Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
независимые поляризации. Для продольной упругой волны, у которой только одна
независимая поляризация, очевидно, что . При переходе к квазичастицам,
соответствующим данным волнам, необходимо (4.75) переписать в терминах квазичастиц
(4.76)
где - квазиимпульс квазичастицы, а под в (4.88) уже понимается величина , где
- спин квазичастицы. Для частиц, у которых масса покоя не равна нулю, - это число
проекций спина на выбранное направление. У квазичастиц масса покоя равна нулю и под
опять следует понимать фактически число, совпадающее с числом независимых поляризаций
у соответствующим им плоских волн. Так у фотона спин равен 1 и, следовательно,
должно быть равным 3. Однако в физике исключают одну из проекций спина, считая что для
фотона существуют только две проекции спина: по направлению движения квазичастицы и
против него [21]. Поэтому для «поперечного» фонона, которому соответствует плоская
упругая поперечная волна с двумя независимыми поляризациями, видимо, также можно
приписать , как и фотону, а . Для «продольного» фонона, которому
соответствует плоская упругая продольная волна с одной поляризацией, очевидно, следует
приписать и, следовательно, спин «продольного» фонона должен быть равен нулю
.
4.15. Волновая функция плоской волны в квазиклассическом
приближении
Из (4.30) следует, что [24]
(4.77)
Таким образом, в случае квазиклассического приближения волновая функция плоской волны
зависит только от одного квантового числа , которое представляет собой квантовое число
при одномерном движении квазичастицы. Следовательно, волновая функция в (4.41)
принимает один из следующих видов
(4.78)
где .
41
(4.79)
(4.80)
4.16. Характеристики плоской волны и соответствующей ей квазичастицы в
квазиклассическом приближении
Так как волновая функция в квазиклассическом приближении зависит только от
одного квантового числа , которое характеризует одномерное движение, то нетрудно
убедиться, что для плоской волны
(4.81)
а для соответствующей ей квазичастицы
ħ (4.82)
4.17. Распределения Ферми и Бозе для квазичастиц
Квазичастицы как и частицы могут подчиняться той или иной статистике: например,
фотоны и фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Поэтому распределения Ферми
и Бозе в (3.70), записанные в квазиклассическом приближении для частиц, для них также
имеют место. Для них имеют место и формулы (3.71) – (3.73). Однако следует учесть, что
согласно (4.82) для них
(4.83)
Распределение Бозе в форме (3.70) было использовано уже в работах [26] и [28] для
нахождения термодинамических характеристик соответственно идеального фононного и
идеального фотонного газов.
4.18. Правило квантования движения плоской волны
В пункте 3.17 было выведено правило квантования движения частицы Бора (уравнение
(3.66)). Оно определяет её стационарные состояния. Очевидно, что этому правилу
подчиняются и квазичастицы. Используя связь между импульсом квазичастицы и
волновым вектором плоской волны , можно переписать уравнение (3.66) ещё так
(4.84)
Уравнение (4.84) представляет собой правило квантования движения плоской волны. Оно
определяет её стационарные состояния в случае квазиклассического приближения [24].
42
4.19. Фотон – квазичастица
Понятие квазичастицы давно широко используется в физике [21]: это могут быть
элементарные возбуждения конденсированной среды (твёрдого тела, жидкого гелия), в
полупроводниках квазичастицами являются электроны и дырки, колебания атомов или ионов
около положения равновесия, распространяющиеся в кристалле в виде упругих волн
(фононы), колебания магнитных моментов в магнитоупорядоченных средах, которые
представляют собой спиновые волны (магноны), точечные дефекты в кристаллах
(дефектоны) и т. д. Квазичастицам можно приписать такие характеристики как масса, заряд,
спин. Однако существует ещё одна важная характеристика квазичастицы, как и частицы: это
её число степеней свободы. Следует отметить, что в физике этому вопросу практически не
уделено какого-либо внимания. Фотон до сих пор считается частицей с массой покоя равной
нулю и спином 1 в единицах ħ, хотя приписать ему число степеней свободы
просто невозможно. Впервые вопрос о числе степеней свободы у фотона был поставлен в
работе [27]. В этой работе была сделана попытка доказать, что число степеней свободы у
фотона равно шести и поэтому называть его необходимо не частицей, а квазичастицей.
Однако полное доказательство этого было сделано только в работе [24]: авторы этой работы
показали, что плоской упругой и плоской электромагнитной волнам можно поставить в
соответствие некие квазичастицы соответственно фонон и фотон, у которых число степеней
свободы равно шести.
