Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
фермионов, представляет собой открытую систему, то можно воспользоваться связью между
плотностью энтропии и равновесным давлением в открытых системах
. (11.37)
Подставляя в это уравнение значение , получим плотность энтропии компонента,
состоящего из «свободных» фермионов
15
(11.38)
Таким образом, вклад в энтропию вырожденного идеального ферми-газа вносит только
компонент, состоящий из «свободных» фермионов.
11.19. Теплоёмкость «конденсата» вырожденного идеального ферми-газа
Компонент вырожденного идеального ферми-газа, состоящий из «осевших» на самые
нижние уровни фермионов, согласно принципу Паули представляет собой закрытую
систему. Но тогда согласно [1] в такой термодинамической системе можно ввести
теплоёмкость при постоянном объёме
Однако, так как не зависит от температуры , то, очевидно, что
. (11.39)
.
11.20. Плотность теплоёмкости компонента, состоящего из «свободных» фермионов
Компонент вырожденного идеального ферми газа, состоящий из «свободных» частиц,
представляет собой открытую систему, так как химический потенциал его фермионов равен
нулю. Но тогда согласно [1] в такой системе можно ввести только плотность теплоёмкости и
согласно (1.17) имеем
(11.40)
при том единственном равновесном процессе, который в ней можно осуществить (процессе
конденсации Ферми-Дирака). Подставляя в последнее уравнение значение , получим
(11.41)
Таким образом, вклад в теплоёмкость вырожденного идеального ферми-газа вносит только
компонент, состоящий из «свободных» фермионов.
111
11.21. Критические замечания
Авторы [8], используя теорему о малых добавках, находят внутреннюю энергию
идеального ферми-газа при низких температурах
. (11.42)
Из последнего уравнения следует, что
у идеального ферми-газа при низкой
температуре оказывается пропорциональна первой степени абсолютной температуры .
Развитая в данной монографии теория двухкомпонентной модели вырожденного идеального
ферми-газа говорит об ошибочности выводов авторов работы [8]. Авторы рассматривают
идеальный ферми-газ при низкой температуре как закрытую термодинамическую систему.
Они не смогли дать определение температуры вырождения идеального ферми-газа и найти
её теоретическое значение. Вместо этого они дают лишь приближённое её значение:
. Не смогли они также ввести понятие «конденсации Ферми-Дирака» как
единственного процесса, который происходит в вырожденном идеальном ферми-газе при
понижении его температуры. Химический потенциал частиц вырожденного идеального
ферми-газа авторы считают положительным, равным , при температурах близких к
абсолютному нулю. Таким образом, при изучении вырожденного идеального ферми-газа
авторы считают его закрытой однокомпонентной системой.
11.22. Вычисление температуры вырождения электронного газа для некоторых
металлов
Величину можно представить так
. (11.43)
Здесь - масса атома, а - плотность вещества, состоящего из этих атомов.
Подставляя это значение в (11.5), получим
где β - число валентных электронов у атома данного металла,
, (11.44)
- масса
электрона, а величина g для электронов равна 2. Найдём температуру вырождения
электронного газа в алюминии: , ,
112
∙1,66∙
Подставляя эти данные в (11.43), с учётом того,
что
,
, получим
серебра: , ,
, поэтому
. Для свинца: ,
, тогда
. Для
. Эти
вычисления показывают, что температура вырождения электронного газа в металлах
составляет сотни тысяч градусов Кельвина. Из (11.25) следует, что при всех обычных
температурах (T << T0) у всех металлов свободные электроны в них образуют практически
полностью вырожденный электронный газ ( ).
113
12. ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ВЫРОЖДЕННОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА
12.1. Квазиклассическая модель твёрдого тела
При нахождении термодинамических характеристик вырожденного фононного газа
(твёрдого тела при температурах ниже температуры вырождения) , , , , в части
6 интегрирование в соответствующих формулах по квантовому числу проводилось от 0
до ∞. Последнее согласно определению в пункте 3.20 означает, что изучение фононного
газа (твёрдого тела) проводилось в квазиклассическом приближении. Таким образом, в части
6 была развита квазиклассическая модель твёрдого тела. Как показано выше, фононный газ
представляет собой также идеальный бозе-газ, но уже состоящий из квазичастиц (плоских
упругих волн). Недостатки квазиклассической модели идеального бозе-газа, состоящего из
частиц, масса покоя которых не равна нулю, были исследованы в части 10. Очевидно, они
присущи также и фононному газу при рассмотрении его в квазиклассическом приближении.
