Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
2. ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ЧАСТИЦ, МАССА ПОКОЯ
КОТОРЫХ НЕ РАВНА НУЛЮ
2.1. Применение распределений Бозе и Ферми к идеальным газам, состоящим из
частиц, масса покоя которых не равна нулю
Распределение Бозе для частиц, имеющих нулевой или целый спин, и распределение
Ферми для частиц с полуцелым спином имеют следующий вид [8]
. (2.1)
Здесь - среднее число частиц, - энергия частицы в – ом квантовом
состоянии , - постоянная Больцмана, , - спин частицы,
- её химический потенциал, знак плюс и минус соответствуют соответственно
распределениям Ферми и Бозе. Очевидно, что полное число частиц в идеальных бозе- и
ферми-газах равно [8]
(2.2)
Внутренняя энергия идеального бозе- и ферми- газов, состоящих из частиц,
(2.3)
Наконец, большой термодинамический потенциал Гиббса
(2.4)
2.2 Нахождение элементарного числа квантовых состояний частицы
Величину
(2.5)
называют элементом фазового объёма. Авторы работы [8] представляют элемент фазового
объёма в следующем виде
(2.6)
где . Следует отметить, что в (2.5) представляет собой прямоугольное
шестимерное фазовое пространство, в котором введены прямоугольные координаты как в
пространстве положений частицы { , так и в пространстве её импульсов .
11
Так как подинтегральные выражения в формулах (2.2) –(2.4) не зависят от координат
положения частицы, то мы можем проинтегрировать (2.6) по этим координатам. Получим
´= (2.7)
где - объём куба с длиной ребра . Здесь предполагается, что
Авторы [8], [9] в импульсном пространстве переходят от прямоугольной системы
координат к сферической системе координат, оставляя в пространстве положений частиц
прямоугольную систему координат
´´ (2.8)
Интегрируя в (2.8), получим
´´ (2.9)
Тогда элементарное число квантовых состояний частицы будет
´´ (2.10)
2.3. Переход от суммирования по квантовому числу к интегрированию по
классическому фазовому пространству
Таким образом, формулы в (2.2) – (2.4) принимают следующий вид
± =±
± =±
[(
±)(
[(
[(
±)(
±
)( } (2.13)
(2.11)
(2.12)
В части 3 будет показано, что выражение (2.10) некорректно.
2.4. Расчётные формулы для определения термодинамических характеристик
идеального бозе-газа
Теория идеального бозе-газа, состоящего из элементарных частиц, развита в работах
[8], [9]. Выражая модуль импульса p через энергию частицы согласно (2.9) и учитывая, что
для идеального бозе-газа
(2.14)
формулу (2.11) можно переписать так [9]
12
[( )(
(2.15)
Вводя новую переменную интегрирования , уравнение (2.15) можно
представить в виде
=
[z
(2.16)
а уравнение (2.12) можно записать так
[z
(2.17)
2.5. Определение температуры вырождения идеального бозе-газа, состоящего из частиц
При понижении температуры химический потенциал частиц идеального бозе-газа,
оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолютной величине и при некоторой
температуре обращается в нуль. Температуру
, при которой для частиц идеального
бозе-газа , назовём температурой его вырождения. Определим эту температуру. Для
этого необходимо положить в (2.15) , – число бозонов в невырожденном
бозе-газе), [9]. Получим
(2.18)
Интеграл в (2.18) равен [10]
(2.19)
где согласно [10]
(2.20)
Подставляя (2.20) в (2.18), получим температуру вырождения идеального бозе-газа
(2.21)
2.6. Определение зависимости числа бозонов от температуры в вырожденном
идеальном бозе-газе
Заметим, что как только в идеальном бозе-газе его температура стала равной
температуре его вырождения, то химический потенциал его частиц остаётся равным нулю
при всех вплоть до . Такой идеальный бозе-газ мы назовём вырожденным.
