Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
4. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ
КВАЗИЧАСТИЦЫ
4.1. Волновое уравнение
Бегущая волна – это возмущение, распространяющее в среде, которое несёт с собой
энергию без переноса вещества. Распространение волны в среде описывается волновым
уравнением
(4.1)
где - вектор, физический смысл которого определяется природой волны, а - фазовая
скорость волны. Если мы введём оператор д’ Аламбера
(4.2)
то уравнение (4.1) принимает компактный вид [21]
(4.3)
В дальнейшем нас будут интересовать только электромагнитные и упругие колебания, хотя
всё изложенное ниже можно применить и к волнам другой природы. Для электромагнитных
волн в вакууме имеем два волновых уравнения [23]
(4.4)
где и - соответственно напряженности электрического и магнитного полей в
электромагнитной волне. Для упругих волн, распространяющихся в твёрдых телах, мы также
имеем два уравнения (пункт 6.3)
, . (4.5)
Уравнения (4.5) описывают две независимые бегущие в одном направлении волны. В одной
из них смещение частиц среды направлено вдоль направления распространения самой
упругой волны (она называется продольной), а в другой смещение частиц среды
направлено в плоскости, перпендикулярной направлению её распространения (она
называется поперечной). Скорости распространения этих волн и различны.
4.2. Плоские монохроматические волны
Каждому из векторных уравнений (4.3), (4.4), (4.5) соответствуют три скалярных.
Например, векторному уравнению в (4.3) соответствуют следующие уравнения
31
(4.6)
где , , - проекции вектора соответственно на оси , , . Первому
скалярному уравнению в (4.6) удовлетворяет частное решение
(4.7)
где
(4.8)
- скалярное произведение радиуса-вектора и волнового вектора , - круговая частота,
– амплитудное значение физической величины в волне. Уравнение (4.7) представляет
собой плоскую монохроматическую бегущую волну. Величина
(4.9)
называется фазой волны. Поверхность, во всех точках которой волна в данный момент
времени находится в одной фазе , образует в пространстве волновую
поверхность, называемую фронтом волны. Для плоской бегущей волны это плоскость
(4.10)
где
(4.11)
Эта плоскость перпендикулярна волновому вектору k . Действительно, функция
(4.12)
характеризует задание скаляра в каждой точке пространства. Градиент этого скаляра [22]
i +
j +
l (4.13)
представляет собой вектор, перпендикулярный поверхности в (4.10) в каждой её точке.
Здесь , , - единичные векторы, направленные в положительных направлениях осей
, , . Сравнивая (4.12) и (4.13), видим, что
. (4.14)
Таким образом, уравнение (4.7) представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в
направлении волнового вектора . Дифференцируя выражение (4.9) по времени , получим,
учитывая, что на волновой поверхности
(4.15)
Подставляя уравнение (4.7) в первое уравнение из (4.6), получим
(4.16)
Из (4.16) следует, что
32
(4.17)
Сравнивая (4.17) с (4.15), видим, что это возможно, если || , т.е. когда направления
фазовой скорости и волнового вектора совпадают.
4.3. Уравнение Шрёдингера для плоской волны
Попытаемся описать процесс распространения плоской волны с помощью квантовой
механики. В квантовой механике физическим величинам соответствуют операторы, которые
действуют на волновую функцию. Запишем уравнение (4.16) в терминах квантовой механики
[24]
(4.18)
Волновую функцию в (4.18) выбираем в виде волны де Бройля, у которой и совпадают с
и для данной плоской волны той или иной природы (упругой или электромагнитной)
(4.19)
где - некоторая постоянная, которая определяется из условия нормировки волновой
функции. Нетрудно убедиться, что волновая функция (4.19) удовлетворяет уравнению (4.18),
если операторы в (4.18) имеют следующий вид
,
(4.20)
Подставляя эти операторы в уравнение (4.18), получим
. (4.21)
Это и есть уравнение Шрёдингера для любой плоской волны независимо от её природы.
