Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в экономической безопасности. Учебное пособие
.pdf
Xi (варианты или верхние границы интервалов)
Y
i
(частоты,
частости или
плотность
распределения)
Y
(вариация
признака)
0
X
(значение признака)
Рисунок 4.1 ‒ Полигон распределения
Гистограмма используется для построения интервального вари-
ационного ряда. Для этого на оси Х откладывают нижние границы интервалов, а на оси Y – частоты, частости или плотность распределения. Пример построения вариационного ряда с неравными интервалами представлен на рисунке 4.2.
Рисунок 4.2 ‒ Гистограмма вариационного ряда с неравными интервалами
Кумулята, или кумулятивная кривая, строится и для дискретных, и для интервальных вариационных рядов на основе накопленных
61
частот (накопленных частостей). При этом на оси Х откладывают ва-
Х
i
Х1 Х2 Х3 Х
n
0
(варианты или верхние границы интервалов)
Y
i
(накопленные частоты,
частости или плотность
распределения)
Y
i
0
P1
P2
Pn
100 Xi
q
1
q
2
q
n
100
Кумулятивные доли
значений признака
Кривая Лоренца
Линия равномерного
распределения
рианты или верхние границы интервалов, а на оси Y ‒ соответствующие накопленные частоты (или частости). Полученные точки соединяют для непрерывного признака плавной кривой (рисунок 4.3).
Огива также строится и для дискретных, и для интервальных ва-
риационных рядов на основе накопленных частот (накопленных частостей). Но значения признака откладывают на оси Y, а накопленные
частоты (или частости) ‒ на оси Х.
Рисунок 4.3 ‒ Кумулятивная кривая
(накопленные частоты, частости или плотность распределения)
Рисунок 4.4 ‒ График Лоренца
График Лоренца используется при исследовании вариационных
рядов с позиции параллельного изменения нарастающих долей еди-
62
ниц совокупности и нарастающих долей значений признака в общем
)()(
11
1
10
kkkk
kк
kк
mmmm
mm
hМ
объеме, т.е. при изучении концентрации признака в группах совокупности. При построении такого графика по оси абсцисс откладывают
накопленные частости, характеризующие распределение единиц совокупности (рi), по оси ординат ‒ кумулятивные доли значений признака в общем объеме (qi) (рисунок 4.4).
4.2. Показатели среднего уровня вариационного ряда
При изучении особенностей статистического распределения
прежде всего следует определить его центральное значение, т.е. средний уровень. Для характеристики центра распределения используют
средние величины (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая). Форму средней выбирают исходя из экономической сущности осредняемого признака.
Кроме этих величин, важнейшей характеристикой центра распределения являются мода и медиана.
Мода – это значение признака, наиболее часто встречающееся
в вариационном ряду. Мода представляет собой наиболее характерную
для ряда распределения величину, вокруг которой концентрируется
большая часть признаков. При изменении распределения в концах вариационного ряда мода не меняется. Поэтому мода обладает определенной устойчивостью к вариационным признакам и наиболее часто используется при изучении рядов с неопределенными границами.
Мода для дискретного ряда находится непосредственно по
определению.
Мода для интервального ряда с равными интервалами находит-
ся на основе модального интервала Х
– Хк, которому соответствует
к–1
максимальная частота mк или частость wк. Значение моды внутри модального интервала определяется по формуле:
где Х
– нижняя граница модального интервала; hк – длина модального
к–1
интервала; m
mk, m
k–1,
– частота интервала, соответственно предше-
k+1
, (4.1)
ствующего модальному, модального и следующего за модальным.
Мода для ряда с неравными интервалами предполагает определение модального интервала, которому соответствует наибольшая
плотность распределения. В этом случае мода представляет собой
значение признака, которому соответствует максимальная плотность
63
распределения. Поэтому в формуле частоты заменяются на плотности
)()(
11
1
10
kkkk
kк
kк
уууу
уу
hМ
i
i
m
2
1
i
i
w
2
1
распределения:
. (4.2)
Мода может определяться графическим методом с помощью
гистограммы распределения. Для этого выбирают самый высокий
прямоугольник, который является модальным. Затем верхнюю правую вершину модального прямоугольника соединяют с верхней правой вершиной предшествующего прямоугольника, а верхнюю левую
вершину модального прямоугольника ‒ с верхней левой вершиной
последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих отрезков и будет модой распределения (рисунок 4.5).