43
5. ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО С ВЕЩЕСТВОМ ФОТОННОГО ГАЗА
5.1. Равновесный идеальный фотонный газ
Каждой плоской монохроматической электромагнитной волне с волновым вектором
поставим в соответствие квазичастицу, называемую фотоном. Энергия этой квазичастицы
даётся формулой Планка (4.65), а импульс формулой де Бройля (4.66). Число степеней
свободы фотону, согласно пункту 4.15, следует приписать равным шести. Совокупность
плоских независимых монохроматических электромагнитных волн можно рассматривать
как некоторый идеальный фотонный газ. Спин фотона равен 1 в единицах ħ, следовательно,
он является бозоном, т.е. он подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Отметим, что
тепловое равновесие в фотонном газе может установиться только в присутствии в нём
вещества. Число фотонов в равновесном фотонном газе является переменной величиной
и должно определяться из условия теплового равновесия, т.е. минимума свободной энергии
фотонного газа при заданных и [8]
(5.1)
Это означает, что химический потенциал фотонов в равновесном с веществом фотонном газе
при любой температуре обязательно должен быть равен нулю. Согласно сказанному выше
термодинамическая система, у которой для её частиц химический потенциал , является
открытой [1], [2]. Последнее означает, что температура вырождения идеального фотонного
газа равна бесконечности. Действительно, если положить в найденной температуре
вырождения (уравнение (2.21)) идеального бозонного газа массу покоя бозона равной
нулю, то мы получим для фотона .
5.2. Применение статистики Бозе-Эйнштейна к равновесному с веществом фотонному
газу
Применим формулы (3.71) – (3.73) к равновесному фотонному газу, учитывая, что
фотоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и то, что для них химический потенциал µ
равен нулю. Получим [29]
(5.2)
44
(5.3)
exp[T
(5.4)
Здесь
(5.5)
а элементарное число квантовых состояний плоской электромагнитной волны равно
, в случае квазиклассического приближения. Производя в (5.4) интегрирование по
частям и учитывая, что согласно [8] , а для фотонов равно нулю, получим
(5.6)
5.3. Определение термодинамических характеристик равновесного фотонного газа
Введём новую переменную интегрирования ( . Получим
(5.7)
(5.8)
(5.9)
В формулах (5.7) – (5.9) согласно пункту 4.16 . Согласно [10]
(5.10)
(5.11)
Здесь - дзета-функция. Учитывая (5.10) и (5.11), получим
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Следует отметить, что у авторов работ [8],[11], элементарное число квантовых состояний
согласно (2.10), которое является ошибочным, для фотонного газа равно
(5.15)
В (5.15) использовалась дебройлевская связь между квазиимпульсом квазичастиц и
волновым вектором соответствующей ей волны. Можно показать, что, если в формулах
45
(5.2) – (5.4) заменить элементарное число квантовых состояний на элементарное число
квантовых состояний из (5.15), то все полученные результаты в (5.12) – (5.14) будут
увеличены в
раз.
5.4. Конденсация Бозе-Эйнштейна в равновесном с веществом фотонном газе
Как показано выше для идеального бозе-газа, состоящего из частиц, масса покоя
которых не равна нулю, существует температура вырождения (уравнение (40)), ниже
которой при её понижении часть бозонов переходит в состояние с нулевым импульсом и,
следовательно, с нулевой энергией ԑ. Эти бозоны не вносят никакого вклада ни в энергию,
ни в давление идеального бозе-газа. Это явление, как отмечено выше, получило название
«конденсации Бозе-Эйнштейна». Такой бозе-газ представляет собой открытую систему
(систему с переменным числом частиц) и называется вырожденным. Выше показано, что
температура вырождения равновесного фотонного газа равна бесконечности, т.е. он является
вырожденным при любой температуре. В работе [21] высказано мнение, что в фотонном газе
не может происходить конденсация Бозе-Эйнштейна, так как не существует фотонов с
нулевым импульсом (фотон всегда движется со скоростью света). На самом деле это не так.
Равновесный фотонный газ представляет собой открытую систему, обменивающуюся
фотонами с веществом, с которым фотонный газ находится в равновесии. Если поглощение
веществом фотонов при понижении температуры в равновесном фотонном газе формально
считать как скапливание их на уровне энергии ԑ = 0, то можно считать формально, что при
понижении температуры в равновесном фотонном газе происходит явление конденсации
Бозе-Эйнштейна [27], [28].
5.5. Уравнение состояния равновесного с веществом фотонного газа
Как известно [22] из термодинамики закрытых систем
(5.16)
Для открытых систем аналогом уравнения (5.16) является уравнение [27]
(5.17)
Тогда из (5.13) следует, что
46
(5.18)
В это уравнение не входит объём равновесного фотонного газа, т.е. оно представляет собой
типичное уравнение состояния открытой однокомпонентной системы. Это же уравнение
согласно сказанному выше является и уравнением единственного равновесного процесса,
который можно осуществить в равновесном фотонном газе. Очевидно, что таким процессом
является процесс конденсации Бозе-Эйнштейна. Разделив уравнение (5.18) на уравнение
(5.14) получим связь равновесного давления в фотонном газе с его плотностью
внутренней энергии , установленную Максвеллом (уравнение (1.4)).