Сравнивая (4.21) с (4.6) видим, что уравнение Шрёдингера для плоской волны можно
записать компактно ещё так
(4.22)
4.4. Статистическая интерпретация волновой функции для плоской волны
Отметим, что координаты , , в волновой функции есть координаты точки
, находящейся на волновой поверхности (уравнение (4.10)). По аналогии с
статистической интерпретацией волновой функции для частицы [17] дадим статистическую
интерпретацию волновой функции для плоской волны. А именно, будем считать, что
33
плотность вероятности обнаружить волновую поверхность плоской волны (плоскость в
(4.10)) в данной точке пространства и в данный момент времени , равна [24]
(4.23)
Поскольку вероятность нахождения фронта плоской волны во всей области существования
её (куба периодичности)
(4.24)
должна быть равна 1 , то условие нормировки волновой функции запишется так
(4.25)
Подставляя (4.19) в (4.25), получим
=
(4.26)
Таким образом, нормированная волновая функция имеет следующий вид
(4.27)
4.5. Квантовое пространство волновых векторов плоской волны
Как и в части 3 наложим на волновую функцию периодические граничные
условия
(4.28)
Согласно формулы Эйлера [10] волновую функцию (4.28) можно представить так
(4.29)
С учётом (4.29) граничные условия в (4.28) приводят к следующим уравнениям
(4.30)
где , , - квантовые числа, причём,
(4.31)
Введём систему прямоугольных координат , по осям которой будем откладывать
дискретные значения
представляют собой концы волновых векторов, выходящих из начала
,
,
. Получим также дискретное пространство, точки которого
координат . Назовём это дискретное трёхмерное пространство квантовым пространством
волновых векторов , так как последнее получено из квантовых представлений о плоской
34
волне. Выберем в этом квантовом пространстве волновых векторов прямоугольный
параллелепипед в начале координат со сторонами
,
,
, лежащими соответственно
на осях , , в их положительных направлениях. Очевидно, что его объём
(2π (4.32)
Откуда
(4.33)
Следует отметить, что понятия состояния частицы, плоской волны и соответствующей ей
квазичастицы можно ввести только после квантово- механического описания этих объектов.
Именно поэтому для них и были записаны уравнения Шрёдингера в (3.1), (4.21), (4.63).
4.6. Собственные функции операторов , ,
Представим волновую функцию в (4.27) в виде произведения следующих функций
(4.34)
где
exp
(4.35)
(4.36)
Подставляя (4.34) в уравнение (4.21), получим
(4.37)
Учитывая, что
(4.38)
получим
(4.39)
Из (4.39) следует по определению собственных функций оператора, что функции ,
, являются собственными функциями соответственно операторов
,
,
являются собственными значениями этих операторов. Можно показать,
,
,
, а
что и
(4.40)
35
т.е. волновые функции , , являются также собственными волновыми
функциями соответственно операторов , , . Тогда волновую функцию в (4.34)
можно представить так
(4.41)
где
(4.42)
(4.43)
(4.44)
(4.45)
Учитывая (4.17), (4.30) и (4.38) получим
(4.46)
4.7. Квантовое пространство состояний
плоской волны
Введём следующие операторы
(4.47)
Так как операторы отличаются соответственно от операторов , , только
коэффициентом
, то у них должны быть одни и те же собственные функции, т.е.
(4.48)
где - собственные значения операторов
. Собственные значения этих
операторов образуют три дискретных множества натуральных чисел
(4.49)
(4.50)
(4.51)
Возьмём прямоугольную систему координат и будем откладывать по её осям , ,
соответственно величины из множеств , ,
. Тогда мы получим трёхмерное
дискретное пространство, точки которого лежат в узлах кубической решётки с
периодом равным 1. Это пространство назовём квантовым пространством
состояний
плоской волны. Действительно, состояние определяется в квантовой механике её волновой
36
функцией
, а выбор этой собственной функции определяется именно квантовыми
числами , , . Выберем в этом пространстве прямоугольный параллелепипед с углом в
начале координат с рёбрами, выходящими из него и расположенными на осях , , в
их положительных направлениях. Тогда его объём будет
(4.52)
Очевидно, он равен числу квантовых состояний плоской волны [25].
4.8. Плоские волны и соответствующие им квазичастицы
В 1900 г. М. Планк предположил, что атомы излучают энергию лишь определёнными
порциями – квантами, причём энергия кванта пропорциональна частоте колебаний
ħ . (4.53)
Если Планк квантовал только энергию излучения, то А. Эйнштейн пошёл дальше: он
предложил дискретность самого светового излучения, рассматривая последнее как поток
квантов света, названных в 1929 г. Г.И. Льюисом фотонами. В 1930 г. И.Е. Тамм разработал
квантовую теорию рассеяния света в кристаллах, рассматривая упругие волны в кристалле
как совокупность упругих квантов, впоследствии названных Я. И. Френкелем фононами [25].
Наконец, Л. де Бройль в 1924 высказал идею о том, что каждой материальной частице с
импульсом соответствует плоская волна (волна де Бройля) с волновым вектором ,
причём
ħ (4.54)
Формулы (4.65), (4.66) отражают корпускулярно-волновой дуализм материи. Действительно,
справа в этих формулах находятся такие характеристики волны, как круговая частота и
волновой вектор . Слева же в этих формулах стоят характеристики соответствующих им
квазичастиц (как бы частиц), у которых энергия и импульс . Введём еще одну
характеристику для плоской волны и одну характеристику для соответствующей ей
квазичастицы: фазовую скорость плоской волны и массу квазичастицы [24]. Для этого
выражение в (4.54) запишем в скалярном виде
ħ (4.55)
В (4.55) скорость квазичастицы положена равной фазовой скорости плоской волны .