13
Число частиц в таком вырожденном идеальном бозе-газе уменьшается с понижением в нём
температуры. Действительно, полагая в (2.18) , где , получим
(2.22)
Разделив (2.18) на (2.22), получим
(2.23)
Из (2.23) следует, что число бозонов в вырожденном идеальном бозе-газе с понижением
температуры в нём уменьшается по закону
. Из (2.23) также вытекает, что вырожденный
идеальный бозе-газ представляет собой открытую однокомпонентную объёмную систему
(систему с переменным числом частиц). Уравнение (2.23) можно переписать иначе,
подставив в него найденную выше температуру вырождения
(2.24)
2.7. Конденсация Бозе-Эйнштейна
Число частиц в вырожденном идеальном бозе-газе при данной T < To даётся выражением в
(2.23). Остальные
(2.25)
частиц находятся в наинизшем состоянии, т.е. имеют энергию . Очевидно, что эти
частицы не вносят никакого вклада ни во внутреннюю энергию , ни в давление
идеального бозе-газа. Явление накапливания частиц в состоянии с при понижении
температуры в вырожденном идеальном бозе-газе называют конденсацией Бозе-Эйнштейна
[8].
2.8. Физический смысл температуры вырождения идеального бозе-газа, состоящего из
частиц
Из (2.25) вытекает физический смысл температуры вырождения идеального бозегаза. Очевидно, что это такая температура
, при которой не существует ни одного бозона,
имеющего энергию . Именно такое определение температуры вырождения идеального
бозе-газа и было дано впервые в работе [11].
14
2.9. Невырожденный идеальный бозе-газ при высоких температурах
При идеальный бозе-газ представляет собой уже закрытую систему (систему
с постоянным числом частиц
). Такой газ называется невырожденным. При высоких
температурах, т. е. при химический потенциал идеального бозе-газа, оставаясь
отрицательным, становится очень большой величиной по абсолютному значению и,
следовательно,
(2.26)
В этом случае формулы (2.11) – (2.13) для идеального бозе-газа принимают следующий вид
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Здесь в (2.13) мы учли, что
(2.30)
Нетрудно видеть, что в выражениях (2.27) – (2.29) осуществлён переход от статистики БозеЭйнштейна к статистике Больцмана. Разделив уравнение (2.29) на уравнение (2.27), получим
уравнение состояния идеального газа (1.2). Учитывая, что [10]
(2m
(2.31)
(2.32)
и разделив уравнение (2.27) на уравнение (2.28), получим внутреннюю энергию
невырожденного идеального газа
(2.33)
Разделив уравнение (2.33) на уравнение (1.2), получим связь между давлением и
плотностью внутренней энергии идеального газа
(2.34)
Уравнение (2.34) справедливо и для вырожденного идеального бозе-газа, так как оно
выражено через характеристику и параметр открытой системы.
15
2.10. Определение числа степеней свободы частицы и квазичастицы
Уравнение (2.34) можно переписать ещё так
(2.35)
где - число степеней свободы частицы идеального газа. Из (2.35) следует, что частицам
следует приписать число степеней свободы . Однако таким квазичастицам как фотоны,
как это следует из уравнения (1.14), необходимо приписать уже число степеней свободы
. Уравнение (2.35) назовём термодинамическим определением числа степеней свободы
частицы или квазичастицы. Более подробно вопрос о числе степеней свободы частицы или
квазичастицы будет обсуждён в части 4.
2.11. Теплоёмкости идеального больцмановского газа
Согласно (1.16) и (2.33) теплоёмкость при постоянном объёме для идеального газа
равна
(2.36)
Введём тепловую функцию [8]
(2.37)
Определим теплоёмкость при постоянном давлении следующим образом
(2.38)
Учитывая (1.2), (2.33), (2.37), (2.38) получим теплоёмкость идеального газа при постоянном
давлении
(2.39)
При адиабатическом процессе давление и объём в идеальном газе
подчиняются уравнению Пуассона [8]
(2.40)
где
=
. (2.41)
16
2.12. Плотность внутренней энергии вырожденного идеального бозе-газа
Полагая в (2.17) , получим
(2.42)
Согласно [10]
(2.43)
где [10]
(2.44)
Здесь и - соответственно гамма- и дзета-функции [12]. Из (2.42) следует [13]
(2.45)
2.13. Уравнение состояния вырожденного идеального бозе-газа
Давление вырожденного идеального бозе-газа найдём из уравнения (2.34)
(2.46)
Уравнение (2.46) представляет собой уравнение состояния вырожденного идеального бозегаза и в то же время, как указано выше, это уравнение описывает единственный равновесный
процесс в вырожденном идеальном бозе-газе (процесс конденсации Бозе-Эйнштейна).