Рисунок 4.5 ‒ Графический метод определения моды
Медиана ‒ это такое значение признака, которое приходится
на середину ранжированного ряда и делит ряд на две равные части:
одна часть имеет значение признака больше медианы, а другая ‒
меньше. Медиана представляет собой структурную, или порядковую
среднюю, не зависящую от крайних значений признака.
Медиана в дискретном ряду находится на основе накопленных
частот.
Если в ряду имеется четное число единиц, то на середину ряда
приходится две единицы совокупности. Следовательно, при четном
числе членов ряда номер медианы определяется:
64
, или
.
Номер медианы для ряда с нечетным числом членов
2
1
N
i
i
m
2
1
i
i
w
2
1
k
k
i
i
ке
m
Fm
hМ
1
к1
2
1
i
i
m
2
1
i
i
w
2
1
40
80
120
160
mi
0
200
600
400
800
100
Xi Ме
Медиана для интервального вариационного ряда определяется
в следующей последовательности:
1) находят медианный интервал. Для этого используют накоп-
.
ленные частоты (или частости). Номер медианы
2)
где Х
ного интервала; F
– нижняя граница медианного интервала; hк – длина медиан-
к–1
– накопленная частота, предшествующая меди-
k–1
, (4.3)
, или
.
анному интервалу; Mк – частота медианного интервала.
Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее. Следовательно, медиана является
лучшей характеристикой центральной тенденции в тех случаях, когда
концы распределений расплывчаты (например, границы крайних интервалов открыты) или в ряду распределения имеются чрезмерно
большие или малые значения.
Медиану можно определить графическим методом на основе кумуляты. Для этого из точки на шкале накопленных частот (частостей),
соответствующей
(
), или 50 %, проводится прямая, парал-
лельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на
ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения и является медианой (рисунок 4.6).
Рисунок 4.6 ‒ Графический метод определения медианы
65
Анализируя вариационные ряды, после нахождения центра
minmax
R
n
d
i
i
i
i
i
ii
m
m
d
распределения, необходимо провести оценку рассеяния значений
признака.
Приблизительная оценка рассеяния может проводиться с помо-
щью размаха вариации:
где Х
mах
и Х
‒ наибольшее и наименьшее значения варьирующего
min
, (4.4)
признака.
Этот показатель позволяет определить амплитуду колебаний
значений признака (например, каковы колебания цены на данный
товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок
времени).
Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может
сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты
(когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих
случаях размах вариации дает искаженную амплитуду колебания против нормальных ее размеров. Поэтому следует очистить совокупность
от аномальных наблюдений, прежде чем определять размах вариации.
Для оценки колеблемости значений признака относительно
средней используются характеристики рассеяния. Они различаются
выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее
отдельных вариантов. К таким показателям относятся:
– среднее линейное отклонение;
– дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации.
Среднее линейное отклонение ‒ это средняя арифметическая
из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их
средней величины:
для несгруппированных данных:
, (4.5)
для сгруппированных данных:
, (4.6)
66
где n – количество значений признака; хi ‒ значение признака в дис-
n
D
i
i
2
i
i
i
i
i
m
m
2
D
222
n
i
i
2
i
i
i
i
i
m
m
2
кретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;
mi ‒ частота признака.
Среднее линейное отклонение характеризует абсолютную меру
вариации.
Мера вариации может рассчитываться на основе дисперсии, ко-
торая определяется по формуле:
для несгруппированных данных:
, (4.7)
для сгруппированных данных:
. (4.8)
Мера вариации на основе дисперсии может определяться по мо-
дификационной формуле:
. (4.9)
Недостатками дисперсии являются громоздкость вычислений
и измерение полученных результатов в квадратных единицах, что
может давать искаженное представление об отклонениях. Поэтому
рекомендуется для оценки вариации признака на основе дисперсии
рассчитывать среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько
в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения, и исчисляется как квадратный корень из дисперсии:
для несгруппированных данных:
, (4.10)
для сгруппированных данных:
. (4.11)
67
Результаты расчетов данного показателя показывают нормиро-
%100
d
V
%100V
х
i wi
1
p
0
q
p
qp
2
ванное или стандартизированное отклонение.