5.6. Плотность энтропии равновесного с веществом фотонного газа
Согласно термодинамике закрытых систем [22]
(5.19)
Для открытых систем [27] по аналогии с (5.19) имеем
(5.20)
Из (5.13) и (5.20) вытекает, что плотность энтропии равновесного фотонного газа
(5.21)
5.7. Плотность теплоёмкости равновесного фотонного газа
Как отмечалось выше в открытых термодинамических системах невозможно
осуществить изопроцессы (изохорический, изотермический, изобарический,
адиабатический). Следовательно, такие термодинамические характеристики как
(теплоёмкость при постоянном объёме) и (теплоёмкость при постоянном давлении)
ввести для равновесного фотонного газа нельзя. Однако для открытых систем можно ввести
понятие плотности теплоёмкости (уравнение (1.17)). Используя это уравнение для
равновесного фотонного газа как открытой системы, получим
(5.22)
47
5.8. Критические замечания
Авторы [8], используя выражение для внутренней энергии равновесного фотонного
газа
(5.23)
вводят в нём теплоёмкость при постоянном объёме
(5.24)
Нетрудно видеть, что авторы рассматривают фотонный газ как закрытую систему, так как
изохорический процесс уже по своему определению предполагает, что число частиц в
системе должно быть постоянным. Далее авторы [8] пытаются ввести в равновесном
фотонном газе адиабатический процесс. Они получают число фотонов при заданной
температуре
(5.25)
Затем полагают в (5.25) и получают уравнение адиабаты
(5.26)
Авторы совершенно не замечают, что условие уже предполагает, что
равновесный фотонный газ является закрытой системой (системой с постоянным числом
частиц). Таким образом, изучение равновесного фотонного газа как открытой системы
авторы подменяют изучением его как закрытой системы. Ошибки, допущенные в работе [8],
были также замечены и у авторов работ [6], [22], на что было указано в работах [1], [2].
5.9. Спектральные характеристики и интегральные законы равновесного излучения
Соотношение (4.76) с учётом того, что можно для электромагнитных волн
переписать в виде [28]
(5.27)
Запишем теперь уравнения (5.2), (5.3), (5.6), взяв в качестве переменной интегрирования не
квантовое число , а круговую частоту согласно (5.27)
(T) =
exp[
[
[
] (5.28)
(5.29)
(5.30)
48
Далее, дифференцируя выражение по , получим выражение плотности энтропии
равновесного фотонного газа
[
(
] (5.31)
Дифференцируя (5.30) по , получим выражение плотности теплоёмкости равновесного
фотонного газа
[
(
[
(
(5.32)
Очевидно, при интегрировании выражений (5.28) – (5.32) по получим те же значения для
, , , , , которые получили при интегрировании по квантовому
числу . Однако введение в формулах (5.28) – (5.32) в качестве переменной интегрирования
круговой частоты приводит уже к появлению новых спектральных характеристик
равновесного излучения. Так в выражении (5.28) можно ввести такую спектральную
характеристику равновесного излучения, как спектральную плотность объёмной плотности
числа фотонов
[
(
(5.33)
Тогда имеем
(5.34)
где
(5.35)
Уравнение (5.34) выражает один из интегральных законов равновесного с веществом
излучения. Согласно этому закону плотность числа фотонов при равновесном
излучении пропорционально абсолютной температуре в третьей степени.
Далее можно ввести ещё одну спектральную характеристику равновесного излучения
– спектральную плотность объёмной плотности внутренней энергии равновесного фотонного
газа
[
(5.36)
Тогда
(5.37)
где
(5.38)
постоянная Стефана-Больцмана. Выражение в (5.37) представляет собой закон Стефана-
49
Больцмана, который утверждает, что объёмная плотность внутренней энергии равновесного
фотонного газа пропорциональна абсолютной температуре в четвёртой степени.
Введём ещё одну спектральную характеристику равновесного излучения –
спектральную плотность объёмной плотности свободной энергии фотонного равновесного
газа
[
(5.39)
Тогда
(5.40)
где
(5.41)
Уравнение (5.41) выражает ещё один интегральный закон равновесного излучения, согласно
которому объёмная плотность свободной энергии равновесного фотонного газа
пропорциональна абсолютной температуре в четвёртой степени.
Вводя ещё одну спектральную характеристику равновесного излучения –
спектральную плотность объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа,
получим
[ ( (5.42)
Согласно (5.21) и (5.42)
(5.43)
где
(5.44)
Уравнение (5.44) выражает также интегральный закон равновесного излучения, согласно
которому плотность энтропии равновесного фотонного газа пропорциональна абсолютной
температуре в третьей степени.
Наконец, можно ввести последнюю характеристику равновесного излучения –
спектральную плотность объёмной плотности теплоёмкости равновесного фотонного газа
[ ( (5.45)
С учётом (5.22) и (5.32)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]