Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория открытых равновесных систем и её применение в физике. Монография
.pdf
где
(5.46)
(5.47)
Уравнение (5.46) выражает последний пятый интегральный закон равновесного излучения,
согласно которому объёмная плотность теплоёмкости равновесного фотонного газа
пропорциональна абсолютной температуре в третьей степени.
5.10. Первые спектральные законы равновесного излучения (законы смещения)
Для исследования спектральных характеристик равновесного излучения ,
, , , , как функций круговой частоты , введём безразмерную
переменную . Тогда получим [28]
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)
(5.52)
Условия нахождения максимумов-минимумов этих функций запишутся так
(5.53)
(5.54)
(5.55)
Условие (5.53) приводит к следующему трансцендентному уравнению относительно
(5.56)
Решая его подбором значений , получим
(5.57)
или
(5.58)
Уравнение (5.58) представляет собой закон, согласно которому максимум спектральной
плотности объёмной плотности числа фотонов при повышении абсолютной температуры
смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается
51
пропорциональной абсолютной температуре . Мы назовём этот закон первым
спектральным законом для спектральной плотности объёмной плотности числа фотонов
или законом смещения максимума спектральной плотности объёмной плотности числа
фотонов.
Так как функции и отличаются только коэффициентом, то условия в
(5.54) приводят к одному и тому же трансцендентному уравнению
(5.59)
Решая его, получим значения
(5.60)
Здесь индекс 2 соответствует спектральной функции , а индекс 3 соответствует
спектральной функции . Таким образом, мы имеем ещё два первых спектральных
закона
(5.61)
Один из них – первый закон для спектральной плотности внутренней энергии равновесного
фотонного газа. Нетрудно видеть, что это известный первый закон Вина (закон смещения
Вина) [8]. Согласно этому закону максимум спектральной плотности объёмной плотности
внутренней энергии равновесного фотонного газа при повышении абсолютной
температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается
пропорциональной абсолютной температуре .
Следующий спектральный закон в (5.61) относится к закону смещения минимума
спектральной плотности объёмной плотности свободной энергии равновесного фотонного
газа , так как согласно определению является отрицательной функцией.
Согласно этому закону минимум спектральной плотности объёмной плотности свободной
энергии равновесного фотонного газа при повышении абсолютной температуры
смещается в сторону больших частот . Причём, эта частота согласно (5.61)
пропорциональна абсолютной температуре . Мы назовём его первым законом смещения
минимума спектральной плотности объёмной плотности свободной энергии равновесного
фотонного газа.
Наконец, условия (5.55) поскольку функции и отличаются только
коэффициентом приводят к одному и тому же трансцендентному уравнению
(5.62)
Решая его, получим значения
(5.63)
52
Здесь индекс 4 относится к спектральной функции , а индекс 5 к спектральной
функции . Следовательно, мы опять имеем два первых спектральных закона
(5.64)
Один из законов относится к закону смещения максимума спектральной плотности объёмной
плотности энтропии равновесного фотонного газа при изменении температуры равновесного
излучения. Согласно этому закону максимум спектральной плотности объёмной плотности
энтропии равновесного фотонного газа при повышении температуры смещается в
сторону больших частот . При этом частота согласно (5.64) пропорциональна
абсолютной температуре . Мы назовём его первым законом для спектральной плотности
объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа или законом смещения
максимума спектральной плотности объёмной плотности энтропии равновесного фотонного
газа. Наконец, последний (пятый закон смещения) относится к закону смещения максимума
спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости равновесного фотонного газа
при изменении абсолютной температуры T. Согласно этому закону максимум
спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости при повышении
температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается
пропорциональной абсолютной температуре. Назовём этот закон первым спектральным
законом для спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости равновесного
фотонного газа. Отношения частот, на которые приходится максимумы - минимумы
спектральных функций , , , , , друг к другу
являются универсальными константами, которые не зависят от природы вещества, с которым
фотонный газ находится в равновесии
(5.65)
5.11. Вторые спектральные законы равновесного излучения
Подставляя соответствующие значения в уравнения (5.33),
(5.36), (5.39), (5.43), (5.45), получим максимальные или минимальные значения функций
, , , , , которые назовём вторыми спектральными законами.
Максимальная спектральная плотность объёмной плотности числа фотонов в равновесном
фотонном газе пропорциональна абсолютной температуре во второй степени
(5.66)
53
где
(5.67)
(второй спектральный закон для спектральной плотности объёмной плотности числа
фотонов в равновесном фотонном газе).
