Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
(3.20)
Волновая функция, удовлетворяющая уравнению (3.1), теперь имеет следующий вид
– ħ
– 1
)
(3.21)
где собственными функциями операторов являются следующие волновые
функции
2
2
2
), (3.22)
), (3.23)
), (3.24)
а соответствующие этим функциям их собственные значения
Можно показать, что
являются нормированными и ортогональными друг к другу, т.е.
(3.25)
представляют собой ортонормированную систему функций [17], для которых выполняются
следующие соотношения
(3.26)
То же самое можно сказать и о системах функций
Здесь
- символ Кронекера, который равен 1, если , и 0, если .
и
(3.27)
(3.28)
3.5. Собственные волновые функции и собственные значения операторов
Физическим величинам , , в квантовой механике соответствуют следующие
операторы
ħ
, ħ
, ħ
. (3.29)
Нетрудно убедиться, что для оператора собственными функциями является система
функций
, а для операторов , соответственно системы функций
,
(3.30)
(3.31)
, т.е.
21
(3.32)
где собственные значения
,
,
согласно (3.19)
(3.33)
3.6. Собственные функции и собственные значения операторов Гx, Гy, Г
z
Введём следующие операторы [18]
Гx ħ L
Гy ħ L
Гz ħ L
Так как операторы Гx, Гy, Г
отличаются от операторов соответственно , ,
z
, (3.34)
, (3.35)
, (3.36)
только коэффициентом , то у этих операторов должны быть одинаковые системы
собственных функций, т.е.
Гx
Г
y
Гz
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Из (3.37) – (3.39) следует, что собственные значения операторов Гx, Гy, Гz представляют
собой три дискретных множества
(3.40)
(3.41)
(3.42)
3.7. Собственные функции и собственные значения операторов состояний частицы
Введём операторы , , состояний частицы следующим образом
Г
(2π
x
, (3.43)
Г
(2π
y
22
, (3.44)
Г
(2π
z
, (3.45)
Так как операторы , , отличаются от операторов Гx, Гy, Гz только коэффициентом
, то у этих операторов должны быть одинаковые системы собственных функций
(3.46)
(3.47)
(3.48)
Из (3.46) – (3.48) следует, что собственные значения операторов , ,
представляют собой три дискретных множества
(3.49)
(3.50)
(3.51)
3.8. Одномерные пространства квантовых состояний частицы , ,
Выберем теперь не связанные друг с другом оси , , и будем откладывать на
них от начала осей в их положительных направлениях величины из (3.49) – (3.51).
Нетрудно видеть, что множества по осям , , представляют собой соответственно
три одномерных дискретных пространства , , квантовых состояний частицы.
Последние соответствуют одномерным движениям частицы соответственно в
положительных направлениях осей , , . Так (3.49) представляет собой одномерное
квантовое пространство состояний частицы при её движении по оси . Действительно,
так как в квантовой механике состояние частицы при её одномерном движении определяется
волновой функцией
, то, очевидно, квантовое число определяет именно ту волновую
функцию, которая и описывает данное состоянии частицы. Расстояние между точками
и есть длина отрезка в пространстве квантовых состояний
, который
представляет собой «объём» в этом одномерном пространстве квантовых состояний,
причём, очевидно, что
(3.52)
Величина этого «объёма» в одномерном пространстве квантовых состояний согласно (3.52)
определяет число квантовых состояний частицы при её одномерном движении.
23
3.9. Одномерные квантовые фазовые пространствa частицы
Выберем теперь, не связанные друг с другом оси , , . Будем откладывать на
них от начала в положительных направлениях этих осей соответственно величины из
(3.40), (3.41), (3.42). Нетрудно видеть, что множество точек на этих осях представляют собой
одномерные квантовые фазовые пространства , так как размерность величин,
откладываемых по осям равна размерности постоянной Планка. Одномерные квантовые
пространства соответствуют трём независимым одномерным движениям
частицы по осям , , . Рассмотрим одномерное квантовое фазовое пространство .
Расстояние между точками и есть отрезок , который представляет
собой квантовый фазовый «объём»
в одномерном фазовом пространстве
. Причём,
очевидно, что
(3.53)
Из (3.53) видно, что минимальный квантовый «объём» в одномерном квантовом
фазовом пространстве равен , так как минимальное значение квантового числа равно
1. Тогда из (3.53) и (3.19) следует, что
(3.54)
3.10. Трёхмерное пространство квантовых состояний частицы
Пусть движение частицы происходит в трёхмерном пространстве. Выберем в этом
пространстве прямоугольную систему координат , по осям которой будем откладывать
соответственно величины из дискретных множеств в (3.40), (3.41), (3.42) . Тогда мы получим
дискретное пространство, точки которого находятся в узлах кубической
решётки с периодом равным 1. Это трёхмерное дискретное пространство
назовём
трёхмерным пространством квантовых состояний частицы при её движении в трёхмерном
пространстве. Точки этого пространства определяют именно ту волновую функцию
которая и описывает квантовое состояние частицы при её движении в трёхмерном
пространстве. Выделим в этом пространстве квантовых состояний частицы
параллелепипед в начале координат со сторонами , ,
, расположенными
соответственно по осям , , . Очевидно, что его объём
24
(3.55)
равен числу возможных квантовых состояний частицы.
