Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Б. П. Зеленцов
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие
Новосибирск
2020
2
УДК [51:004](075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент: д.т.н., профессор Мелентьев О.Г.
Зеленцов Б.П. Специальные главы математики: Учебно-методическое по-
собие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики; кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2020. – 108 с.
Пособие направлено на изучение системы компьютерной математики
MathCAD и ее использование для моделирования функционирования оборудо-
вания систем связи на основе теории цепей и процессов Маркова. Для обеспечения этой цели изложен план изучения системы MathCAD, основы теории цепей и процессов Маркова, а также приведено описание трех моделей функционирования оборудования систем связи. Далее приведены планы лабораторных
работ, задание для расчетно-графической работы, словарь терминов в области
надежности и вопросы к экзамену.
Приобретенные и закрепленные навыки позволят решать математические и
инженерно-технические задачи с использованием системы MathCAD. Пособие
может быть полезно студентам при выполнении курсовых и дипломных работ,
а также аспирантам при выполнении научных исследований.
Б.П. Зеленцов, 2020
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2020
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………..……..………..…………..……5
Раздел 1. СИСТЕМА MathCAD …………………..……………………....….8
Вопросы для самоконтроля и проверки знаний …………………………9
Раздел 2. ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ И ПРОЦЕССЫ МАРКОВА
2.1. ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА ……………………………………...10
2.2. ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАРКОВА ………………………………21
Вопросы для самоконтроля и проверки знаний ………………………...33
Раздел 3. МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
СИСТЕМ СВЯЗИ
3.1. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ КАК СРЕДСТВО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ………………………………..….……..34
3.2. ДУБЛИРОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ ………………………….…………38
3.3. КОНТРОЛЬ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ …....43
Вопросы для самоконтроля и проверки знаний ………………………..…49
Раздел 4. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
4.1. СИСТЕМА MathCAD
Лабораторная работа 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ …….………50
Лабораторная работа 2. ФУНКЦИИ ……………………………….………52
Лабораторная работа 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ……………………………54
Лабораторная работа 4. МАТРИЦЫ ………………………………….……56
Лабораторная работа 5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ………………………59
Лабораторная работа 6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ……………………61
Лабораторная работа 7. РЯДЫ ФУРЬЕ ……………………………………62
4.2. ЦЕПИ И ПРОЦЕССЫ МАРКОВА
Лабораторная работа 8. ЦЕПЬ МАРКОВА (первая задача) …………… 66
Лабораторная работа 9. ЦЕПЬ МАРКОВА (вторая задача) …………......70
Лабораторная работа 10. ПРОЦЕСС МАРКОВА (первая задача) ………72
Лабораторная работа 11. ПРОЦЕСС МАРКОВА (вторая задача) ………76
4
4.3. МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
СИСТЕМ СВЯЗИ
Лабораторная работа 12. МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ …78
Лабораторная работа 13. МОДЕЛЬ ДУБЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ … ..83
Лабораторная работа 14. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ОБОРУДОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ КОНТРОЛЯ
ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ……………….…..90
Лабораторная работа 15. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЛИНИИ СВЯЗИ В
УСЛОВИЯХ НЕДОСТОВЕРНОГО КОНТРОЛЯ ...…93
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА (РГР) ……………..…………..…95
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ В ОБЛАСТИ НАДЕЖНОСТИ ……………..…99
СВОДКИ ФОРМУЛ …………………………… ……………………...…....102
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ………………………..… …..... 104
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ……………………………………………….…105
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………..……..…….….... 106
5
ВВЕДЕНИЕ
Телекоммуникационное оборудование представляет собой сложную систему
– совокупность элементов, которые образуют определенную целостность и
единство и которые характеризуются сложностью структуры, стохастичностью
связей между элементами, неоднозначностью алгоритмов поведения при различных условиях, разнообразием и вероятностным характером воздействий
внешней среды, неполнотой исходной информации.
Одной из проблем исследования сложных систем является построение таких
моделей реальных систем, которые пригодны для теоретического и экспериментального изучения их свойств. Моделирование – это наиболее распространенный и перспективный метод изучения сложных систем, позволяющий проводить исследование на этапе проектирования, получать прямые формулы для
расчета обобщенных характеристик по исходным характеристикам, прогнозировать качество функционирования и эффективность систем, обосновывать необходимую или оптимальную структуру систем и правильно интерпретировать
статистические данные.
Основной целью пособия является приобретение и закрепление навыков при
решении математических и инженерно-технических задач с использованием
системы компьютерной математики MathCAD. В соответствии с этой целью
определена область применения данного пособия – математическое моделирование при исследовании, проектировании новых и совершенствовании существующих систем. Предлагаемые математические модели основаны на теории
цепей и процессов Маркова и реализованы в виде матричного инженерного метода, который позволяет исследовать функционирование сложных систем с
дискретным множеством состояний.
