Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
n
±
∑
∑
d
n
Группы работ-
ников по зара-
ботной плате, р.
Число ра-
ботников f,
% к итогу
Середина
интервала
x
x – c
(c = 190)
)20( =−d
d
cx
f
d
cx −
140–160 10 150 –40 –2 –20
160–180 15 170 –20 –1 –15
180–200 45 190 0 0 0
200–220 20 210 20 1 20
220–240 10 230 40 2 20
Итого 100 х х х 5
−
100
1911902005,0 =+⋅=+⋅
′
= cdxx
−
3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений при-
знаков от средней арифметической есть наименьшее число:
∑
2
=−
xx min)(
i
i
или
∑
i
2
min)(
=−
fxx
ii
.
Эти первые три свойства выражают основные черты средней
арифметической. Следующие свойства можно рассматривать как
вычислительные, так как они имеют прикладное значение.
4. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянное
число А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные
изменения:
Ax
)(
i
i
Ax
±=
или
i
∑
)(
fAx
±
ii
Ax
±=
f
i
i
.
5. Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя величина уменьшится в d раз:
x
i
∑
d
i
x
.
=
6. Если все веса разделить на какое-либо постоянное число d,
то средняя величина не изменится:
f
i
x
∑
i
d
i
∑
i
x
=
f
.
i
d
Задачу из табл. 6.6 можно решить, используя математические
свойства средней арифметической. Для вычисления средней сначала
уменьшают варианты признака на одно и то же число, затем полученные величины уменьшают в одно и то же число раз и вычисляют
среднюю величину из них, а в полученный результат вносят поправки, но в обратном порядке. Проделаем это по данным, представленным в табл. 6.7.
80 81
Группы работ-
ников по зара-
ботной плате, р.
Число ра-
ботников f,
% к итогу
Середина
интервала
x
x – c
(c = 190)
)20( =−d
d
cx
f
d
cx −
140–160 10 150 –40 –2 –20
160–180 15 170 –20 –1 –15
180–200 45 190 0 0 0
200–220 20 210 20 1 20
220–240 10 230 40 2 20
Итого 100 х х х 5
−
100
1911902005,0 =+⋅=+⋅
′
= cdxx
−
Глава 6. Статистические показатели и величины
Расчет средней заработной платы работников фирмы
Условная средняя:
∑
d
′
=
x
∑
;
f
5
==′x
.05,0
cx
f
Теперь, чтобы получить действительную среднюю, надо учесть
введенные ранее поправки:
.
Таблица 6.7
Объединив весь процесс расчета, получим формулу
cx
f
∑
∑
d
f
x +⋅
=
.cd
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметичес-
кая, может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого признака равны, то используют среднюю гармоническую простую
N
x
=
∑
i
.
1
x
i
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
+
i
Число покупок,
шт.
Доход от продажи,
долл.
Стоимость товара,
долл.
Страна
f fx x
1 2 3
Литва 140 20 580 147
Латвия 100 14 500 145
Эстония 65 10 075 155
Итого 305 45 155 –
65100140
++
i
∑
Пример. Необходимо вычислить среднюю скорость движения
двух автомобилей, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первый – со скоростью 100 км/ч, второй – 90 км/ч. Применяя
метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
N
x
∑
==
1
x
i
i
1
100
11
1
+
90
2
=
10090
+
9000
00018
190
==
).км/ч(7,94
На практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная
n
fx
∑
ii
i
1
=
=
x
n
∑
i
=
.
fx
ii
x
1
Пример. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимается один работник. В первую половину дня
(первые 5 ч) на обработку одного заказа он затрачивает 20 мин, во
вторую половину (3 ч) – 30 мин. Каковы средние затраты времени
на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени
равна 8 ч?
x
53
3
5
5,0
3,0
.35,0
Среднее время, потраченное на обработку одного заказа, составляет 0,35 ч.
Рассмотрим процедуру выбора формул для расчета средних величин. Пусть требуется определить среднюю стоимость туристической путевки в Прибалтику по данным табл. 6.8.
82 83
Число покупок,
шт.
Доход от продажи,
долл.
Стоимость товара,
долл.
Страна
f fx x
1 2 3
Литва 140 20 580 147
Латвия 100 14 500 145
Эстония 65 10 075 155
Итого 305 45 155 –
65100140
++
i
∑
Глава 6. Статистические показатели и величины
Таблица 6.8
Данные об объеме продаж туристических путевок за месяц
1-й вариант расчета средней
Средняя стоимость товара – это отношение общего дохода ко
всему числу проданных товаров (покупок), т. е.
45 155 : 305 = 148 долл.
2-й вариант
Предположим, что мы располагаем только данными о числе по-
купок по каждой республике (гр. 1) и стоимости товара (гр. 3).
