Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
2
2
+
2
≅
Число детей в семье 1 2 3 4 5 6 Итого
Число семей 10 40 30 10 7 14 101
2
+
3Mе =
−
Число фотографий
в день, шт.
Число фотографов,
% к итогу
Накопленные
итоги
40–44 12 12
44–48 28 40
48–52 36 76
52–56 16 92
56–60 8 100
Итого 100 х
2
для совокупности с четным числом единиц наблюдения невозможно установить единую единицу, занимающую среднее положение. Поэтому появляется относительный «центр»
xx
nn
;2+
1
.
Mе
=
nn
122+
.
В том случае, когда число единиц наблюдения совокупности
достаточно велико и значение признака не подвержено резким колебаниям, возможен упрощенный расчет медианы для второй ситуации. Тогда
Mеnx
.
Пример. Требуется определить медиану на основании распре-
деления 101 семьи по числу детей, представленного в табл. 6.13.
Распределение семей по числу детей
Номер единицы совокупности, находящейся в середине ряда,
1101
.51
Мe
=N
=
Медианным значением признака обладает семья 51. Для определения положения этого номера необходимо рассчитать накопленные частоты: 10, 50, 80, 90, 97, 101. Для семей с одним ребенком –
номера 1–10; с двумя детьми – номера 11–50; с тремя детьми – номера 51–80.
Тогда
. Это значение медианы для дискретных рядов.
Вычисление медианы для интервального вариационного ряда
происходит в два этапа:
1) сначала определяется медианный интервал;
2) затем значение медианы признака вычисляется по формуле
90 91
Таблица 6.13
−
Число фотографий
в день, шт.
Число фотографов,
% к итогу
Накопленные
итоги
40–44 12 12
44–48 28 40
48–52 36 76
52–56 16 92
56–60 8 100
Итого 100 х
2
Глава 6. Статистические показатели и величины
Mе
5,0
∑
∆+=
x
0
Sf
1
mi
i
−
,
f
m
где х0 – нижняя граница медианного интервала; – величина медианного интервала;
f
– численность медианного интервала; S
m
fi – численность ряда (сумма частот или частостей);
– накопленная частота
m–1
до медианного интервала.
Пример. Определить медиану интервального ряда для распределения фотографов по дневной выработке (по которому определялась мода) (табл. 6.14).
Таблица 6.14
Распределение объема услуг фотографов
Для решения задачи нужно определить интервал, в котором заключена медиана – медианный интервал. Это тот интервал, до которого сумма (накопленный итог) численностей меньше половины всей
численности ряда, а с прибавлением его численности – больше половины.
По накопленным итогам половина численности
численности ряда. Если же мы прибавим численность третьего интервала, равную 36, то получим сумму, превышающую половину.
Отсюда следует, что медианным является третий интервал 48–52.
Медиана
100
.50
Сумма первых двух интервалов равна 40, т. е. меньше половины
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
36
−⋅
100
2
+=
448Mе ≅=
−
40
шт..
4914,49
Следовательно, 50 % фотографов снимают в день меньше
49 фотографий, а 50 % – больше 49. Медиану можно показать графически на кумуляте вариационного ряда. На оси накопленных частот
откладываем значение
оси ординат
, по оси абсцисс будет иметь значение признака, рав-
N
Me
. Точка кумуляты, имеющая значение по
N
Me
ное медианному (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Кумулята вариационного интервального ряда
с обозначенной медианой
Мода и медиана не требуют знания всех индивидуальных значений признака и поэтому могут быть использованы в качестве наиболее типичного значения признака в неоднородной совокупности.
В некоторых случаях мода и медиана количественно сходны со
средней. При нормальном распределении все три показателя имеют
одинаковую величину.
Мода и медиана дают представление о структуре совокупности,
поэтому их называют структурными средними. В отличие от средней
величины, которая рассчитывается на базе всех значений признака,
92 93
−⋅
Глава 6. Статистические показатели и величины
мода и медиана характеризуют величину конкретного варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.
6.4.3. Структурные характеристики распределения:
квантили распределения и мода
К структурным характеристикам ряда распределения кроме медианы и моды относят и другие квантили распределения (квартили,
децили и др.).
