармоническом
приближении. Только в этом приближении получаем различные монохроматические упругие
волны, которые не взаимодействуют друг с другом [8]. Если потенциальную энергию
взаимодействия частиц в твёрдом теле разложить по степеням их смещений и пренебречь
всеми членами, следующими за квадратичными [16], то получим потенциальную энергию
твёрдого тела в так называемом гармоническом приближении. Термин «гармоническое
приближение» связан с тем, что в этом случае потенциальная энергия взаимодействия двух
67
частиц имеет параболический характер относительно расстояния между
ними, а следовательно, сила их взаимодействия оказывается пропорциональной расстоянию
между ними (
что приводит к гармоническим колебаниям
частиц около их положения равновесия.
6.21. Следствия гармонического приближения
Можно показать, что в случае параболического вида потенциальной энергии
взаимодействия между частицами среднее расстояние между ними с повышением
температуры твёрдого тела не изменяется. Таким образом, твёрдые тела, потенциальная
энергия которых рассматривается в гармоническом приближении, при нагревании не
расширяются. Для того, чтобы твёрдые тела при нагревании расширялись, необходимо в
силу взаимодействия двух частиц ввести квадратичный член относительно ангармонический член. Но тогда в потенциальной энергии взаимодействия двух частиц
появится кубический член относительно , что противоречит уже выбранной нами
модели твёрдого тела в гармоническом приближении. Таким образом, согласно выбранной
нами модели твёрдого тела его объём при любой температуре должен быть одним и тем
же. По определению коэффициента объёмного расширения имеем
. (6.75)
Учитывая, что при описании твёрдых тел в гармоническом приближении они при нагревании
не расширяются
необходимо в (6.75) положить Так как один из трех
термодинамических параметров , , твёрдого тела как закрытой системы, а именно,
параметр для невырожденного идеального фононного газа зафиксирован, то фиксировать
другой параметр, скажем , уже не представляется возможным. Поэтому для такой модели
твёрдого тела, у которой потенциальная энергия взаимодействия частиц рассматривается
только в квадратичном приближении, введение понятия (теплоёмкости при постоянном
давлении), очевидно, бессмысленно.
6.22. Упругие волны с учётом нелинейных эффектов
Упругие волны с бесконечно малыми амплитудами распространяются в твёрдых
телах, не взаимодействуя друг с другом. При малых амплитудах смещение частиц твёрдого
тела при растяжении и при сжатии одинаковы, так как дно потенциальной энергии
68
взаимодействия между частицами можно аппроксимировать параболой [32]. В этом случае
можно ограничиться линейной зависимостью между компонентами напряжений и
деформаций в (6.4) (линейная теория упругости). Для упругих волн конечной амплитуды
смещения при растяжении и сжатии становятся неравноправными: сила отталкивания при
сближении частиц нарастает больше, чем сила притяжения при увеличении расстояния
между ними. В данном случае в законе Гука приходится учитывать уже и квадратичные
члены относительно компонент деформаций, т.е. использовать нелинейный закон Гука [30]
В (6.76), кроме тензора модулей упругости второго ранга
один тензор модулей упругости третьего ранга
(6.76)
, необходимо ввести ещё
. Теория упругости, построенная на
нелинейном законе Гука, называется нелинейной теорией упругости.
6.23. Нелинейное одномерное волновое уравнение
В случае одномерного твёрдого тела нелинейный закон Гука с учётом (6.76)
принимает следующий вид [32]
где
- модуль упругости второго порядка, а
(6.77)
- модуль упругости третьего
порядка. Для одномерного твёрдого тела дифференциальное уравнение движения упругой
среды (6.1) запишется так
Подставляя
в (6.78), получим нелинейное одномерное волновое уравнение
(6.78)
относительно смещения
(6.79)
где - линейная плотность одномерного твёрдого тела. Нелинейная теория
упругости приводит к зависимости фазовой скорости упругой волны от деформаций [32]
(6.80)
Вследствие этого форма упругой волны в процессе её распространения изменяется.
Искажение формы волны приводит к изменению её спектра. Нелинейность в законе Гука
69
приводит к генерации новых гармоник в твёрдом теле. Различные упругие волны
взаимодействуют друг с другом, порождая новые волны.
6.24. Замечание о невырожденных твёрдых телах
Согласно части 1 для закрытых (невырожденных) систем основное уравнение
термодинамики имеет следующий вид
(6.81)
Все термодинамические характеристики для невырожденных систем согласно (6.81)
являются функциями двух термодинамических параметров и : , ,
, . Уравнение (6.81) справедливо и для невырожденных твёрдых тел, если
рассматривать их, используя нелинейную теории упругости. Однако в случае описания
невырожденных твёрдых тел в гармоническом приближении (с использованием линейной
теории упругости), как показано выше, объём невырожденных твёрдых тел при нагревании
не меняется. Но тогда в этом случае уравнение в (6.81) следует переписать так
(6.82)
т.е. все термодинамические характеристики невырожденных твёрдых тел являются
функциями только одного термодинамического параметра абсолютной температуры
Найденные выше термодинамические характеристики для невырожденных твёрдых
тел и выведенный на основе их закон Дюлонга-Пти являются гипотетическими: все они
получены в предположении, что твёрдые тела могут существовать при
. Ввести эти
термодинамические характеристики для реальных твёрдых тел просто невозможно.
Следовательно, кристаллические твёрдые тела во всём температурном интервале их
существования являются практически вырожденными.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]