12.2 Конденсации Бозе-Эйнштейна в фононном газе в случае квазиклассического
приближения
При рассмотрении идеального фононного газа в квазиклассическом приближении
нижний уровень энергии фонона как бозона (пункт 10.2) полагается равным нулю. Как
известно, явление накапливания бозонов на энергетическом уровне при понижении
температуры ниже температуры его вырождения называют конденсацией Бозе-Эйнштейна
[8]. «Осевшие» на нижний уровень фононы не вносят никакого вклада ни в
внутреннюю энергию идеального фононного газа, ни в его давление . Нетрудно видеть
(часть 6), что при
(12.1)
Из (12.1) следует, что плотность числа частиц , плотность внутренней энергия ,
давление , вырожденного идеального фононного газа при абсолютном нуле обращаются
в нуль, т.е. вырожденный идеальный фононный газ при абсолютном нуле просто исчезает.
Такая конденсации Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе просто абсурдна. Для
изучения поведения идеального фононного газа (твёрдого тела) при температурах ниже
температуры вырождения необходимо изменить вид модели твёрдого тела.
114
12.3. Физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае
квазиклассического приближения
Нетрудно видеть, что при температуре вырождения , которая получена в (6.42), все
фононов имеют . Отсюда вытекает физический смысл температуры
вырождения идеального фононного газа: это температура, при которой уже не существует ни
одного бозона с энергией ε = 0.
12.4. Квазиквантовое приближение твёрдого тела
При абсолютном нуле частицы твёрдого тела могут совершать только колебания
около их равновесных положений. Таким образом, моделью твёрдого тела при абсолютном
нуле является совокупность независимых трёхмерных квантовых осцилляторов
(колеблющихся с частотами ωi [42])
(12.2)
причём квантовые числа , т.е. - трёхмерных осцилляторов с нулевой
энергией
. Приближение, сделанное в этой модели твёрдого тела, назовём по
аналогии с приближением, сделанным для бозе-газа в части 10, квазиквантовым. Однако
следует отметить существенную разницу в этом приближении: в части 10 оно связано с тем,
что нижний уровень бозона-частицы при оказывался не равным нулю, а в
данном случае квантовое число , но существует не равная нулю энергия нулевых
колебаний.
12.5. Двухкомпонентная модель вырожденного твёрдого тела
Назовём температуру вырождения идеального фононного газа в твёрдом теле
температурой вырождения самого твёрдого тела. Тогда по аналогии с частью 10 для
идеального бозе-газа твёрдое тело ниже температуры его вырождения также состоит из двух
компонентов: один компонент состоит из частиц, представляющих собой плоские
упругие волны, другой из частиц твёрдого тела, представляющих собой трёхмерные
осцилляторы с различными нулевыми энергиями
(«конденсат»). Квазичастицы, из
которых состоят оба эти компонента, будем называть фононами. Этим компонентам следует
115
приписать различные температуры: компоненту, состоящему из упругих плоских волн
температуру , при которой находится вырожденное твёрдое тело, а компоненту,
состоящему из трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией («конденсату»), .
12.6. Конденсация Бозе-Эйнштейна в твёрдом теле в случае квазиквантового
приближения
При понижении температуры твёрдого тела ниже его температуры вырождения
фонон, представляющий собой упругую волну, переходит в фонон, представляющий собою
трёхмерный осциллятор с нулевой энергией. Этот переход представляет собой не что иное
как «закон сохранения числа степеней свободы» у фононов различной природы (упругих
волн и трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией). Действительно, согласно пункту 4.12
плоская упругая волна имеет шесть степеней свободы. Следовательно, и квазичастица
соответствующая ей фонон имеет также шесть степеней свободы. При переходе этого
фонона в его новое состояние – состояние осциллятора с нулевой энергией - и в этом
состоянии должно сохраниться то же самое число степеней свободы у фонона, равное шести.
Это выполняется в том случае, если осциллятор будет трёхмерным, если учесть, что на
каждый линейный осциллятор приходится две степени свободы.
12.7. Невозможность термодинамического равновесия между компонентами
вырожденного твёрдого тела
Так как компонентам твёрдого тела, состоящим из упругих волн и из
трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией приписаны различные температуры
соответственно и , то никакого термодинамического равновесия между ними быть
не может.
12.8. Закон сохранения числа фононов в замкнутой системе
Существует другое равновесие между этими компонентами в вырожденном твёрдом
теле, которое связано с законом сохранения числа фононов в замкнутой системе
(12.3)
Здесь - число фононов в невырожденном фононном газе. Уравнение в (12.3) с учётом
уравнения (6.46) можно переписать так
116
. (12.4)
Условие (12.4) должно выполняться для вырожденного идеального фононного газа при
любой температуре , взятой из интервала температур ( ). В частности, когда
температура при которой находится вырожденный идеальный фононный газ, состоящий
из упругих волн, становится равной нулю, то из (12.4) следует, что
, т.е. все
фононы, представляющие собой упругие волны, перешли на самый нижний уровень энергии
и превратились в трёхмерные осцилляторы с нулевой энергией, а сам вырожденный
двухкомпонентный идеальный фононный газ стал однокомпонентным («конденсатом»).
