Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
Однако, так как внутренняя энергия «конденсата» не зависит от температуры, то
.
Таким образом, вклад в теплоёмкость вырожденного идеального бозе-газа вносит только
компонент, состоящий из «свободных» бозонов. Авторы работы [8] считают теплоёмкость
вырожденного идеального бозе-газа теплоёмкостью
, что противоречит теории открытых
равновесных систем.
10.22. Вычисление температур вырождений некоторых идеальных бозе-газов
Рассмотрим идеальный газ, состоящий из атомов, которые в своём нормальном
состоянии не обладают ни орбитальным моментом, ни спином ( , ). Такими
свойствами обладают атомы благородных газов. По определению [22] число молекул (в
нашем случае число атомов) в одного моля вещества, находящегося в состоянии
идеального газа при нормальных условиях ( ,
, ), есть число Лошмидта
Будем с помощью изохорического процесса ( ) в данном идеальном газе
приближаться к температуре его вырождения. В этом случае
, так как в
невырожденном идеальном бозе-газе . Тогда (10.5) можно переписать так
(10.44)
где - масса атома благородного газа, а , так как .
Вычислим температуру вырождения идеального газа, состоящего из атомов гелия.
Масса атома гелия
Подставляя это значение массы в (10.44), получим
соотношение между
и
- температурой вырождения идеального газа, состоящего из
. Нетрудно установить
атомов другого благородного газа, с помощью формулы (10.44)
(10.45)
где
- атомные массы атома гелия и атома другого благородного идеального газа,
и
выраженные в атомных единицах массы. Так для неона
, для криптона
, для ксенона
. Заметим, что с увеличением атомной массы атома
температура вырождения идеальных газов, состоящих из этих атомов, понижается: от
десятых долей градуса Кельвина для гелия до тысячных долей градуса Кельвина для
101
ксенона. Для реальных благородных газов температуры их вырождения являются
недостижимыми: все они уже при превратятся в жидкости.
102
11. ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ВЫРОЖДЕННОГО ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-
ГАЗА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ЧАСТИЦ, МАССА ПОКОЯ КОТОРЫХ НЕ РАВНА НУЛЮ
11.1. Определение температуры вырождения идеального ферми-газа в случае
квазиклассического приближения
При понижении температуры идеального ферми-газа химический потенциал его
фермионов , оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолютной величине и при
некоторой температуре обращается в нуль. По аналогии с определением температуры
вырождения идеального бозе-газа [8], [11] температуру
, при которой химический
потенциал фермионов обращается в нуль, будем также считать температурой
вырождения идеального ферми-газа [43]. Последнюю можно найти, положив в (3.71)
( - число фермионов в невырожденном идеальном ферми-газе), ,
(11.1)
где
Вводя новую переменную интегрирования
(11.2)
, можно преобразовать интеграл в (11.1) в
интеграл [10]
(11.3)
Подставляя (11.3) в (11.1), получим
(11.4)
Решая это уравнение относительно , получим температуру вырождения идеального
ферми-газа в случае квазиклассического приближения
Идеальный ферми-газ, находящийся при температуре
(11.5)
, назовём вырожденным
идеальным ферми-газом. Именно таким способом и была получена температура вырождения
идеального ферми-газа в работах [45], [46], [47] с помощью неправильного подсчёта
числа квантовых состояний (пункт 3.18)
(11.6)
где
103
(11.7)
- классическая кинетическая энергия фермиона. Можно показать, что
(11.8)
Таким образом, температура вырождения в этих работах оказывается заниженной в два
раза по сравнению с найденной в (11.5) температурой .
11.2. Зависимость числа «свободных» фермионов в вырожденном идеальном фермигазе от температуры
Полагая в (11.4) и вместо и (здесь ), получим
(11.9)
Разделив уравнение (11.9) на (11.4), получим зависимость числа фермионов от
емпературы в интервале температур ( )
. (11.10)
Обозначение «св» означает, что фермионы, у которых , названы «свободными».
