Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Кузбасский государственный технический университет
имени Т. Ф. Горбачева»
Кафедра математики
Г. А. Казунина
А. В. Чередниченко
Г. А. Липина
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие для самостоятельной работы
студентов направления подготовки 13.03.02
«Электроэнергетика и электротехника»
Кемерово 2016
УДК 517.9:51(075.8)
УДК 517.9:51 (075.8)
КузГТУ, 2016
ISBN 978-5-906888-35-8
Казунина Г. А,
Чередниченко А. В.,
Липина Г. А., 2016
Рецензенты:
Кафедра математики, физики и информационных технологий ФГБОУ
ВО Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт (зав. кафедрой кандидат физико-математических наук Е. В. Дугинов)
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретиче-
ской физики А. В. Ханефт (ФГОУ ВО «Кемеровский государственный уни-
верситет»)
Казунина, Г. А. Специальные главы математики : учебное пособие
для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02
«Электроэнергетика и электротехника» / Г. А. Казунина, А. В. Чередниченко,
Г. А. Липина ; КузГТУ. – Кемерово, 2016. – 70 с.
ISBN 978-5-906888-35-8
Рассмотрены основные положения теории и представлены задания для
самостоятельной работы в виде расчетно-графических работ по разделам кур-
са: линейные дифференциальные уравнения и системы (метод преобразований Лапласа, метод матричной экспоненты), качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений с элементами теории устойчивости, случайные процессы, элементы теории графов, элементы вариационного исчис-
ления.
Подготовлено по дисциплине «Специальные главы математики» и
предназначено для студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника».
Печатается по решению редакционно-издательского совета КузГТУ.
3
Оглавление
Предисловие .................................................................................................................. 4
РГР 1. Передаточная функция. Импульсная и переходная характеристики.
Различные формы записи решений линейных дифференциальных уравнений .... 5
Содержание работы .............................................................................................. 5
Пример выполнения задания (вариант 10) ......................................................... 6
Варианты.............................................................................................................. 10
РГР 2. Решение разностных уравнений и систем уравнений методом Z-
преобразований ........................................................................................................... 10
Содержание работы ............................................................................................ 11
Теоретическое введение ..................................................................................... 11
Варианты.............................................................................................................. 14
РГР 3, 4. Преобразование стационарных случайных функций линейными
системами. Определение характеристик случайного процесса по опытным
данным ......................................................................................................................... 15
Содержание работы ............................................................................................ 15
Теоретическое введение ..................................................................................... 15
Варианты.............................................................................................................. 16
РГР 5. Фазовый портрет на плоскости. Понятие качественной
эквивалентности линейных дифференциальных уравнений ................................. 18
Содержание работы ............................................................................................ 18
Теоретическое введение ..................................................................................... 18
Варианты.............................................................................................................. 23
РГР 6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом
матричной экспоненты ............................................................................................... 24
Содержание работы ............................................................................................ 24
Теоретическое введение ..................................................................................... 24
Варианты.............................................................................................................. 37
РГР 7, 8. Графы и их характеристики. Сети и сетевые модели представления
информации. Построение генеалогических деревьев ............................................. 39
Содержание работы ............................................................................................ 39
Теоретическое введение ..................................................................................... 40
Пример выполнения задания (вариант 10) ....................................................... 45
Варианты.............................................................................................................. 48
РГР 9. Вариационные задачи с закрепленными и подвижными границами ....... 49
Теоретическое введение ..................................................................................... 49
Примеры решения задач .................................................................................... 55
Варианты (в скобках ответы) ............................................................................ 58
РГР 10. Задача на принцип максимума Л. С. Понтрягина ..................................... 59
Содержание работы ............................................................................................ 59
Теоретическое введение ..................................................................................... 59
Варианты.............................................................................................................. 68
Вопросы к экзамену .................................................................................................... 68
4
Предисловие
Пособие предназначено для организации самостоятельной ра-
боты студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнерге-
тика и электротехника», по дисциплине «Специальные главы математики» согласно соответствующей рабочей программе. Форма са-
мостоятельной работы – расчетно-графические работы (РГР). Каждая расчетно-графическая работа предваряется изложением теоре-
тического материала в объеме, необходимом для выполнения работы, списком рекомендуемой литературы и подробным рассмотрени-
ем задач по каждой теме.
5
)(
)(
)(
pX
pY
pH
)()( pHtw
t
dwth
0
)()(
)()( tetx
at
Tt
TtE
t
tx
,0
0,
0,0
)(
РГР 1. Передаточная функция. Импульсная и переходная
характеристики. Различные формы записи решений линейных
дифференциальных уравнений
Литература
1. Казунина Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования
Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс] / КузГТУ. – Кемерово, 2009.
2. Казунина Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования
Лапласа: учеб. пособие / КузГТУ. – Кемерово, 2015. – 128 с.
3. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
4. Бесекерский В. В. Теория систем автоматического регулиро-
вания. – М. : Наука, 1975. – 768 с.
