Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
2
2
10
n
10
n
1
2
1
2
Группы
фирм
по раз-
меру
капитала,
млн р.
Число
фирм
fi
xi x
i
fi
)( xxi−
2
)( xxi−
ii
fxx2)( −
x
i
2
x
i
2
f
i
4–6 2 5 10 –4,7 22,9 44,18 25 50
6–8 3 7 21 –2,7 7,29 21,87 49 147
8–10 5 9 45 –0,7 0,49 2,45 81 405
10–12 6 11 66 1,3 1,69 10,14 121 726
12–14 4 13 52 3,3 10,89 43,56 169 676
Итого 20 х 194 х х 123,82 х 200 4
Таблица расчетов дисперсии вторым способом
Таблица 7.4
Номер
работника
Стаж работы, лет x
Филиал 1 Филиал 2 Филиал 1 Филиал 2
1 1 6 1 36
2 2 6 4 36
3 3 7 9 49
4 3 7 9 49
5 4 7 16 49
6 9 7 81 49
7 10 8 100 64
8 12 8 144 64
9 13 8 169 64
10 15 8 225 64
Итого 72 72 758 524
Среднее
значение
∑
2
x
1
∑
2
x
2
x
x
7,2 7,2 75,8 52,4
2
758
i
2
524
i
;8,75
===
;4,52
===
2222
=−=−=σ xx
2222
=−=−=σ xx
;96,232,78,75)(
.56,02,74,52)(
Для повышения наглядности на практике часто используют сред-
нее квадратическое отклонение.
Часто для характеристики рассеяния показателя удобнее исполь-
зовать не дисперсию, а среднеквадратическое отклонение – корень
второй степени из дисперсии
2
, которое имеет те же единицы
измерения, что и анализируемый показатель.
Иногда в литературе встречается другое название среднего квад-
ратического отклонения – «стандарт». Для того чтобы вычислить сред-
100 101
x
1
2
Группы
фирм
по раз-
меру
капитала,
млн р.
Число
фирм
fi
xi x
i
fi
)( xxi−
2
)( xxi−
ii
fxx2)( −
x
i
2
x
i
2
f
i
4–6 2 5 10 –4,7 22,9 44,18 25 50
6–8 3 7 21 –2,7 7,29 21,87 49 147
8–10 5 9 45 –0,7 0,49 2,45 81 405
10–12 6 11 66 1,3 1,69 10,14 121 726
12–14 4 13 52 3,3 10,89 43,56 169 676
Итого 20 х 194 х х 123,82 х 200 4
Глава 7. Показатели вариации
нее квадратическое отклонение, необходимо сначала определить дисперсию. Среднее квадратическое отклонение является общепринятым и наиболее распространенным показателем вариации. По величине среднее квадратическое отклонение несколько больше среднего линейного отклонения. Эмпирически установлено, что для
нормального распределения соотношение между ними можно запи-
сать в виде
L25,1
.
Среднеквадратическое отклонение для двух филиалов (пример –
табл. 7.1–7.4) имеет следующие значения:
для филиала 1
для филиала 2
2
1
2
2
9,496,23
;
75,056,0
.
Пример. Расчет дисперсии и среднеквадратического отклонения для интервального ряда.
Известны данные о распределении 20 фирм по размеру капитала. Определим дисперсию и среднеквадратическое отклонение
по табл. 7.5.
Таблица 7.5
Распределение фирм по размеру капитала
Определим дисперсию с учетом числа фирм в каждом интерва-
ле (
) и середины интервалов (xi) по формуле взвешенной средней
f
i
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
∑
20
20
0
x
2
)(
−
fxx
2
=σ
∑
ii
.
f
i
В соответствии с расчетом, приведенным в табл. 7.5, получаем:
2
2,122
.11,6
==σ
Среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что
и варианты признака. Среднеквадратическое отклонение
2
)(
fxx
ii
f
i
47,211,6
млн р.
Дисперсию можно определить и как разность между средним
квадратом вариантов признака и квадратом их средней величины, т. е.
222
,
)( xx −=σ
2
fx
∑
∑
ii
.
f
i
где
2
=
x
В данном случае (см. табл. 7.5)
2004
2
==x
.2,100
Тогда
22
.
11,6)7,9(2,100
Дисперсия обладает рядом свойств:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю:
2
;
2) дисперсия не изменяется, если все варианты увеличить или
22
xx
)()(
уменьшить на одно и то же число:
3) если все варианты показателя умножить на число
сия увеличится в
раз, т. е. постоянный множитель выносится за
знак дисперсии, будучи возведенным в квадрат:
;
, диспер-
222
;
)()(
xx
4) дисперсия относительно средней арифметической равна дисперсии относительно произвольной величины а минус квадрат разности между средней арифметической и величиной а, т. е.