Изучение системы компьютерной математики MathCAD проводится на лекционных занятиях по плану, который приведен в разделе 1 данного пособия. В
теоретической части пособия даются основные сведения из теории цепей и
процессов Маркова, на базе которых разработан матричный метод исследования функционирования систем во времени. Этот материал содержит как общеизвестные положения из учебной литературы, так и некоторые разработки автора. Сущность матричного метода заключается в описании процесса функционирования в матричном виде, при этом производятся преобразования числовых
и/или функциональных матриц. Интерес к матричным методам обусловлен их
преимуществами: компактностью и простотой преобразований исходных характеристик в обобщенные, наличием стандартного математического обеспечения. Следует отметить, что матричные методы относятся к численноаналитическим методам, то есть могут быть применены как для численных расчетов, так и для аналитических исследований.
6
В пособии описаны три модели функционирования оборудования систем
связи: функционирование и надежность резервированной системы на основе
схемы размножения и гибели, моделирование эксплуатации дублированной системы из разнотипных элементов и моделирование эксплуатации оборудования
систем связи в условиях контроля технического состояния. Эти модели позволяют соединить знания по математике, компьютерные технологии и инженерно-технические задачи. При изучении этих моделей рекомендуется уточнять
смысл используемых терминов по словарю, приведенному в конце пособия.
В результате реализации матричного метода через исходные параметры могут быть выражены следующие характеристики оборудования: коэффициенты
готовности и простоя, среднее время нахождения в работоспособных и в неработоспособных состояниях, частота восстановлений и проверок, средняя частота любого состояния или подмножества состояний и др.
Лабораторные работы в соответствии с их содержанием разбиты на три
группы:
1) лабораторные работы, нацеленные на освоение системы MathCAD;
2) лабораторные работы по составлению моделей случайных процессов на
основе цепей и процессов Маркова;
3) лабораторные работы, связанные с моделированием функционирования
оборудования систем связи.
Лабораторные работы проводятся в компьютерных классах. После каждой
лабораторной работы студенты выполняют домашнее задание в форме отчета
по лабораторной работе. Занятия по данной дисциплине предполагают, что
студенты имеют персональные компьютеры и на них выполняют домашние задания. Свои персональные компьютеры студенты могут приносить на лабораторные работы и работать на них.
Все лабораторные работы и отчеты по лабораторным работам реализуются в
системе MathCAD.
Для выполнения отчетов по лабораторным работам № 1–6 студенты сами
подбирают задачи, аналогичные по структуре и сложности задачам, которые
решены в компьютерном классе. Основным источником задач для этих отчетов
являются материалы изученных ранее математических дисциплин, учебники и
задачники по математике, а также различные электронные ресурсы. Кроме того,
студенты могут самостоятельно сочинять задачи для отчетов по лабораторным
работам № 1–6.
Отчеты по лабораторным работам № 7–15 индивидуальны: они различаются
как по структуре, так и по исходным числовым характеристикам. Варианты отчетов устанавливаются по номеру группы и по номеру в журнале, который ведется при изучении данной дисциплины.
7
Лабораторная работа № 7 «Ряды Фурье» разработана совместно с В.П. Мак-
симовым.
При составлении математической модели процессов состояния пронумерованы. Строки и столбцы матриц располагаются в порядке номеров состояний.
В конце семестра студенты выполняют расчетно-графическую работу. Требования к ней в пособии приведены.
Все отчеты по лабораторным работам оформляются на стандартных листах
белой бумаги А4 на одной стороне. Для каждого отчета следует указать формулировку задания, цель и все исходные данные.
Образец оформления отчета по лабораторной работе
Отчет по лабораторной работе № 1. Алгебраические операции
Цель работы: освоение основных алгебраических операций.
Студент гр. А-72 Иванов И.И. Номер по журналу: 12.
Далее следуют наименования разделов и задачи с номерами в объеме, не
меньшем, чем на лабораторной работе.
Для лабораторных работ № 7–15 следует привести все исходные данные,
необходимые для выполнения отчетов по ним.
В результате изучения дисциплины обучающийся должен обладать следующими компетенциями:
1. Способность иметь навыки самостоятельной работы на компьютере и в
компьютерных сетях, осуществлять компьютерное моделирование устройств,
систем и процессов с использованием универсальных пакетов прикладных компьютерных программ.
2. Способность использовать программные средства, инструментальные
средства компьютерного моделирования для решения различных исследовательских и профессиональных задач.
Автор видит свою задачу в создании такого пособия, которое явилось бы
практическим руководством для студентов, аспирантов, инженеров и научных
работников, занимающихся исследованием функционирования телекоммуникационного оборудования и систем. Освоение изложенного метода предполагает
наличие знаний из матричного исчисления, основ теории вероятностей, теории
марковских цепей и марковских процессов в объеме курса математики в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов.
8
Раздел 1. СИСТЕМА MathCAD
Теоретический материал по этому разделу дается на лекционных занятиях
по приведенному плану. Этот материал доступен также в учебниках, в электронном ресурсе Интернета и в практическом руководстве «Tutorial» (на английском языке во вкладке «Справка-Help»).
