Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
10. ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ВЫРОЖДЕННОГО ИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-
ГАЗА, СОСТОЯЩНГО ИЗ ЧАСТИЦ, МАССА ПОКОЯ КОТОРЫХ НЕ РАВНА НУЛЮ
10.1. Определение температуры вырождения идеального бозе-газа, состоящего из
частиц, в квазиквантовом приближении
Продолжим исследование идеального бозе-газа, которое было начато в части 2 . Как
было отмечено в этой части (пункт 2.2), уравнения (2.11) – (2.13) написаны с ошибкой.
Поэтому все термодинамические характеристики вырожденного идеального бозе-газа,
найденные в этой части а, именно, температура вырождения
, плотность свободной
энергии , плотность внутренней энергии , равновесное давление , плотность энтропии
, плотность теплоёмкости , плотность числа частиц , который состоит из частиц,
масса покоя которых не равна нулю, получены с ошибками. Устранение этой ошибки
приводит к новой системе уравнений (3.71) – (3.73). Правильную температуру вырождения
для идеального бозе-газа мы можем найти, полагая в (3.71) ( - число частиц в
невырожденном идеальном бозе-газе), и . Получим
(10.1)
где
(10.2)
Вводя новую переменную , можно преобразовать интеграл в (10.1) в интеграл [10]
(10.3)
следовательно,
(10.4)
Решая это уравнение относительно , получим
(10.5)
Можно показать, что температура вырождения идеального бозе-газа, найденная в части
2 (уравнение (2.21)), а также совпадающие с ней температуры вырождения, которые
получены авторами в работах [8], [11] связаны с найденной выше температурой вырождения
в (10.5) следующим образом
91
(10.6)
Таким образом, температура вырождения идеального бозе-газа, состоящего из частиц,
масса покоя которых не равна нулю, в этих работах оказывается заниженной в два раза по
сравнению с найденной температурой вырождения . Так как уравнения в (3.71) – (3.72)
для идеальных бозе- и ферми-газов получены в квазиклассическом приближении, то все
характеристики для этих газов будут получены также в квазиклассическом приближении.
10.2. О некорректности определения понятия «конденсация Бозе-Эйнштейна»
При рассмотрении идеального бозе-газа в квазиклассическом приближении нижний
уровень энергии бозона полагается равным нулю. Явление накапливания бозонов на
энергетическом уровне называют «конденсацией Бозе-Эйнштейна» [8]. Очевидно,
что «осевшие» на нижний уровень энергии бозоны не вносят никакого вклада ни во
внутреннюю энергию идеального бозе-газа, ни в его давление . Нетрудно видеть, что
при
(10.7)
Из (10.7) следует, что плотность числа частиц , плотность внутренней энергии
, давление вырожденного идеального бозе-газа при абсолютном нуле обращаются
в нуль, т.е. вырожденный идеальный бозе-газ просто исчезает [40]. Такое поведение
идеального бозе-газа при абсолютном нуле является просто абсурдным. Очевидно, что и
данное в [8] определение конденсации Бозе-Эйнштейна является некорректным.
10.3. Физический смысл температуры вырождения идеального бозе-газа в случае
квазиклассического приближения
Можно показать, что и для температуры вырождения
, которая получена в (10.5),
выполняется соотношение, которое дано в (2.23), из которого следует, что при все
бозонов имеют . Отсюда вытекает физический смысл температуры вырождения
идеального бозе-газа, состоящего из частиц, масса покоя которых не равна нулю, в случае
квазиклассического приближения: это температура, при которой уже не существует ни
одного бозона с энергией . Именно такое определение температуры вырождения
идеального бозе-газа и было дано в работе [11].
92
10.4. Квазиквантовое приближение
Согласно квантовой механики частица, движущаяся в замкнутом объёме , имеет ряд
дискретных уровней энергии , причём согласно (3.74) минимальное значение
энергии равно
(10.8)
так как в квантовой механике . Из (10.8) следует, что наименьшее значение
энергии частицы, движущейся в конечном замкнутом объёме, в принципе не может быть
равным нулю. Таким образом, квазиклассическое движение частицы, при котором
минимальное значение необходимо положить равным нулю, а, следовательно, и ,
приходит в противоречие с квантовым движением частицы, для которого минимальное
значение квантового числа , а, следовательно, и . Поэтому в формулах (3.71) –
(3.73) необходимо, считая непрерывной величиной, изменить пределы интегрирования по
от до . Такое приближение, при котором квантовое число будет
считаться непрерывной величиной, а наименьшее его значение будет равно не 0, а 1, для
краткости в дальнейшем будем называть квазиквантовым (как бы квантовым) приближением
[40].