Квантиль распределения – это значение признака, занимающее
определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.
Виды квантилей:
1) медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середи-
ну упорядоченной совокупности;
2) квартили (Q
1/4
, Q
= Ме, Q
2/4
) – значения признака, делящие
3/4
упорядоченную совокупность на четыре равные (по числу единиц)
части;
3) децили (Q
0,1
, Q
,…, Q
0,2
) – значения признака, делящие упо-
0,9
рядоченную совокупность на 10 равных частей;
4) процентили (Q
0,01
0,02
,…, Q
) – значения признака, деля-
0,99
, Q
щие упорядоченную совокупность на 100 равных частей.
Если данные сгруппированы, то значение квантиля определяется по накопленным частотам. При этом находится номер группы, которая содержит i-й квантиль как номер первой группы от начала ряда,
в которой сумма накопленных частот равна или превышает N
, где i –
i
индекс квантиля.
Если ряд интервальный, то значение квантиля уточняется по
формуле
X
где
тиль; F
FNi
1
XQ
– нижняя граница интервала, в котором находится i-й кван-
Q
i
– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих
–1
∆+=
QQi
ii
−
N
,
Q
i
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
интервалу, в котором находится i-й квантиль;
N
– частота интерва-
Q
i
ла, в котором находится i-й квантиль.
Квантили распределения представляют собой обобщающие показатели, характеризующие структуру распределения признака в совокупности.
Наиболее распространенным видом квантилей является медиана. Медиана не требует знания всех индивидуальных значений признака. Она не чувствительна к крайним значениям признака, которые
могут резко отличаться от основной массы его значений. Поэтому
медиану используют как наиболее надежный показатель типичного
значения признака в неоднородной совокупности.
94 95
Глава 7. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую, могут значительно отличаться друг от друга по степени вариации признака.
Рассмотрим данные о распределении стажа работы сотрудников в двух филиалах фирмы (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Стаж работы сотрудников в фирме
Номер работника
1 1 6
2 2 6
3 3 7
4 3 7
5 4 7
6 9 7
7 10 8
8 12 8
9 13 8
10 15 8
Итого 72 72
Средний стаж работы, лет
Стаж работы, лет
Филиал 1 Филиал 2
2,71=x
2,72=x
Средний стаж работы в первом и втором филиалах фирмы составляет 7,2 года. Однако если во втором филиале стаж работников
близок к средней величине, то в первом филиале фирмы нет даже
работников, имеющих стаж от 5 до 8 лет.
Таким образом, значение средней величины не типично для первого филиала, а во втором филиале вариация стажа значительно меньше. Следовательно, чтобы сделать вывод о типичности средней ве-
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
L
∑
−
n
∑
10
−
∑
n
10
n
личины для совокупности, необходим показатель, характеризующий
вариацию признака. В этих филиалах одинаковый средний стаж работы сотрудников, но существует различие этих показателей по степени рассеяния вариантов стажа в совокупности. Изучение вариации
имеет большое значение в статистике и социально-экономических
исследованиях, поэтому важным становится вопрос вариации представленного ряда распределения и отклонений от среднего значения.
Вариация – изменения значения признака в пределах совокупности. Можно выделить абсолютные и относительные показатели
вариации. Показатели вариации позволяют, например, оценить степень однородности совокупности, типичности и устойчивости средней, определить величину возможной погрешности выборочного наблюдения.
Наиболее часто используемыми показателями вариации являются:
абсолютные показатели вариации:
1) размах вариации;
2) среднее линейное отклонение;
3) средний квадрат отклонений (дисперсия);
4) среднее квадратическое отклонение;
относительные показатели вариации:
5) коэффициент осцилляции;
6) относительное линейное отклонение;
7) коэффициенты вариации.
7.1. Абсолютные показатели вариации
Рассмотрим эти показатели.
Размах вариации показывает, на какую максимальную величину изменяется значение количественно варьирующего признака. Размах вариации дает лишь самое общее представление о размерах вариации, так как показывает, насколько отличаются крайние варианты
признака. Для определения этого показателя требуется найти разность
между максимальным (x
) и минимальным (x
max
) значениями при-
min
знака в совокупности (в ряду распределения).