План лекционных занятий:
1. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМЫ MathCAD: расшифровка тер-
мина, технология WYSIWYG, результат операций, символы.
2. ИНТЕРФЕЙС: определение, строки, полосы прокрутки, окно рабочего до-
кумента.
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ. ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ: числа целые,
десятичные, комплексные, представление при большом числе нулей, точность
представления чисел; все числовые результаты – в виде целого или дробного
десятичного числа.
4. БЛОКИ: три типа блоков, создание блоков, операции с блоками, принцип
«слева-направо, сверху-вниз».
5. КУРСОРЫ: четыре типа курсоров, их названия, назначение, использова-
ние.
6. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ: присваивания, вывода результата, разложе-
ние на слагаемые и на множители, упрощение.
7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ. ИЕРАРХИЯ ОПЕРАТОРОВ: опреде-
ление оператора, виды операторов, иерархия операторов.
8. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ОПЕРАТОРЫ
ФУНКЦИЙ: операторы дифференцирования, интегрирования, предела, модуля,
факториала, операторы функций, использованных в лабораторных работах.
9. ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ: ввод матрицы, вычисление определителя,
транспонирование, обращение матриц, ввод единичной матрицы, расширение
матриц, нумерация строк и столбцов.
10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ: использование
различных операторов для решения уравнений и систем уравнений.
11. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ: плоские графики и другие виды графиков,
форматирование графика, несколько функций на одном графике, операции с
окном графика.
12. РЯДЫ ФУРЬЕ: задача о представлении периодической функции тригонометрическим рядом, определение ряда Фурье, разложение в ряд Фурье четной и нечетной функции, частичная сумма ряда Фурье.
9
Вопросы для самоконтроля и проверки знаний
1. Каковы основные особенности системы MathCAD?
2. Как определяется «интерфейс» в системе MathCAD и каковы его назначение
и структура?
3. В каких формах представлены различные числа в системе MathCAD?
4. Как обеспечивается представление точности результата вычислений
в системе MathCAD?
5. Как определяется «блок» в системе MathCAD, каковы типы и назначение
блоков?
6. В чем заключается соблюдение принципа «слева-направо, сверху-вниз»?
7. Каковы типы курсоров и их назначение в системе MathCAD?
8. Какие операторы наиболее часто используются в различных операциях
в системе MathCAD?
9. В чем заключается иерархия арифметических и алгебраических операторов
в системе MathCAD?
10. Какие операторы используются в операциях математического анализа?
11. Какие операторы используются в операциях с матрицами?
12. Какие операторы используются при решении уравнений и систем
уравнений?
13. Какие виды графиков можно строить в системе MathCAD?
14. Как строить и формировать плоские графики в системе MathCAD?
15. Как определяется ряд Фурье для периодической функции?
16. Как используется частичная сумма ряда Фурье для представления
периодической функции или сигнала?
10
Раздел 2. ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ И ПРОЦЕССЫ МАРКОВА
2.1. ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА
Понятие дискретного случайного процесса в дискретном времени
Пусть имеется некоторая система, множество состояний которой является
дискретным (конечным или счетным): = {s1, s2, …}. Случайные события,
приводящие к переходу системы от состояния к состоянию, происходят в дискретные моменты времени t0, t1, t2,…, которые будем называть шагами и обо-
значать их в дальнейшем номером шага: n = 0, 1, 2, 3, …
Состояние системы образуется некоторой комбинацией параметров системы. В теории надежности, например, используется работоспособное состояние
(система выполняет свои функции) и неработоспособное состояние (система не
выполняет свои функции в результате отказа), состояние восстановления работоспособности и другие. Событие «отказ» приводит к смене работоспособного
состояния на неработоспособное, а событие «завершение восстановления» – к
смене неработоспособного состояния на работоспособное.
Обозначим через S(n) состояние системы на n-м шаге. Запись S(n) = sj означает, что на n-м шаге система находится в состоянии sj. Непосредственный переход из состояния si в состояние sj будем обозначать через si sj.
На каждом шаге система может находиться только в одном состоянии.
Замечание. Множество состояний называют иногда фазовым простран-
ством.
Таким образом, с течением времени система переходит от состояния к состоянию, то есть состояния меняются от шага к шагу. Эти изменения состояний
происходят случайно, поэтому имеет место случайный процесс изменения состояний во времени, то есть дискретный случайный процесс в дискретном времени.
Марковская цепь относится к классу случайных процессов с дискретными
состояниями и дискретным временем.
Примеры дискретных случайных процессов в дискретном времени.
1. Обучение студента в некотором учебном заведении. Состояниями явля-
ются обучение на первом, втором и т.д. курсах. Шагом является учебный
год, а событиями – успешное или не успешное завершение учебного года.
2. Случайный процесс изменения погоды. Состояния: дождь, солнце, пас-
мурно. Шагом может быть день или час.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]