10.5. Введение наименьшего, не равного нулю, уровня энергии бозона
Именно поэтому в работе [11] этот наинизший, не равный нулю, уровень энергии
бозона и был введён из квантовой задачи движения частицы в бесконечно глубокой
сферической потенциальной яме [41]
10.6. Понятие о двухкомпонентной модели вырожденного идеального бозе-газа,
состоящего из частиц
. (10.9)
Впервые эта модель была предложена в работе [11]. В этой работе показано, что ниже
температуры вырождения идеальный бозе-газ распадается на два компонента: один
состоит из частиц, «осевших» на самый нижний, не равный нулю, уровень энергии
бозона («конденсат» вырожденного идеального бозе-газа), другой состоит из
93
«свободных» частиц, занимающих более высокие уровни энергии (
). Таким образом,
при по сути имеем два различных идеальных бозе-газа. Этим газам следует
приписать различные температуры. Так идеальному бозе-газу, состоящему из частиц
«сконденсировавшихся» на уровне , очевидно, следует приписать . Идеальному же
газу, состоящему из «свободных» частиц, следует приписать температуру , при которой
находится вырожденный идеальный бозе-газ .
10.7. Зависимость числа «свободных» бозонов от температуры в случае
квазиквантового приближения
В случае квазиквантового приближения необходимо во всех уравнениях (3.71) – (3.73)
уже интегрировать по квантовому числу в пределах от 1 до ∞. Для определения
температуры вырождения идеального бозе-газа в этом случае уравнение (3.71) следует
переписать так, полагая в нём , ,
(10.10)
Однако можно показать, что добавка в интеграл в (10.10)
(10.11)
настолько ничтожна, что и при квазиквантовом приближении можно оставить прежние
пределы интегрирования по квантовому числу от 0 до ∞. Таким образом, и при
квазиквантовом приближении сохраняется прежнее значение температуры вырождения
идеального бозе-газа, которое получено в (10.5) при квазиклассическом приближении.
Согласно (10.4)
(10.12)
где
(10.13)
Подставляя (10.13) в (10.12), получим
(10.14)
Разделив (10.12) на (10.4), получим зависимость числа «свободных» частиц от температуры
. (10.15)
94
10.8. Невозможность термодинамического равновесия между компонентами
вырожденного идеального бозе-газа
Так как идеальным бозе-газам, состоящим из «осевших» на нижнем уровне
энергии бозона и из «свободных» бозонов, приписаны различные температуры
соответственно и , то никакого термодинамического равновесия между этими
идеальными газами не может быть, т.е., как показано далее, , .
10.9. Закон сохранения числа бозонов в замкнутой системе
Однако существует другое равновесие между этими компонентами вырожденного
идеального бозе-газа, связанное с законом сохранения числа частиц в замкнутой системе
(10.16)
Здесь - бозонов в невырожденном бозе-газе. Уравнение в (10.16) с учётом уравнения
(10.15) можно переписать так
. (10.17)
Условие в (10.17) должно выполняться для вырожденного идеального бозе-газа при любой
температуре , взятой из интервала температур . В частности, когда
температура , при которой находится вырожденный идеальный бозе-газ, состоящий из
«свободных» частиц, становится равной нулю, то из (10.17) следует, что , т.е. все
«свободные» бозоны «осели» на самый нижний уровень энергии .
10.10. Физический смысл температуры вырождения бозе-газа в случае квазиквантового
приближения
Из (10.17) при следует, что , т.е. все «осевшие» на нижнем уровне
энергии бозоны становятся «свободными». Отсюда и вытекает физический смысл
температуры вырождения идеального бозе-газа в случае рассмотрения его в квазиквантовом
приближении: это температура, при которой не существует ни одного бозона, у которого
энергия была бы минимальна . Однако можно дать и другое более удобное
определение физического смысла температуры вырождения идеального бозе-газа: это
95
температура, при которой вырожденный двухкомпонентный идеальный бозе-газ
превращается в однокомпонентный (состоящий из «свободных» бозонов).
10.11. Замечание о химических потенциалах вырожденного идеального бозе-газа
Компонент вырожденного идеального бозе-газа, состоящий из «свободных» частиц,
для которых , имеет, как показано выше, химический потенциал этих бозонов
. Согласно [1] он представляет собой открытую систему. Химический потенциал
частиц, образующих другой компонент («конденсат»), уже не может быть равен нулю.
Действительно, из определения химического потенциала следует, что
(10.18)
Здесь , , - соответственно внутренняя энергия, объём и энтропия, приходящиеся
на одну «осевшую» частицу. Но , , поэтому
(10.19)
Из (10.18) следует, что только в случае квазиклассического приближения
. В случае квазиквантового приближения и, следовательно, . Таким
образом, для частиц «конденсата» химический потенциал и он представляет собой
согласно [1] закрытую систему.
10.12. Конденсация Бозе-Эйнштейна в случае квазиквантового приближения
При понижении температуры ниже температуры вырождения часть «свободных»
бозонов «оседает» на самом нижнем уровне энергии . Этот процесс и называется
конденсацией Бозе-Эйнштейна в случае квазиквантового приближения.