11.3. «Конденсация Ферми-Дирака» в вырожденном идеальном ферми-газе в случае
квазиклассического приближения
Термин «конденсация Ферми-Дирака» был впервые введён в работах [45], [46] для
объяснения уменьшения числа фермионов в вырожденном идеальном ферми-газе при
понижении его температуры. Из (11.10) следует, что в случае квазиклассического
приближения при понижении температуры в вырожденном идеальном ферми-газе число
фермионов убывает по закону
и при абсолютном нуле становится равным нулю. Таким
образом, идеальный ферми-газ при абсолютном нуле просто исчезает. Такое поведение
идеального ферми-газа следует признать абсурдным, а само определение «конденсации
Ферми-Дирака» некорректным (сравните с вырожденным идеальным бозе-газом в случае
квазиклассического приближения в пункте 10.2). Необходимо ввести другую модель
вырожденного идеального ферми-газа. Нетрудно видеть, что при квазиклассическом
104
рассмотрении вырожденного идеального ферми-газа имеет место однокомпонентная модель
с компонентом, состоящем из «свободных» фермионов.
11.4. Понятие о двухкомпонентной модели вырожденного идеального ферми-газа
В работах [45], [46] показано, что при любой температуре, взятой из интервала
, вырожденный идеальный ферми-газ распадается на два компонента: один состоит
из «осевших» фермионов по принципу Паули на самых нижних уровнях энергии
фермиона, которые заполнены сплошь вплоть до некоторого значения энергии (его
назовём для краткости «конденсатом» вырожденного идеального ферми-газа), другой
состоит из «свободных» фермионов, уровни энергии которых лежат выше уровня
энергии и не полностью заполнены. Компоненту, представляющему «конденсат»
вырожденного идеального ферми-газа, следует приписать температуру , а компоненту,
состоящему из «свободных» фермионов, температуру , при которой находится
вырожденный идеальный ферми-газ
11.5. Конденсация Ферми-Дирака в идеальном ферми-газе в случае квазиквантового
приближения
Процесс накопления фермионов на самых нижних уровнях энергии с учётом
принципа Паули при понижении температуры идеального ферми-газа ниже его температуры
вырождения будем называть «конденсацией Ферми-Дирака» [45], [46]. Отметим, что
самый нижний уровень энергии фермиона согласно квазиквантовому приближению
11.6. Граничное значение квантового числа (квантовое число Ферми)
В соответствии с (3.64) бесспиновая частица, движущаяся с модулем импульса в
объёме периодичности , имеет число квантовых состояний , где - квантовое число в
случае её одномерного движения. С учётом спина s число таких квантовых состояний
увеличивается в раз, где . При абсолютном нуле фермионов полностью
заполняют все эти нижние состояния (в каждом состоянии только один фермион) от
до некоторого граничного значения квантового числа в случае квазиквантового
приближения. Следовательно, в этом случае
105
(11.11)
Из (11.11) находим граничное значение квантового числа или квантовое число Ферми
для идеального ферми-газа при абсолютном нуле
. (11.12)
Остальные энергетические уровни с квантовыми числами будут при абсолютном
нуле полностью свободны.
11.7. Граничная энергия (энергия Ферми)
Подставляя из (11.12) граничное квантовое число в (3.74), получим
. (11.13)
Это и есть граничная энергия или энергия Ферми для идеального ферми-газа, находящемся
при абсолютном нуле. Все состояния с энергией сплошь заняты фермионами,
остальные, для которых
, являются полностью свободными. Заметим, что граничное
значение энергии (11.13) не совпадает с её значением, полученным в работах [8], [21]
. (11.14)
Сравнивая (11.13) с (11.14), видим, что энергия Ферми (11.14) оказывается заниженной в
раз. Это связано с тем, что при вычислении авторы [8] неправильно подсчитали
число квантовых состояний (пункт 3.18).
11.8. Граничный импульс (импульс Ферми)
Величина
. (11.15)
носит название граничного импульса или ферми-импульса идеального ферми-газа при
абсолютном нуле. Все состояния с импульсом полностью заняты фермионами, а
состояния с являются полностью свободными. Иными словами, при
фермионы занимают в импульсном пространстве состояния внутри сферы с радиусом
(ферми-сфера). Следует отметить, что в работах [8], [21] величина ферми-импульса
106
оказывается заниженной в
раз вследствие неправильного подсчёта числа квантовых
состояний (пункт 3.18).