Уравнение (4.55) представляет связь массы квазичастицы с характеристиками
соответствующей ей плоской волны: фазовой скоростью и волновым числом . Правую
часть выражения (4.55) можно представить так
37
ħ ħ ħ (4.56)
Подставляя (4.56) в (4.55), получим
(4.57)
Выражение в (4.57) можно переписать ещё так
(4.58)
4.9. Уравнение Шрёдингера для квазичастицы
Заметим, что уравнение (4.58) содержит только характеристики квазичастицы.
Перепишем его так
(
(4.59)
или в терминах квантовой механики [24]
(
(4.60)
Волновую функцию, записанную в (4.27) через характеристики волны и , представим
теперь через характеристики квазичастицы согласно уравнениям (4.53) и (4.54)
exp[ h
–1
(4.61)
Нетрудно убедиться, что волновая функция в (4.61) удовлетворяет уравнению (4.60), если в
этом уравнении операторам придать следующий вид
ħ
– 1
, ħ
– 1
ħ
– 1
ħ
– 1
(4.62)
Подставляя эти операторы в (4.60), получим уравнение Шрёдингера для квазичастицы,
(4.63)
соответствующей данной плоской волне
ħ
– 1
4.10. Определение массы квазичастицы
Умножая обе части уравнения (4.46) на ħ, получим
ħ
38
(4.64)
С другой стороны согласно (4.58)
(
Из совпадения левых частей уравнений (4.64) и (4.65) следует, что
(4.66)
(4.65)
Из (4.66) видно, что масса квазичастицы
тем больше, чем больше квантовые числа
, , . Запишем ещё одну характеристику квазичастицы – модуль её квазиимпульса
(4.67)
В классической физике понятие квазичастицы, которая соответствует плоской волне
определённой природы, ввести невозможно. Действительно, полагая в формулах (4.65),
(4.66), (4.67) величину , получим
(4.68)
Запишем ещё одну характеристику плоской волны – волновое число
(4.69)
4.11. Связь энергии квазичастицы с фазовой скоростью соответствующей ей плоской
волны
Связь энергии квазичастицы с фазовой скоростью соответствующей ей плоской
волны дана в (4.57). Полагая в (4.57) , где - скорость плоской электромагнитной
волны в вакууме, получим связь между энергией фотона и фазовой скоростью плоской
электромагнитной волны [24]
(4.70)
Упругие волны бывают продольные и поперечные и распространяются в среде с различной
скоростью, поэтому имеет смысл ввести два типа фононов: «поперечные» и «продольные
фононы [26]. Полагая в (4.57) и , где и - фазовые скорости соответственно
продольной и поперечной упругих волн, получим
(4.71)
39
4.12. Число степеней свободы квазичастицы
Из определения волновой функции для плоской волны в (4.27) следует, что для неё
необходимо задать два вектора: радиус-вектор и волновой вектор . Задание этих векторов
определяет в пространстве волновую поверхность в (4.10). Таким образом, плоская волна
независимо от её природы имеет шесть степеней свободы .
Очевидно, это же число степеней свободы следует приписать и квазичастице, которая
соответствует данной плоской волне. Следовательно, фотон и два типа фононов имеют по
шесть степеней свободы. Это уже было показано в работе [27] из других соображений.
4.13. Переход от квантового описания плоской волны к квазиклассическому
Этот переход можно осуществить, полагая в (4.52) и (4.30)
(4.72)
Тогда получим
(4.73)
Величина в (4.85) представляет собой число квантовых состояний плоской волны с
волновым числом в объёме в случае квазиклассического приближения. Учитывая, что
в этом приближении величины и являются непрерывными, продифференцируем
выражение в (4.73). Получим
(4.74)
Величина представляет собой элементарное число квантовых состояний плоской
волны в объёме в квазиклассическом случае, если квантовое число её взято из интервала
, а величина волнового числа заключена в интервале . Соотношение
(4.74) было получено ещё ранее из других соображений в работе [27].
4.14. Переход от плоской волны к соответствующей ей квазичастице
В уравнении (4.74) не учтено число независимых поляризаций плоской волны . С
учётом этого это уравнение следует переписать так
(4.75)
Для плоской электромагнитной волны, имеющей две независимые поляризации, . То
же самое относится и к плоской упругой поперечной волне, у которой также две
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]