Максимальная спектральная плотность объёмной плотности внутренней энергии
равновесного фотонного газа пропорциональна абсолютной температуре в третьей степени
(5.68)
где
(5.69)
(второй спектральный закон для спектральной плотности объёмной плотности внутренней
энергии равновесного фотонного газа).
Максимальная спектральная плотность объёмной плотности свободной энергии
пропорциональна абсолютной температуре в третьей степени
(5.70)
где
(5.71)
(второй спектральный закон для спектральной плотности объёмной плотности свободной
энергии равновесного фотонного газа).
Максимальная спектральная плотность объёмной плотности энтропии равновесного
фотонного газа пропорциональна абсолютной температуре во второй степени
(5.72)
где
(5.73)
(второй спектральный закон для спектральной плотности объёмной плотности энтропии
равновесного фотонного газа).
Максимальная спектральная плотность объёмной плотности теплоёмкости
пропорциональна абсолютной температуре во второй степени
(5.74)
где
(5.75)
(второй спектральный закон для спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости
равновесного фотонного газа). Уравнение (5.68) выражает не что иное как второй закон Вина
[8].
54
5.12. Средняя энергия фотона
Согласно (5.12) и (5.14) среднее значение энергии фотона
=
(5.76)
Если бы фотон подчинялся статистике Максвелла-Больцмана, то выполнялась бы и теорема о
равномерном распределении кинетической энергии квазичастицы по её степеням свободы:
на каждую степень свободы приходилась бы энергия равная
, то уравнение (5.76) приняло бы следующий вид
(5.77)
. Так как для фотона
55
6. ТВЁРДЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ФОНОННОГО ГАЗА
6.1. Уравнения движения упругой среды
Уравнения движения упругой среды в прямоугольной системе координат [29] имеют
следующий вид
=
, (6.1)
где - плотность упругой среды, - компоненты вектора смещения точки среды,
- компоненты тензора напряжений, ( j = 1, 2, 3 ) прямоугольные координаты , , . По
дважды повторяющемуся индексу производится суммирование. Введём компоненты тензора
деформации следующим образом [29]
+
+
(6.2)
Обычно деформации в твёрдом теле считаются малыми. Тогда в (6.2) можно пренебречь
квадратичными членами как величинами второго порядка малости. В этом приближении
+
(6.3)
6.2. Обобщённый закон Гука
Линейный закон связи между напряжениями и деформациями, вызванными ими,
называется обобщённым законом Гука. Математически в тензорном виде он записывается
так [29]
Тензор с постоянными компонентами
называют тензором модулей упругости или
(6.4)
тензором упругих констант. Из условий симметрии тензора напряжений следует
симметрия модулей упругости
(6.5)
На основании (6.5) общее число компонент тензора упругости равно 36. В изотропном
твёрдом теле значения упругих констант не должны зависеть от выбора прямоугольных осей
и поэтому [29] различных коэффициентов только два – ,
(6.6)
(6.7)
56
(6.8)
Остальные 24 коэффициента равны нулю. Здесь и упругие постоянные Ламе,
которые полностью определяют упругие свойства изотропных твёрдых тел. Величина в
теории упругости называется модулем сдвига. Тогда уравнения обобщённого закона Гука
принимают следующий вид
(6.9)
где - символ Кронекера: , если , и , если , а величина
(6.10)
называется дилатацией или относительным объёмным расширением.
6.3. Продольные и поперечные упругие волны
Подставляя из (6.10) в (6.1), получим уравнения движения упругой изотропной
среды в перемещениях [29] (дифференциальные уравнения Ламе)
= (
(6.11)
где , а
- (6.12)
оператор Пуассона. Уравнения движения упругой среды в (6.11) описывают
распространение в ней двух типов волн. Дифференцируя уравнение (6.11) по
и
складывая их, получим
= ( (6.13)
Это волновое уравнение показывает, что относительное объёмное расширение
распространяется в упругой среде со скоростью
(6.14)
Такие упругие волны называются продольными упругими волнами (по старой терминологии
волнами «расширения»). С другой стороны, дифференцируя (6.11), в котором , по
, а в уравнении (6.11), в котором , по , и вычитая из одного другое, получим
= (6.15)
57
где
–
(6.16)
Здесь - компонента вращения вектора смещения относительно оси . Аналогично
уравнению (6.16) можно получить для и
= (6.17)
где , а
–
–
(6.18)
Величины , , представляют собой компоненты вектора вращения смещения
(6.19)
Таким образом, уравнения (6.15) и (5.17) представляют собой уравнения распространения
вихря со скоростью
(6.20)
т.е. сдвиговой или поперечной волны в направлении оси . Из последнего следует, что
вектор смещения вращается в плоскости так, что его конец описывает окружность.