3.11. Трёхмерное квантовое фазовое пространство частицы
Пусть движение частицы происходит в трёхмерном пространстве. Выберем в этом
пространстве прямоугольную систему координат , по осям которой отложим
соответственно величины из множеств (3.40), (3.41), (3.42). Точки этого дискретного
пространства находятся в узлах кубической решётки с периодом равным . Это трёхмерное
дискретное пространство
назовём квантовым фазовым пространством частицы,
движущейся в трёхмерном пространстве. Рассмотрим в этом квантовом
фазовом пространстве параллелепипед в начале координат , стороны которого
расположены по осям , , и равны соответственно , , . Объём этого
параллелепипеда (квантовый фазовый объём)
Из (3.56) следует, что минимальный фазовый объём равен
(3.56)
, так как минимальные
квантовые числа . Из (3.56) также следует, что на каждую точку
в трёхмерном квантовом фазовом пространстве приходится объём равный
. Из (3.56) и (3.54) видно, что число возможных квантовых состояний частицы
(3.57)
где .
3.12. Классическое фазовое пространство
В классической механике состояние частицы полностью определяется заданием трёх
её координат , , относительно выбранной прямоугольной системы координат и трёх
проекций , , на оси этой системы координат её импульса . Для описания
состояния частицы в классической физике вводится шестимерная прямоугольная система
координат, по осям которой откладываются величины , , , , ,
. Это шестимерное
пространство называют классическим фазовым пространством частицы. Все точки в этом
классическом фазовом пространстве представляют возможные состояния частицы. Согласно
25
классической физике все величины , , , , , являются непрерывными.
Элементарный фазовый объём в классическом фазовом пространстве
(3.58)
Каким бы он малым не был ввиду непрерывности , , , , , , в нём всегда
находится бесконечное число фазовых точек, а, следовательно, и бесконечное число
состояний частицы. Поэтому в классической физике невозможно ввести понятие числа
состояний частицы (оно всегда равно бесконечности).
3.13. Двумерное классическое фазовое пространство частицы
Пусть движение частицы одномерно, т.е. она, например, движется в положительном
направлении оси . Тогда классическое фазовое пространство представляет собой
двумерное пространство, т.е. плоскость, на которой введена система координат , по осям
которой откладываются координата и модуль её импульса . Элементарный фазовый
объём такого двумерного фазового пространства будет
(3.59)
Пусть одномерное движение частицы заключено в пространственном интервале ( ).
Тогда интегрируя (3.59), получим
(3.60)
3.14. Двумерное квазиклассическое фазовое пространство частицы
Сравнивая (3.60) и (3.54) видим, что для того, чтобы число состояний частицы в
классическом фазовом пространстве было конечным, необходимо потребовать выполнения
следующего условия
т.е. ввести в классическое фазовое пространство постоянную Планка . Выражение в (3.61)
означает, что каждому состоянию в двумерном классическом фазовом пространстве следует
(3.61)
поставить в соответствие уже не фазовую точку , а некоторый минимальный
фазовый «объём» , который в случае двумерного фазового пространства является
площадью . Все фазовые точки , близкие к данной точке , т.е.
лежащие на площади , окружающей эту фазовую точку , представляют одно и то
26
же состояние нашей частицы, которое изображается фазовой точкой . Следует
отметить, что введение в классическое фазовое пространство квантовой величины не
позволяет уже считать его классическим фазовым пространством. Мы будем его называть
уже квазиклассическим (как бы классическим).
3.15. Связь двумерного квазиклассического фазового пространства с одномерным
квантовым фазовым пространством
Формула в (3.61) противоречит законам математики. Действительно, - число
состояний частицы является дискретной величиной, а модуль импульса согласно
классическим представлениям непрерывной величиной. Поэтому, если величину мы
считаем непрерывной величиной, то и мы должны также считать непрерывной
величиной. Этим мы в дальнейшем и воспользуемся. Далее, если под в двумерном
квазиклассическом фазовом пространстве понимать не только число состояний частицы, но
и квантовое число, то соотношение в (3.61) можно считать связью между квазиклассическим
двумерным фазовым и одномерным квантовым фазовым пространствами (уравнение (3.54).
Переход от одномерного квантового фазового пространства к двумерному
квазиклассическому очевиден: необходимо заменить дискретное значение проекции
импульса
на его непрерывное значение модуля импульса , а величину уже считать
не дискретной, а непрерывной величиной, которая представляет собой не только число
состояний в квазиклассическом фазовом пространстве, но и квантовое число.