102 103
x
Глава 7. Показатели вариации
22
)()(
fxx
2
i
i
ii
i
f
i
i
fax
ii
f
i
2
)(
ax
.
Использование свойств дисперсии позволяет упростить расчеты, если вариационный ряд представляет собой арифметическую
прогрессию или имеет равные интервалы.
7.2. Относительные показатели вариации
Все показатели вариации, которые были рассмотрены, являются
абсолютными, т. е. выраженными в форме абсолютных статистических величин. Но эти показатели не всегда пригодны для сравнительного анализа вариации нескольких совокупностей. Для характеристики
степени однородности совокупности, типичности, устойчивости средней, а также и для других статистических оценок часто применяются
коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, относительное
линейное отклонение. Эти показатели являются относительными величинами, часто выражаются в процентах и вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине.
Рассмотрим следующие относительные показатели вариации
и сделаем их расчеты для данных из табл. 7.1 о стаже работы сотрудников по филиалам.
Коэффициент осцилляции (относительный размах вариации)
Коэффициент осцилляции для примера с двумя филиалами будет следующим:
для 1-го филиала
для 2-го филиала
K
R
K
R
K
1
R
R
2
R
x
%.100
R
x
%100
14
%100
%;194%100
2,7
2
%.28%100
===
2,7
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
x
x
σ
σ
∑
Относительное линейное отклонение
L
=
K
L
%.100
Для примера с двумя филиалами:
для 1-го филиала
для 2-го филиала
L
K
1
L
x
L
K
2
L
x
6,4
%100
%;64%100
2,7
64,0
%100
%.9%100
2,7
Коэффициент вариации (относительное среднеквадратическое
отклонение)
Kσ=
σ
%.100
Для примера с двумя филиалами:
для 1-го филиала
для 2-го филиала
=
K
1
σ
=
K
2
σ
%100
x
x
9,4
%;68%100
==
2,7
75,0
%100
==
%.4,10%100
2,7
Наиболее часто для характеристики степени вариации применяется именно коэффициент вариации. Как относительная величина
коэффициент вариации абстрагирует различия абсолютных величин
и дает возможность сравнивать степень вариации различных признаков, разных совокупностей. Коэффициент вариации в известной степени является критерием типичности средней величины, т. е. критерием однородности совокупности. Если коэффициент вариации очень
большой (например, превышает 40 %), то это означает, что средняя
величина характеризует совокупность по признаку, который имеет
значительную вариацию у ее отдельных единиц.
При оценке однородности используют следующее правило: сред-
няя величина является типичной, а совокупность однородной, если
коэффициент вариации не превышает 33 %.
104 105
∑
Глава 7. Показатели вариации
Для нашего примера вариация стажа работы в первом филиа-
ле
K
1
. Это сравнительно высокая степень вариации призна-
%68
ка, и можно сделать вывод о неоднородности совокупности по признаку «стаж работы» в первом филиале. Во втором же филиале
, это небольшая вариация признака «стаж работы», и со-
K
2
%10
вокупность можно считать однородной, а среднюю – типичной.
Тем не менее оценка по коэффициенту вариации зависит от оце-
ниваемого признака и совокупности:
1) если коэффициент вариации урожайности в одном регионе
, то она может быть оценена как слабая, при
%10K
– как умеренная, а при
%25%10 K
– как сильная;
%25K
2) вариация роста в совокупности взрослых мужчин и женщин
при коэффициенте вариации
может восприниматься как
%7K
сильная.
Таким образом, в зависимости от совокупности в одних случаях привычными могут быть колебания в десятки раз и более (доход,
число квартир в строении), а в других – незначительные колебания
уже могут считаться большими (изменения валютного курса рубля).
Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее типична средняя, тем менее она характеризует
изучаемое явление. Наоборот, чем коэффициент вариации меньше,
тем однороднее совокупность, тем точнее средняя отображает значения варьирующего признака, для которого она вычислена.
Приведем еще пример расчета показателей вариации для интервального ряда.
Для участия в конкурсе были поданы заявки претендентов. Необходимо выявить средний опыт работы конкурсантов и оценить однородность участников по опыту работы. Данные об участниках
и необходимые предварительные расчеты приведены в табл. 7.6.
Средний опыт работы участников:
720
fx
∑
ii
f
i
x
===
100
лет).(2,7
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
Опыт
работы
Кол-во,
чел. (fi)
xi xi fi
)( xxi−
2
)( xxi−
ii
fxx2)( −
x
i
2
x
i
2
fi
До 4 лет 10 3 30 –4,2 17,64 176,4 9 90
4–6 лет 10 5 50 –2,2 4,84 48,4 25 250
6–8 лет 50 7 350 –0,2 0,04 2 49 2450
8–10 лет 20 9 180 1,8 3,24 64,8 81 1620
10 и бо-
лее
10 11 110 3,8 14,44 144,4 121 1210
Итого 100 720 х х 436 х 5620
100
∑
Распределение участников по опыту работы
Дисперсию рассчитаем двумя способами.