Так получается потому, что поперечная упругая волна имеет две независимые поляризации,
в результате сложения которых [22] и получаем движение вектора смещения по круговой
линии, навитой на направление распространения этих двух поперечных волн (винтовая
линия). Очевидно, в изотропной упругой среде могут распространяться волны двух типов:
продольные и поперечные. В продольных волнах движение частиц среды параллельно
направлению их распространения, а деформация представляет собой комбинацию
всестороннего сжатия (расширения) и чистого сдвига. В поперечной же волне движение
частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны, а деформация
является чистым сдвигом. Кроме того, поперечные волны имеют две независимые
поляризации. В анизотропных средах (кристаллах) чисто продольные и чисто поперечные
волны могут распространяться только в определённых направлениях, совпадающих с
направлениями кристаллографических осей. В общем случае в кристалле по любому
направлению распространяются три волны: одна квазипродольная и две квазипоперечных, в
которых преобладают соответственно продольные и поперечные смещения частиц [30]. В
дальнейшем как кристаллические, так и аморфные тела, мы будем считать изотропными
средами.
58
6.4. Подсчёт числа упругих плоских волн в объёме твёрдого тела, имеющего структуру
Для твёрдых изотропных тел, не имеющих структуры, число различных плоских
упругих волн (упругих волн с различными квантовыми числами ) в объёме согласно
(4.73) равно
(6.21)
На самом деле, кристаллические и аморфные тела состоят из частиц. В кристаллических
телах эти частицы расположены в узлах кристаллической решётки на определённом
расстоянии друг от друга. В аморфных телах эти частицы расположены беспорядочно друг
относительно друга. Как для аморфных, так и для кристаллических твёрдых тел можно
ввести понятие среднего расстояния между частицами. Определим его следующим
образом
где - число частиц в объёме . Учитывая, что
(6.22)
, уравнение (6.21) можно
переписать так
(6.23)
Очевидно, что упругие волны, длина волны которых меньше среднего расстояния
между частицами, вообще не могут распространяться в твёрдых телах. Ясно, что
наименьшая длина волны
должна быть, по крайней мере, равна среднему расстоянию
между частицами , т.е.
(6.24)
Из (6.22) и (6.24) следует, что
=
(6.25)
Таким образом, максимальное число упругих плоских волн в данном объёме изотропного
твёрдого тела должно быть равно числу частиц в данном объёме, из которых состоит твёрдое
тело [26].
6.5. Идеальный фононный газ
По аналогии с электромагнитным излучением, для которого введена квазичастица
(квант электромагнитного излучения) фотон, для упругого излучения вводится квазичастица
(квант упругого излучения) фонон. Таким образом, плоской упругой волне с волновым
59
вектором соответствует квазичастица с квазиимпульсом . Энергия этой
квазичастицы ( - скорость распространения упругой волны в изотропном
твёрдом теле). Так как упругие волны бывают продольные и поперечные, то имеет смысл
говорить о двух видах фононов, которые формально можно назвать «продольными» и
«поперечными». Упростим задачу: будем считать, что все фононы имеют одну и ту же
скорость, которую определим как среднюю скорость скорости «продольного» и
скорости «поперечного» фононов [26]
(6.26)
В (6.26) учтено, что у поперечной волны две независимые поляризации. Вполне очевидно,
что изучение свойств твёрдого тела сводится к изучению свойств идеального фононного
газа. Фононы являются бозонами – квазичастицами, которые подчиняются статистике БозеЭйнштейна.
6.6. Определение числа квантовых состояний «продольного» и «поперечного» фононов
Согласно (4.73) число квантовых состояний плоской волны одной природы с учётом
того, что и можно записать так
(6.27)
На самом деле в твёрдых телах существуют два типа упругих плоских волн: поперечные и
продольные, скорости которых различны (соответственно и
), различны и их
поляризации и . Учитывая их поляризации, выражение (6.27) можно
переписать так
(6.28)
(6.29)
Здесь . Сложив эти уравнения, получим
(6.30)
Будем считать, что вместо этих двух видов плоских упругих волн в твёрдом теле
распространяются плоские волны только одной природы, скорость которых равна
(уравнение (6.26)). Тогда полагая в (6.30) и получим
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]