11.9. Внутренняя энергия «конденсата» вырожденного идеального ферми-газа
Пусть в вырожденном ферми-газе на самых нижних уровнях энергии согласно
принципу Паули при данной температуре «осели» фермионов. Тогда
внутренняя энергия «конденсата» из этих частиц
, (11.16)
где в соответствии с (11.12)
. (11.17)
Интегрируя выражение в (11.16), получим с учётом (11.17) внутреннюю энергию
«конденсата»
. (11.18)
11.10. Уравнение состояния «конденсата» вырожденного идеального ферми-газа
Из (5.16) с учётом того, что для «конденсата» и, следовательно, ,
получим
. (11.17)
Следовательно,
(11.18)
Последнее уравнение можно переписать так
(11.19)
где
107
. (11.20)
Выражение (11.19) и является уравнением состояния «конденсата». Оно было получено
ранее в работе [47]. Из (11.20) видно, что величина зависит от
. В частности, при
величина становится равной и тогда
. (11.21)
11.11. Определение химического потенциала фермионов «конденсата»
По определению
Подставляя в это уравнение значения и , полученные выше, и учитывая, что для
«осевших» фермионов , получим
. (11.23)
При абсолютном нуле и, следовательно, .
(11.22)
11.12. Замечание о компонентах вырожденного идеального ферми-газа
Для частиц компонента, состоящего из «свободных» фермионов, как указано выше,
химический потенциал . Следовательно, этот компонент представляет собой
открытую систему [1]. Для частиц компонента, который представляет собой «конденсат»,
химический потенциал , поэтому он представляет собой закрытую систему. Заметим,
что между компонентами вырожденного идеального ферми-газа не может быть
термодинамического равновесия, так как им приписаны различные температуры, поэтому
и, как увидим далее, .
11.13. Закон сохранения числа фермионов в замкнутой системе
Однако существует другое равновесие между этими двумя компонентами, которое
связано с законом сохранения в замкнутой системе числа фермионов
(11.24)
Условие (11.24) должно выполняться при любой температуре , взятой из интервала
. В частности, при абсолютном нуле из (11.24) следует, что
, т.е. все
108
«свободные» фермионы «осели» на самых нижних уровнях энергии. Условие (11.24) можно
переписать так, учитывая (11.10)
(11.25)
11.14. Физический смысл температуры вырождения идеального ферми-газа в случае
квазиквантового приближения
При из (11.25) следует, что , т.е. все «осевшие» на нижних уровнях
энергии фермионы становятся «свободными». Отсюда и вытекает физический смысл
температуры вырождения идеального ферми-газа в случае рассмотрения его в
квазиквантовом приближении: это температура, при которой уже не существует фермионов,
представляющих собою частицы «конденсата», т.е. двухкомпонентный вырожденный
идеальный ферми-газ превращается в однокомпонентный, состоящий из «свободных»
фермионов.
11.15. Определение плотности внутренней энергии компонента, состоящего из
«свободных» фермионов
Полагая в уравнении (3.72) , получим
(11.26)
Сделав замену переменной в последнем уравнении , получим
(11.27)
Но согласно [10]
(11.28)
Тогда имеем
9
(11.29)
11.16. Уравнение состояния компонента, состоящего из «свободных» фермионов
Выражение в (3.73) с помощью интегрирования по частям можно представить в виде
109
Полагая в (11.30) , , получим
(11.30)
(11.31)
Таким образом,
6
(11.32)
Уравнение (11.32) является уравнением состояния компонента вырожденного идеального
ферми-газа, состоящего из «свободных» фермионов. В то же время оно является и
уравнением единственного равновесного процесса, который можно осуществить в этой
термодинамической системе (процесса конденсации Ферми-Дирака). Очевидно, общее
давление в вырожденном идеальном ферми-газе складывается из давлений, создаваемых
каждым компонентом
(1.33)
11.17. Энтропия «конденсата» вырожденного идеального ферми-газа
Для нахождения энтропии «конденсата» воспользуемся её статистическим
определением, которое было дано Больцманом [7],
(11.34)
где - термодинамическая вероятность, представляющая собой число микросостояний,
с помощью которых может быть осуществлено данное макросостояние. В случае статистики
Ферми-Дирака по принципу Паули в одном квантовом состоянии не может быть больше
одной частицы. Тогда число возможных различных перестановок частиц по
квантовым состояниям будет [42]
(11.35)
Учитывая, что при должно быть (все квантовые уровни заняты фермионами),
а также, что
, получим , а, следовательно, и
(11.36)
11.18. Плотность энтропии компонента, состоящего из «свободных» фермионов
Так как компонент вырожденного идеального ферми-газа, состоящий из «свободных»
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]