Коэффициент вариации V является наиболее универсальным
показателем для характеристики отклонений в вариационных рядах,
т. к. дает относительную оценку вариации, что позволяет сравнивать
степень вариации разных признаков (например, прибыль предприятий
разных видов деятельности; ВРП по субъектам РФ). Коэффициент вариации рассчитывается по формулам:
или
(Х 0). (4.12)
Преимуществом коэффициента вариации является то, что он
имеет шкалу, отражающую степень отклонения признака от средней
величины. Если коэффициент вариации до 10 % ‒ степень отклонения
слабая, от 10 до 25 % ‒ средняя, свыше 25 % ‒ высокая.
Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым
свойственны лишь два взаимоисключающих значения. Такие признаки называются альтернативными. Им придается соответственно два
количественных значения: 1 и 0. Частостью варианта 1 (она обозначается р) является доля единиц, обладающих данным признаком, в общей численности совокупности. Разность (1 – р = q) является частостью варианта 0. Таким образом:
Средняя арифметическая альтернативного признака:
. (4.13)
Дисперсия альтернативного признака:
. (4.14)
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. р = q,
то дисперсия достигает своего максимума рq = 0,25.
Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части, могут
быть:
1. Межгрупповые.
2. Внутригрупповые.
Вариация признака в целом по совокупности зависит как от вариации признака внутри каждой группы, так и от вариации групповых
68
средних, т. е. от межгрупповой вариации признака. Поэтому общую
2
общ
i
k
i
ii
N
f
1
1
m
,,,
21
N
N
m
j
jj
общ
1
.
11
k
i
i
m
j
j
nNN
N
n
iобщi
общ
2
2
N
N
jобщj
2
2
j
2
1
2
2
j
j
k
i
ij
i
j
N
N
дисперсию
, характеризующую вариацию признака под влияни-
ем всех факторов, можно получить на основе ее составляющих ‒ межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.
Общую дисперсию для совокупности, разбитой на т однородных групп по одному признаку-фактору, определяют в следующей
последовательности:
1. Вычисляют т частных средних, т. е. среднее значение при-
знака в каждой группе:
. (4.15)
2. Определяют общую среднюю на основе частных средних
:
, (4.16)
где
3. Рассчитывают общую дисперсию совокупности:
. (4.17)
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех
условий (факторов), действующих в данной совокупности.
Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенно-
го в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая
исчисляется по отклонениям групповых средних от общей средней:
. (4.18)
Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности от-
ражает частная групповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней
:
где Nij ‒ частоты от i = 1 k в каждой j-й группе.
, (4.19)
69
Так как изучаемая совокупность разбита на несколько групп,
N
N
m
j
jj
41
2
2
222
общ
2
2
2
общ
эмп
2
2
общ
эмп
то для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выра-
жать внутригрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя
арифметическая из групповых дисперсий:
. (4.20)
Между межгрупповой и внутригрупповой дисперсиями существует взаимосвязь: общая дисперсия равна сумме дисперсий внутригрупповой (средней из групповых дисперсий) и межгрупповой (дисперсии частных средних), т. е.
. (4.21)
Это равенство называется правилом сложения дисперсий (пра-
вилом Лексиса).
Таким образом, первое слагаемое измеряет вариацию внутри
частей совокупности, а второе – вариацию между средними
этих частей.
Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость
результатов от определяющих факторов с помощью соотношения
межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эм-
пирическим коэффициентом детерминации и показывает, какая
доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную
вариацией признака, положенного в основу группировки:
. (4.22)
Используется правило сложения дисперсий и для определения
степени связи между изучаемыми признаками. Для этого необходимо
найти эмпирическое корреляционное отношение, которое показывает, насколько тесно связаны исследуемое явление и группировочный
признак:
. (4.23)
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1
(таблица 4.1).
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]