Содержание работы
Для динамических систем, заданных дифференциальными
уравнениями, найти следующие характеристики:
1. Передаточную функцию
– отношение изображения
по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала
при нулевых начальных условиях
2. Импульсную переходную характеристику систем (реакцию си-
стемы на импульсное входное воздействие)
3. Переходную характеристику системы (реакцию системы на сту-
пенчатое воздействие)
4. Найти реакцию системы на входное воздействие двумя способа-
ми
1) операторным методом, 2) методом свертки
А)
В)
6
)()()()()(
)(
iVUeAiHS
i
)()()()(
22
iHiHVUiHA
)(
)(
аrctg)(
U
V
))(),(()),(,()),(,( VUA
)()()( txktytyT
)()()( pkpXpYpTpY
)()1)(( pkpXTppY
)
1
(
1)(
)(
)(
T
pT
kp
Tp
kp
pX
pY
pH
)()()()
1
11
1(
1
)(
2
twte
T
k
t
T
k
T
p
TT
k
T
p
p
T
k
pH
T
t
)()()(
2
te
T
k
t
T
k
tw
T
t
5. Найти частотную передаточную функцию
, а также
А) амплитудно – частотную характеристику
В) фазово-частотную характеристику
.
С) Постройте графики функций
. Примечание: последний
график можно построить как функцию параметра ω, используя
компьютер.
Пример выполнения задания (вариант 10)
1. Из уравнения
, переходя к изображениям
Лапласа при нулевых начальных условиях, находим передаточ-
ную функцию:
.
2. Поскольку передаточная функция не является правильной
дробью, то для перехода к оригиналу выделяем целую часть и
остаток
.
3. В результате импульсная переходная характеристика имеет
вид
.
7
)()()11(
)()1()()()()()()(
0 0 0
2
te
T
k
te
T
k
te
T
k
t
T
k
tde
T
k
d
T
k
dwth
T
t
T
t
T
t
t t t
T
at
etx )(
).(
1)1(
)
1
(
1
1
)()()(
1
t
aT
kae
TaT
ke
T
p
pe
ap
pe
T
k
ap
T
p
p
T
k
pXpHpY
at
T
t
ap
pt
T
p
pt
)(
1)1(
)()(
)(
)()()()()0()(
0
1
00
t
at
kae
TaT
ke
tde
T
eka
te
T
k
tdeae
T
k
te
T
k
dthxthxty
at
T
t
t
T
aT
T
t
T
t
t
T
t
a
T
t
t
.)()()()()(
00
tt
dxtwdtxwty
Здесь обязательно надо повторить по указанным выше учеб-
ным пособиям свойства импульсной функции Дирака и ступенчатой
функции Хевисайда.
Переходную характеристику находим как интеграл от импуль-
сной переходной характеристики:
4. Реакцию системы на внешнее воздействие находим двумя способами. Так, для сигнала
получаем:
Способ 1.
Способ 2. Используем формулу свертки с импульсной переходной
или переходной характеристикой, например, формулу Дюамеля:
Формула Грина:
Формула Дюамеля:
8
.)()()0()()()()0()(
)()()()0()()()()0()(
00
00
tt
tt
dhtxxthdthxxth
dxthtxhdtxhtxhty
Tt
TtE
t
tx
,0
0,
0,0
)(
)()(
1
1
1
1
11
1
)()()(
Ttete
T
kE
e
T
p
T
p
T
kE
e
pp
T
p
p
T
kE
pXpHpY
T
Tt
T
t
pT
pT
)()(
)()(0)(
)()()()()()()()0()()(
0
0
Ttete
T
kE
Tte
T
kE
tde
T
k
te
T
kE
TtTthTxtdthxtxthty
T
Tt
T
t
T
Tt
t
T
t
T
t
t
22
2
22
11
)1(
1
)(
T
ikkT
T
iTik
iT
ik
iH
2222
2
1
)(Im)(;
1
)(Re)(
T
k
iHV
T
kT
iHU
Для входного сигнала
Способ 1.
Способ 2.
получаем:
5. Находим частотную переходную характеристику
;
9
22
1
11
)()()(
T
k
Ti
ik
Ti
ik
iHiHA
22
1
11
)()()(
T
k
Ti
ik
Ti
ik
iHiHA
TU
V 1
arctg
)(
)(
arctg)(
),( VU
;
1
22
2
T
kT
U
;
1
22
T
k
V
)(
ω
A(ω)
T
k
А) Амплитудно-частотная характеристика
B) Фазово-частотная характеристика
С) Амплитудно-фазовая характеристика строится как кривая в
координатах
. Кривую можно построить аналитически, ис-
ключив параметр ω из системы уравнений:
10
.0
)1(
22
22
2
222
T
kU
VU
V
VT
U
TV
TV
kU
TVk
TV
U
2
2
2
42T
k
V
T
k
U
)(tkxyyT
)(22 tkxyyy
)(65 tkxyyy
)(
2
tkxyay
)(2 tkxyyy
)(tkxy
)(tkxyyT
)()(
1
txktkxy
)(txky
)(txkyyT
U
V
Окончательно получаем смещенную окружность
Варианты
1)
3)
5)
7)
9)
РГР 2. Решение разностных уравнений и систем уравнений
1. Казунина Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования
Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс] / КузГТУ. – Ке-
2)
4)
6)
8)
10)
методом Z-преобразований
Литература
мерово, 2009.
2. Казунина Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования
Лапласа: учеб. пособие / КузГТУ. – Кемерово, 2015. – 128 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]