3.16. Связь шестимерного квазиклассического фазового пространства частицы с её
трёхмерным квантовым фазовым пространством
Интегрируя (3.58), получим
(3.62)
Сравнивая (3.62) с (3.57), видим, что для того, чтобы было соответствие между
шестимерным квазиклассическим и трёхмерным квантовым фазовыми пространствами
частицы, необходимо положить в (3.57)
(3.63)
Сделав это, получим
(3.64)
27
Соотношение (3.64) устанавливает связь между трёхмерным квантовым и шестимерным
квазиклассическим фазовыми пространствами частицы. Величина в (3.64) представляет
собой число квантовых состояний частицы, находящейся в объёме и имеющей импульс
в квазиклассическом случае [18]. Отметим, что для квазиклассического описания
трёхмерного движения частицы необходимо только одно квантовое число . В случае
квантового описания трёхмерного движения частицы необходимы уже три квантовых числа
, , .
3.17. Правило квантования движения частицы Бора
Формулу в (3.60) можно представить ещё так
(3.65)
где в правой части (3.65) стоит фазовый интеграл, взятый по полному периоду
квазиклассического движения частицы. То, что интеграл в (3.65) взят по полному периоду
квазиклассического движения частицы, следует из того, что на движение частицы выше
были наложены периодические граничные условия. Подставляя (3.65) в (3.61), получим
(3.66)
Уравнение (3.66) представляет собой правило квантования орбит Бора в старой квантовой
механике [19]. Это правило было сформулировано им на основе эмпирических соображений
и подкреплялось экспериментом. В данной работе это правило получено из установленной
связи между двумерным квазиклассическим и одномерным квантовым фазовыми
пространствами [18]. При приближённом решении одномерного уравнения Шрёдингера с
помощью метода ВКБ (метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна) [20] получим
приближённое правило квантования Бора –Зоммерфельда в старой квантовой теории
=
(3.67)
Условие (3.67) определяет в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы.
Сравнивая (3.66) и (3.67) видим, что условие в (3.67) переходит в условие (3.66) только при
больших квантовых числах, т.е. когда .
28
3.18. Дифференциальная форма распределений Бозе и Ферми
Формулу (3.64) можно представить в дифференциальной форме, учитывая, что в ней
и в квазиклассическом случае являются непрерывными величинами. А именно,
дифференцируя выражение (3.64), получим [18]
(3.68)
Выражение (3.68) устанавливает связь между элементарным числом квантовых состояний
бесспиновой частицы, находящейся в объёме , и величиной модуля импульса , если
квантовое число для одномерного движения заключено в интервале , а
величина импульса в интервале . Это выражение не совпадает с выражением в
(2.10), которое следует считать неправильным, так как оно не отражает истинную связь
трёхмерного квантового фазового пространства с шестимерным квазиклассическим. Если
частица имеет спин , то выражение (3.68) следует переписать так
(3.69)
где - число проекций спина на выбранное направление. С учётом (3.69)
выражения (2.1) можно представить в виде
3
,
. (3.70)
Уравнения (3.70) представляют собой распределения Бозе (знак минус) и Ферми (знак плюс),
записанные в дифференциальной форме. Заметим, что первое распределение записано не в
квантовой, а в квазиквантовой форме, так как ферми- и бозе-частицам приписано только
одно квантовое число вместо трёх , , в квантовом случае [18]. Второе
распределение в (3.70) представляет собой обычное квазиклассическое распределение.
3.19. Вычисление термодинамических характеристик для идеальных ферми- и бозегазов в квазиклассическом приближении
Выражения (2.2) – (2.4) с учётом (3.70) можно переписать так, заменив в них
суммирование по квантовому числу одномерного движения частицы на интегрирование
по этому квантовому числу
3
(3.71)
29
3
(3.72)
(3.73)
где согласно (3.25) в случае одномерного движения частицы
. (3.74)
3.20. Квазиклассическое приближение
Заметим, что в формулах (2.2) – (2.4) суммирование проходило по квантовому числу
причём значение изменялось от 1 до ∞. Следовательно, в выражениях (3.71) – (3.73)
казалось бы необходимо производить интегрирование по квантовому числу не от 0 до
∞, а от 1 до ∞ . Однако это делать нельзя, так как согласно (3.64), если классический
импульс частицы изменяется от 0 до ∞, то необходимо ввиду непрерывности и ,
чтобы и квантовое число также изменялось от 0 до ∞ . Такое приближение, при котором
величина квантового числа непрерывно изменяется от 0 до ∞, назовём квазиклассическим.
Следовательно, все термодинамические характеристики ±, ± , … для идеальных бозе- и
ферми-газов в формулах (3.71) – (3.73) записаны в квазиклассическом приближении. В
работе [40] показано, что такое квазиклассическое приближение не позволяет правильно
объяснить явление конденсации Бозе-Эйнштейна в идеальном бозе-газе, состоящем из
частиц, масса покоя которых не равна нулю. Для этого требуется уже вводить
квазиквантовое (как бы квантовое) приближение, при котором величина квантового числа
должна изменяться уже от 1 до ∞. После установления связи трёхмерного квантового
фазового пространства с шестимерным квазиклассическим в (3.64) можно найти ошибку,
сделанную в формулах (2.11) – (2.13). А именно, сравнивая выражение (2.10) с выражением
(3.68), видим, что в формулах (2.11) – (2.13) число квантовых состояний завышено в
раз.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]