96 97
L
∑
−
n
∑
10
−
∑
n
10
n
Глава 7. Показатели вариации
Размах вариации обозначают обычно R.
.
xxR
minmax
Пример. Данные для расчета представлены в табл. 7.1.
Размах вариации для первого филиала
R1 = 15 – 1 = 14.
Размах вариации для второго филиала
R2 = 8 – 6 = 2.
Недостатком данного показателя является то, что он не указы-
вает, насколько велики отклонения всех вариантов друг от друга.
Гораздо более точными являются характеристики вариации, когда учитываются отклонения каждого из вариантов, например от средней величины.
Среднее линейное отклонение обозначают
. Оно вычисляется
по формуле средней арифметической (взвешенной или простой):
fxx
ii
;
f
i
xx
−
i
,
где
– частота или частость.
f
i
L
=
∑
L
=
Пример. Расчет среднего линейного отклонения для двух фили-
алов представлен в табл. 7.2.
Для первого филиала:
xx
i
=
L
1
46
.6,4
==
Для второго филиала:
xx
L
2
i
4,6
.64,0
Однако среднее линейное отклонение сравнительно редко применяется для оценки вариации признака. Обычно вычисляется дисперсия
2
и среднее квадратическое отклонение . Эти показатели
применяются не только для оценки вариации признака как таковой,
но и для измерения связи между явлениями, для оценки точности (величины ошибки) выборочного наблюдения и других целей.
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
Стаж работы, лет
xxi−
xxi−
Номер
работника
Филиал 1 Филиал 2 Филиал 1 Филиал 2
1 1 6 6,2 1,2
2 2 6 5,2 1,2
3 3 7 4,2 0,2
4 3 7 4,2 0,2
5 4 7 3,2 0,2
6 9 7 1,8 0,2
7 10 8 2,8 0,8
8 12 8 4,8 0,8
9 13 8 5,8 0,8
10 15 8 7,8 0,8
Итого 72 72 46 6,4
n
10n10
n
Таблица 7.2
Таблица расчетов среднего линейного отклонения
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений вариантов признака от средней величины. Применяется несколько методов и соответствующих им формул вычисления дисперсии.
Для несгруппированного ряда
n
2
1
i
2
)(
xx
i
;
для сгруппированного ряда
2
fxx
−
∑
2
Дисперсия может быть также вычислена как разность среднего
квадрата значения признака и квадрата среднего арифметического
значения признака:
2
x
где
2
fx
∑
∑
ii
.
f
i
=
=σ
)(
ii
.
f
∑
i
222
,)(
xx −=σ
98 99
10
n
10
n
Глава 7. Показатели вариации
Расчет дисперсии представлен в табл. 7.3.
Таблица расчетов дисперсии
Таблица 7.3
Номер
работника
Стаж работы, лет
Филиал 1 Филиал 2 Филиал 1 Филиал 2
1 1 6 38,44 1,44
2 2 6 27,04 1,44
3 3 7 17,64 0,04
4 3 7 17,64 0,04
5 4 7 10,24 0,04
1 9 7 3,24 0,04
7 10 8 7,84 0,64
8 12 8 23,04 0,64
9 13 8 33,64 0,64
10 15 8 60,84 0,64
Итого 72 72 239,6 5,6
Для первого филиала:
n
∑
2
1
=
i
=σ
1
2
−
)(
xx
i
6,239
==
.96,23
Для второго филиала:
n
∑
2
1
=
i
=σ
2
2
−
)(
xx
i
6,5
.56,0
==
2
)( xxi−
2
)( xxi−
Таким образом, дисперсия показывает, что в филиале 1 вариация стажа работы превосходит вариацию этого показателя в филиале 2
почти в 43 раза.
Дисперсию можно вычислять и вторым способом, по формуле
222
; часто эта формула более удобна и упрощает расчеты.
)(xx −=σ
Расчет дисперсии вторым способом представлен в табл. 7.4.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]