2.14. Определение плотности энтропии вырожденного идеального бозе-газа
Из уравнения (1.12) и уравнения (2.46) следует, что плотность энтропии вырожденного
идеального бозе-газа равна
(2.47)
2.15. Определение плотности теплоёмкости вырожденного идеального бозе-газа
Из определения (1.17) и (2.45) следует, что плотность теплоёмкости
(2.48)
Заметим, что последнюю можно найти также, используя выражения для неё в уравнениях
(1.18) и (1.19).
17
2.16. Замечание по поводу температуры вырождения идеального бозе-газа, состоящего
из частиц
Нетрудно видеть, что температура вырождения идеального бозе-газа, состоящего из
частиц, есть не что иное как температура перехода закрытой термодинамической системы
невырожденный идеальный бозе-газ в открытую систему вырожденный идеальный бозе-газ
[3].
2.17. Критические замечания
Из сравнения U′ в (2.45) и C′ в (2.48) следует, что для вырожденного идеального
бозе газа имеет место следующая связь между ними
.
(2.49)
У авторов работы [8] последнее выражение имеет другой вид
, (2.50)
где внутренняя энергия согласно [8] пропорциональна объёму . Из (2.50) следует, что
авторы работы [8] считают, что в вырожденном идеальном бозе-газе можно ввести
теплоёмкость при постоянном объёме, что противоречит развитой выше теории открытых
систем. В той же работе [8] авторы в вырожденном идеальном бозе-газе пытаются ввести
адиабатический процесс (получают уравнение Пуассона). Из сказанного выше такое
возможно, если открытую систему вырожденный идеальный бозе-газ считать закрытой.
18
3. СВЯЗЬ МЕЖДУ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИМ И КВАНТОВЫМ ФАЗОВЫМИ
ПРОСТРАНСТВАМИ ЧАСТИЦЫ
3.1. Волновая функция для свободной частицы
Как известно, уравнение Шрёдингера [14] для свободной частицы имеет следующий
вид
ħ
= (3.1)
где - оператор кинетической энергии частицы
(3.2)
который в прямоугольной системе имеет следующий вид
(3.3)
Нетрудно видеть, что решением уравнения (3.1) является следующая волновая функция [14]
] , (3.4)
где
(3.5)
скалярное произведение векторов и .
3.2. Периодические граничные условия
Эти граничные условия были введены М. Борном и Т. Карманом [15] при разработке
ими динамической теории кристаллических решёток. Они представляют собой требование
периодичности смещений атомов с периодом макрокристалла , т.е.
( l, (3.6)
где - радиус-вектор, характеризующий положение l -той элементарной ячейки в
кристалле, а - радиус-вектор, характеризующий положение -го атома внутри этой
элементарной ячейки [16]. Разобъём всё прямоугольное пространство на кубы с
длиной ребра и потребуем, чтобы волновая функция в (3.4) на противоположных гранях
всех этих кубов принимала одинаковые значения. В частности, для куба периодичности,
находящегося в начале координат, имеем
(3.7)
(3.8)
19
(3.9)
3.3. Нормировка волновой функции
Согласно статистической интерпретации волновой функции [17] плотность
вероятности обнаружения частицы в точке с координатами в момент времени
(3.10)
Здесь звёздочкой обозначена комплексно-сопряжённая величина. Поскольку вероятность
нахождения частицы в нашем нормировочном кубе равна 1, то из (3.10) следует следующее
условие нормировки волновой функции
Отсюда
, где - объём нормировочного куба.
(3.11)
3.4. Собственные функции и собственные значения операторов H, Hx , Hy , H
z
Подставляя (3.4) в (3.1), получим
(3.12)
где
i ħ
– 1
) i ħ
– 1
) i ħ
– 1
) . (3.13)
Введём обозначение
– 1
i ħ
) , i ħ
i ħ
– 1
) . (3.15)
– 1
) , (3.14)
Подставляя (3.13) в (3.12), получим с помощью метода разделения переменных
, . (3.16)
Из периодичности граничных условий следует, что
(3.17)
С учетом формулы Эйлера
= (3.18)
получим
(3.19)
где - квантовые числа, причём,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]