2
fxx
2
)(
f
i
436
ii
.36,4
100
Расчет дисперсии по альтернативной формуле показывает те же
результаты:
222
,)(
xx −=σ
2
fx
∑
где
2
x
=
∑
ii
;
f
i
Таблица 7.6
5620
22
.36,4)2,7(
Среднее квадратическое отклонение:
2
(лет).
1,209,236,4
Коэффициент вариации, %:
Коэффициент вариации меньше 33 %, совокупность можно счи-
тать однородной, а среднюю – типичной.
σ
K
100
=
1
σ
x
1,2
==
2,7
.2,29100
106 107
∑
Глава 7. Показатели вариации
7.3. Правило сложения дисперсий
При исследовании вариации различаются три вида дисперсий:
общая;
средняя внутригрупповая;
межгрупповая.
Дисперсию, вычисленную для всей совокупности в целом, называют общей дисперсией и обозначают
2
. Общая дисперсия измеряет вариацию признака, вызванную действием на него всех факторов и условий.
Если совокупность состоит из нескольких групп, то для каждой
группы может быть определена своя внутригрупповая дисперсия,
характеризующая вариацию внутри данной группы.
Дисперсия – это средний квадрат отклонений вариантов признака
от их средней величины. Внутригрупповая дисперсия – это также
средний квадрат отклонения от средней величины признака в данной
группе. Обозначается эта дисперсия обычно так же, как и общая, –
но с индексом номера группы j и вычисляется по формуле
2
fxx
)(
−
2
i
=σ
j
∑
i
ijjij
,
f
ij
где i – номер признака х и частоты (или частости) f в пределах группы j.
Внутригрупповая дисперсия характеризует вариацию признака
в пределах группы за счет всех факторов, за исключением положенного в основание группировки.
Средняя внутригрупповая дисперсия вычисляется как средняя
из внутригрупповых дисперсий по формуле
2
σ
F
∑
2
=σ
∑
jj
,
F
j
где Fj – число наблюдений в группе j.
Межгрупповая дисперсия определяет систематическую вариацию признака, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:
2
,
М. В. Веронская. Статистика. Часть 1
σ
2
)(
Fxx
2
jj
F
.
j
Межгрупповая дисперсия – это дисперсия внутригрупповых
средних величин.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:
222
.
δ+σ=σ
Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону общая дисперсия,
которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора,
положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов.
Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.
Если
2
= 0, то 2 = 2. Тогда отношение межгрупповой дисперсии к общей равно единице. Это позволяет полагать, что никакие прочие факторы не оказывают влияния на результативный признак, что
вся вариация его обусловлена действием на него признака-фактора,
положенного в основание группировки. Следовательно, между этими признаками очень тесная связь (можно даже допустить, что она
функциональная, или, иначе, полная). Отношение межгрупповой
и общей дисперсий позволяет судить о связи между изучаемыми признаками. Это отношение называется эмпирическим коэффициентом
детерминации, обозначается греческой буквой «эта» во второй степени (
2
), характеризует долю межгрупповой дисперсии в общей
дисперсии:
2
2
.
2
108 109
Глава 7. Показатели вариации
Однако чаще всего в качестве показателя тесноты связи используется корень второй степени из этого коэффициента, который называют эмпирическим корреляционным отношением:
2
.
2
Эм п и рическо е ко рреляцио н н о е о тн о ш ен и е
показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором
группировки. Предельными значениями
Чем ближе
к единице, тем теснее связь.
являются нуль и единица.
Корреляционное отношение – это корень второй степени, а его
числовое значение имеет два знака (+, –), поэтому приходится решать вопрос, с каким знаком брать значение этого показателя. Принято следующее правило: если вариация факторного и результативного признаков идет в одном направлении, т. е. с увеличением или
уменьшением значений факторного признака значения результативного признака соответственно увеличиваются или уменьшаются, то
корреляционное отношение должно быть взято со знаком «+», а если
в противоположных направлениях, то оно берется со знаком «–».
Пример. Имеется информация о цене 1 кв. м приведенной пло-
щади квартиры по десяти домам бизнес-класса (табл. 7.7). Первые
пять домов были построены вблизи метро, а остальные – на значительном расстоянии от него.
Таблица 7.7
Стоимость жилья по десяти домам бизнес-класса
№ п/п
Цена 1 кв. м
площади, у. е.
1 1300 6 860
2 1270 7 940
3 1200 8 780
4 1350 9 1040
5 1150 10 950
№ п/п
Цена 1 кв. м
площади, у. е.
Необходимо рассчитать общую дисперсию, внутригрупповые
дисперсии (признак деления на группы – близость к метро), сред-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]