Следовательно, известно значение знаменателя и неизвестно
значение числителя, но его можно рассчитать. Для этого стоимость
товара в каждой республике необходимо умножить на количество
проданных товаров в каждой республике. Таким образом получим:
65155100145140147
=x
⋅+⋅+⋅
В данном случае единственно возможным способом вычисления
средней оказалось применение формулы средней арифметической
fx
ii
∑
.
f
=
x
3-й вариант
Предположим, что нам известны доход (гр. 2) и стоимость товара (гр. 3), т. е. известно значение числителя, но неизвестно значение
знаменателя исходного соотношения. Их можно найти по имеющимся данным. Для этого доход, полученный от продажи, надо поделить
=
148
долл.
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
n
n
на стоимость товара (по каждой республике в отдельности), а затем
соотнести суммы дохода и числа покупок.
580 20
:)075 10500 14580 20( =
147
500 14
145
075 10
155
++++=x
148
долл.
Расчет произведен по формуле средней гармонической
n
fx
∑
ii
=
1
i
x
=
∑
i
.
n
fx
ii
x
=
1
i
Таким образом, располагая различным набором данных, мы получили одинаковое значение средней величины – 148 долл., так как
всякий раз определялось среднее значение одного и того же показателя, за одно и то же время, для одних и тех же объектов. Расчет по
формуле средней гармонической взвешенной избавляет от предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.
Средняя геометрическая
При применении средней геометрической значения признака
представляют относительные величины динамики, построенные
в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню.
В данном случае средняя величина характеризует средний коэффициент роста. Эта средняя величина рассчитывается как корень степени n из произведения:
n
=
для несгруппированного ряда;
xxxx ...
n
21
f
∑
геом
i
=1
i
ff
21
...
21
для сгруппированного ряда.
f
n
хххx
⋅⋅⋅=
n
Средняя геометрическая используется для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значения
признака. Она используется как средняя из отношений или в рядах
распределения, представленных в виде геометрической прогрессии.
84 85
n
n
Глава 6. Статистические показатели и величины
Ею удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным
разностям, а отношениям двух чисел. Чаще всего она употребляется,
когда требуется определить среднее изменение некоторой величины
за ряд моментов времени, для которых даны относительные изменения величины за каждый промежуток времени по отношению к значению величины, достигнутому к концу предыдущего промежутка.
Средняя квадратичная величина
n
2
x
∑
i
i
==1
x
используется для измерения степени изменения значений признака
вокруг средней арифметической в рядах распределения.
Кроме перечисленных существуют и другие средние величины,
например средняя кубическая
n
3
x
∑
i
3
1
i
=
=
x
.
Выбор конкретной формулы средней зависит от поставленной
задачи, располагаемых исходных данных и вида усредняемого признака.
6.4.2. Мода и медиана. Структурные средние величины
Основной характеристикой центра распределения является средняя величина, опирающаяся на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев средняя величина должна быть дополнена и даже заменена модой или медианой.
Мода – это значение признака, наиболее часто встречающегося
в данном ряду распределения, т. е. имеющего наибольшую численность в ряду распределения.
Медиана – это значение признака у той единицы наблюдения,
которая занимает в ранжированной (упорядоченной) последовательности этих единиц серединное значение.
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
Территория
Среднедушевой
доход, р./мес.
Медианный
доход, р./мес.
Модальный
доход, р./мес.
Санкт-Петербург 27 399 19 464 9822
Ленинградская обл. 17 283 13 494 8225
Москва 48 343 31 365 1320
Число детей в семье 0 1 2 3 4 5
Число семей, тыс. 15 25 20 15 10 5
−
Например, показатель среднего дохода, вычисленный как средняя
величина, очень чувствителен к увеличению или уменьшению доли
высокодоходных или низкодоходных групп населения. В статистике
большинства развитых стран для характеристики общего уровня
доходов приводится не средний, а медианный уровень, т. е. уровень,
выше и ниже которого получает доход одинаковое число работников.
Еще одной характеристикой, применяемой при исследовании
доходов, является мода, представляющая собой наиболее распространенный уровень дохода.
Отличие модального уровня доходов от среднего уровня заключается в том, что он характеризует действительный доход «среднего»
человека, а не средний доход абстрактного человека.
Средний доход превосходит медианный и модальный, причем
его рост происходит, в основном, за счет увеличения доли лиц, имеющих высокие доходы, т. е. использование показателя среднего дохода приводит к существенному завышению уровня доходов основной массы населения и в значительной мере скрывает процесс их
дифференциации. Значение модального дохода тяготеет к низкодоходным группам населения и отклоняется от медианного дохода
в меньшую сторону. Приведем в качестве примера показатели дохода
населения за 2012 год по Санкт-Петербургу, Ленинградской области
и Москве (табл. 6.9).
Таблица 6.9
Распределение доходов населения
Примечание. Данные с сайта http://www.gks.ru/ Федеральной службы
государственной статистики.