10.13. Определение плотности внутренней энергии компонента, состоящего из
«свободных» бозонов
Найдём внутреннюю энергию компонента вырожденного идеального бозе-газа,
состоящего из «свободных» бозонов. Полагая в (3.72) , получим в
квазиклассическом приближении
(10.20)
96
В случае квазиквантового приближения в (10.20) следует интегрировать по от
до . Однако можно показать, что добавка в (10.20)
(10.21)
оказывается ничтожно малой, поэтому и при квазиквантовом приближении можно для
оставить прежнее выражение (10.20). Для нахождения сделаем замену переменной
(10.22)
Но [10]
(10.23)
Подставляя (10.23) в (10.22) и учитывая (2.44), получим
Результат (10.24) в
раз меньше результата, полученного для в работах [8], [11], по
(10.24)
причине, указанной в пункте 2.2 .
10.14. Определение внутренней энергии «конденсата» вырожденного идеального бозегаза
Очевидно, что внутренняя энергия вырожденного идеального бозе-газа,
представляющего собой «конденсат»
10.15. Уравнение состояния «конденсата» вырожденного идеального бозе-газа
Из (5.16) и (6.53) с учётом того, что для «конденсата» и, следовательно,
, получим для «конденсата» как закрытой системы
(10.25)
=
. (10.26)
Подставляя из (10.25) в (10.26), получим
или
97
(10.27)
где
, (10.28)
(10.29)
Это и есть уравнение состояния «конденсата» вырожденного идеального бозе-газа. В
частности, при , очевидно, что
(10.30)
Уравнение состояния «конденсата» (10.29) было получено уже в работе [11]. Однако
значение имеет другой вид, так как .
10.16. Определение химического потенциала бозонов «конденсата»
Из определения термодинамического потенциала Гиббса (1.8) имеем с учётом того,
что для частиц «конденсата»
(10.31)
Подставляя в (10.31) значения и , получим
(10.32)
10.17. Уравнение состояния компонента вырожденного идеального бозе-газа,
состоящего из «свободных» бозонов
Выражение (3.73) после интегрирования по частям можно представить так
(
(10.33)
Учитывая, что для компонента вырожденного идеального бозе-газа, состоящего из
«свободных» частиц, , получим
(10.34)
В (10.34) получена величина в квазиклассическом приближении. Для того, чтобы
записать в квазиквантовом приближении, необходимо в (10.34) интегрировать по в
пределах от 1 до ∞. Можно показать, что добавка в (10.34)
(10.35)
98
оказывается ничтожно малой величиной, поэтому и в случае квазиквантового приближения
можно оставить для выражение (10.34). Интегралы в (10.35) и (10.20) совпадают,
поэтому получаем
(10.36)
Выражение (10.36) представляет собой уравнение состояния компонента вырожденного
идеального бозе-газа, состоящего из «свободных» бозонов. Это же уравнение представляет
собой также и уравнение единственного равновесного процесса, который можно
осуществить в данном компоненте (процесс конденсации Бозе-Эйнштейна). Значение ,
полученное в работах [8], [11] оказывается завышенным по сравнению с значением (10.36) в
раз по причине, указанной в пункте 3.18. Очевидно, что общее давление вырожденного
идеального бозе-газа складывается из давлений, создаваемых каждым из двух компонентов
[11]
(10.37)
В частности, при имеем , т.е. вырожденный идеальный бозе-газ состоит
только из «свободных» бозонов, а при , т.е. вырожденный идеальный бозе-газ
представляет собой только один компонент «конденсата».
10.18. Энтропия «конденсата» вырожденного идеального бозе-газа
Энтропия , что следует из определения энтропии [7], данного Больцманом
(10.38)
где - число всевозможных микросостояний, через которые реализуется данное
макросостояние (термодинамическая вероятность). Действительно, при «осевшие»
бозонов будут находиться только на самом нижнем уровне энергии бозона и это
макросостояние можно получить только одним способом [42]. Следовательно, и
согласно (10.38) .
99
10.19. Определение плотности энтропии компонента, состоящего из «свободных»
Бозонов
Плотность энтропии другого компонента, состоящего из «свободных» бозонов,
можно найти, используя связь её с равновесным давлением в открытой системе
(уравнение состояния открытой системы (1.12))
. (10.39)
Подставляя в это уравнение значение из (10.36), получим плотность энтропии
компонента вырожденного идеального газа, состоящего из «свободных» бозонов
(10.40)
Значение в работе [11] оказывается завышенным в
раз по причине, указанной в
пункте 3.18 .
10.20. Плотность теплоёмкости компонента, состоящего из «свободных» бозонов
Из определения плотности теплоёмкости для открытых систем в (1.17) следует
. (10.41)
Имея ввиду из (10.24), получим
Значение в работах [8], [11] оказывается завышенным в
(10.42)
раз по причине, указанной
в пункте 3.18.
10.21. Теплоёмкость «конденсата» вырожденного идеального бозе-газа
Так как бозоны «конденсата» имеют химический потенциал , то «конденсат»
представляет собой закрытую систему. В закрытой системе уже можно ввести понятие
теплоёмкости при каком-либо изопроцессе. В частности, теплоёмкость при постоянном
объёме, которая по определению равна
. (10.43)
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]