12.9. Физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае
квазиквантового приближения
Из (12.4) при следует, что , т.е. все фононы, имеющие нулевые
энергии трёхмерных осцилляторов, переходят в состояние упругих волн. Отсюда и вытекает
физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае
рассмотрения его в квазиквантовом приближении: это температура, при которой не
существует ни одного фонона в состояниях трёхмерных осцилляторов с нулевыми
энергиями.
12.10. Замечание о химических потенциалах фононов вырожденного идеального
фононного газа
Компонент вырожденного идеального фононного газа, состоящий из плоских упругих
волн имеет, как показано выше, химический потенциал этих фононов . Согласно [1]
он представляет собой открытую систему. Химический потенциал фононов, образующих
другой компонент («конденсат») уже не может быть равен нулю. Действительно, из
определения химического потенциала следует, что
(12.5)
Здесь , , - соответственно внутренняя энергия, объём и энтропия, приходящиеся
на один фонон. Так как , , то
(12.6)
Из (12.6) следует, что только в случае квазиклассического приближения
В случае квазиквантового приближения и, следовательно, . Итак, для
117
фононов, состоящих из трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией, химический
потенциал , а «конденсат» вырожденного идеального фононного газа представляет
собой согласно [1] уже закрытую систему.
12.11. Определение внутренней энергии «конденсата»
Пусть
фононов оказались на своих самых нижних уровнях с нулевой энергией.
Тогда согласно (6.31) имеем
Из (12.7) находим
. (12.7)
(12.8)
Внутренняя энергия фононов
(12.9)
Подставляя в (12.9) значение из (12.8), получим
(12.10)
В частности, если все фононов находятся при абсолютном нуле – полное вырождение
фононного газа (твёрдого тела), то мы имеем
(12.11)
12.12. Уравнение состояния «конденсата»
Воспользуемся соотношением
Здесь учтено, что при абсолютном нуле
. (12.12)
. Подставляя в это уравнение выражение
из (12.10), получим
(12.13)
Уравнение (12.13) есть уравнение состояния «конденсата» идеального фононного газа при
частичной в нём конденсации Бозе-Эйнштейна (уравнение состояния для
фононов). В
случае полного вырождения идеального фононного газа (полного вырождения твёрдого тела)
118
в (12.13) необходимо заменить величину
на (число фононов в невырожденном
фононном газе или невырожденном твёрдом теле).
12.13. Определение химического потенциала фонона, представляющего собой
трёхмерный осциллятор с нулевой энергией
Из определения термодинамического потенциала Гиббса (1.8) для фононного
идеального газа, состоящего из трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией, имеем
(12.14)
Подставляя в (12.14) значения и , получим
(12.15)
12.14. Энтропия «конденсата»
Эта энтропия , что следует из определения энтропии [7], данного Больцманом
(12.16)
где - число всевозможных микросостояний, через которые реализуется данное
макросостояние (термодинамическая вероятность). Действительно, при все
фононов будут иметь нулевую энергию и это макросостояние можно получить только одним
способом [42]. Следовательно, и . Таким образом, вклад в энтропию
вырожденного идеального фононного газа в случае квазиклассического приближения вносит
только компонент фононного газа, состоящий из плоских упругих волн.
12.15. Теплоёмкость «конденсата»
Так как фононы «конденсата» имеют химический потенциал , то этот
компонент представляет собой закрытую систему. В закрытой системе уже можно ввести
понятие теплоёмкости при каком-либо изопроцессе. В частности, можно ввести
теплоёмкость при постоянном объёме, которая по определению равна
. (12.17)
119
Однако, так как внутренняя энергия не зависит от температуры , то
.
Вклад в теплоёмкость вырожденного идеального фононного газа вносит только компонент,
состоящий из упругих волн.
12.16. Давление в вырожденном идеальном фононном газе
Общее давление вырожденного идеального фононного газа складывается из давлений,
создаваемых каждым из двух его компонентов
(12.18)
В частности, при согласно (12.14) имеем
фононный газ состоит только из упругих волн, а при
, т.е. вырожденный идеальный
, т.е. вырожденный
идеальный фононный газ представляет собой только компонент «конденсата».
12.17. Термодинамические характеристики компонента, состоящего из плоских упругих
волн
Нетрудно видеть, что эти термодинамические характеристики остаются неизменными
и при квазиквантовом приближении. Поэтому перепишем их из части 6 , приписав им
соответствующие индексы
. (12.19)
. (12.20)
. (12.21)
120
. (12.22)
. (12.23)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]