Мода применяется при изучении спроса населения на товары
широкого потребления (например, на обувь, одежду и т. д.), когда интерес представляет определение модального размера, пользующегося наибольшим спросом.
86 87
Число детей в семье 0 1 2 3 4 5
Число семей, тыс. 15 25 20 15 10 5
−
Глава 6. Статистические показатели и величины
Мода, в зависимости от вида ряда (дискретного или интерваль-
ного), находится по-разному.
В дискретном ряду она определяется визуально, т. е. отыскивается значение признака, имеющее численность (в абсолютном или
относительном выражении) большую, чем любое другое его значение. Это и есть мода. Если несколько значений признака имеют одинаковую, наибольшую по сравнению с другими, численность, то это
означает, что в ряду не одна, а несколько мод, например две. Ряд
с двумя модами называют двумодальным (бимодальным). А если их
больше двух, ряд называют полимодальным. Если все значения ряда
имеют одинаковую численность, то этот ряд не имеет моды.
Пример. Требуется определить моду по данным о распределе-
нии семей региона по числу детей (табл. 6.10).
Таблица 6.10
Распределение семей по числу детей
Просматривая частоты ряда (число семей), отметим, что наибольшая частота – 25. Эта частота соответствует семьям с одним ребенком. Таким образом, мода указывает, что в регионе наиболее часто встречаются однодетные семьи.
Вычисление моды для интервального вариационного ряда происходит в два этапа:
сначала определяется модальный интервал (визуально по
максимальной частоте);
затем – значение модальной величины признака по формуле
ff
1
−
Mo
∆+=
x
0
mm
)()(
−+−
ffff
11
+−
mmmm
где Мо – мода; – величина модального интервала (разность между
верхней и нижней границами); x
тервала; f
тость); f
f
– численность интервала, следующего за модальным.
m+1
– численность модального интервала (частота или час-
m
– численность интервала, предшествующего модальному;
m–1
– нижняя граница модального ин-
0
,
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
Число фотографий
в день, шт.
40–44 44–48 48–52 52–56 56–60 Итого
Число работников 12 28 36 16 8 100
⋅
−
Номер 1 2 3 4 5
Возраст, лет 18 19 20 21 22
2
2
+
+
2
+
2
=
Пример. По данным о распределении 100 фотографов по днев-
ной выработке определить моду (иначе – модальное значение) дневного числа фотографий у данной совокупности работников (табл. 6.11).
Таблица 6.11
Распределение объема услуг фотографов
Определим модальный интервал. Наибольшая численность рав-
на 36 и соответствует интервалу 48–52. Значение моды
+=
448Mo ≅=
2836
−+−
48
)1636()2836(
84
+=
28
4914,49
шт..
Мода интервального ряда графически определяется по гистограмме. Для этого правая вершина модального прямоугольника соединяется прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левая вершина модального прямоугольника – с левым верхним
углом последующего прямоугольника (рис. 6.1). Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
40
)
Частота (частость
35
30
25
20
15
10
5
0
28
12
123456
40–44 44–48 48–52 52–56 56–60
36
16
8
Мо
Рис. 6.1. Графическое определение моды в равноинтервальном ряду
88 89
Номер 1 2 3 4 5
Возраст, лет 18 19 20 21 22
2
2
+
+
2
+
2
Глава 6. Статистические показатели и величины
Медиана, как и мода, по-разному определяется для дискретного
и интервального ряда, что проиллюстрируем приведенными ниже
примерами.
Пример. Известен возраст пяти молодых людей. Запишем в виде
ряда их номера в порядке увеличения возраста. Требуется найти медиану (медианное значение) возраста этой группы (табл. 6.12).
Таблица 6.12
Распределение пяти молодых людей по возрасту
Медиана есть срединное значение признака, т. е. значение признака у единицы совокупности, находящейся в середине ряда. В середине ряда – номер 3. Следовательно, возраст этого человека и есть
медианный возраст или, кратко, медиана (Ме). Она равна 20 годам.
Обозначив номер единицы совокупности, находящейся в середине
ряда, через
, а численность ряда через n, определим:
N
Me
n
1
=
N
Мe
15
.3
=
=
Добавим к ряду номер и возраст еще одного человека: номер 6,
23 года. Нечетный ряд превратился в четный, и в его середине находятся два номера: 3 и 4. В таком случае за медиану принимается:
средняя величина из значений признака у единиц совокупности, находящихся в середине ряда, если признак (возраст) считается непрерывной величиной. В нашем примере: 3 – 20 лет; 4– 21 год;
Ме = 20,5;
любое значение признака из двух близлежащих, если признак считается дискретным. В нашем примере выбор осуществляется из № 3 – 20 лет или № 4 – 21 год, например, принимаем Ме = 20.
Порядковый номер единицы наблюдения, соответствующей ме-
диане, можно формально определить следующим образом:
1
n
для совокупности с нечетным числом единиц
,
где n – число единиц в данной совокупности,
;
x
1Mе+=n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]