Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
61
dp
p
H
dx
x
H
dH
x
p
H
p
x
H
))(),(( tUtXf
dt
dx
i
ni ,3,2,1
n
x
x
x
X
2
1
)(
21 r
uuuU
maxmin
UUU
)(tU
Сопоставляя полученное выражение с общим выражением для
полного дифференциала
, получаем уравнения,
которые в механике называют уравнениями Гамильтона
.
Эти уравнения являются наиболее общей формой записи уравнений движения. Таким образом, если движение подчиняется уравнениям Гамильтона, то вдоль всей траектории энергия системы со-
храняется.
Принцип максимума Л. С. Понтрягина в оптимальном
управлении
Пусть движение объекта задается системой дифференциаль-
ных уравнений
,
Здесь
– вектор фазовых координат, а
– вектор управления. Важным является то, что
вектор управления не может быть произвольным. Он ограничен фи-
зическими и конструкционными особенностями задачи :
.
Задача. Требуется найти такую функцию управления
, ко-
торая обеспечила бы минимум функционала
62
dttUtXf
t
t
))(),((
0
0
T
t
tTdt
0
0
00
)( XtX
1
)( XTX
)(tU
),,,(
21 n
),(),(),(
2211
UXfUXfUXfH
nn
i
i
i
i
i
i
dt
d
x
H
x
dt
dx
Н
.
Этот функционал может иметь различный смысл, например,
может быть временем перехода системы из одного состояния в дру-
гое, временем затухания переходного процесса и т.д.
Рассмотрим линейную задачу на быстродействие. В этой задаче функционал имеет смысл времени перехода
системы из состояния
Оптимальным называют управление
в состояние
.
, которое обеспечит
перевод системы из одного состояния в другое за наименьшее вре-
мя.
Однако, ограниченность управления не позволяет применить
для решения задачи классическое вариационное исчисление. Задачу
решил Л.С. Понтрягин следующим образом.
Кроме фазовой координаты в рассмотрение вводится также и
фазовый импульс. Обозначим вектор фазового импульса как
.
По аналогии с классической теоретической механикой рас-
сматривается функция
,
которая называется гамильтонианом и по смыслу является полной
энергией системы. Эта функция связана с векторами фазовых координат и импульсов уравнениями, аналогичными уравнениям Га-
мильтона в механике
Для оптимального управления вектор управления должен
быть таким, чтобы при любых фазовых координатах и импульсах
63
)(UH
0
21
r
U
H
U
H
U
H
),(),,( UXAUXH
A
dt
d
UXA
dt
Xd
),( U
1m
1,
UUxm
,1xx
12
xxx
22
12
1
fUx
fxx
00
10
A
UxffH
2212211
обеспечивался максимум гамильтониана как функции управления
.
При этом необходимые условия существования экстремума
имеют вид
.
Запись линейной системы в матричной форме имеет вид
.
Из последнего выражения гамильтониана следует, что он принимает наибольшее значение в случае, когда скалярное произведе-
ние
максимально. Другими словами векторы фазового им-
пульса и управления должны быть сонаправлены.
Рассмотрим конкретную задачу: точка массы
дви-
жется по инерции. Как за наименьшее время остановить ее в нача-
ле координат под действием ограниченной силы?
Уравнение движения в данном случае имеет вид
.
Шаг 1. Переписываем дифференциальное уравнение в равно-
сильную систему, вводя новые переменные
.
Записываем гамильтониан системы
64
dt
d
x
H
dt
d
x
H
2
1
`
2
1
1
0
212
11
CtCC
UtCCxCUH )()(
1221
012
tCC
U
H
tCC12
0,1
0,1
12
12
tCCU
tCCU
1U
1
2
2
1
dt
dx
x
dt
dx
Шаг 2. Записываем уравнения Гамильтона (второе уравнение
из системы) и получаем систему уравнений для нахождения фазо-
вых импульсов:
.
Решение системы имеет вид
.
Шаг 3. Найденные выражения для импульсов подставляем в
гамильтониан системы
.
Записываем необходимые условия существования экстремума:
.
Из этого выражения видно, что производная имеет только
один нуль. Функция
является строго монотонной и изме-
няет знак один раз.
Максимум гамильтониана как функции управления обеспечи-
вается при условии: управление принимает максимальное по абсо-
лютной величине значение. Поэтому возможными значениями
управления являются
.
Шаг 4. Находим фазовые траектории при различных возмож-
ных значениях управления.
Так для значения управления
исходная система уравне-
ний имеет вид
.
21
2
1
xdx
dx
11
2
2
2
Cxx
21
,xx
1U
1
2
2
1
dt
dx
x
dt
dx
21
2
1
xdx
dx
2
x
1
x
Исключая время, получаем уравнение для нахождения фа-
зовой траектории
. Решая уравнение, находим, что фазовыми траекториями
65
являются параболы
нат (
) направлены вправо. Обе компоненты скорости положи-
, ветви которых в системе коорди-
тельны. Поэтому движение вдоль фазовых траекторий происходит
по часовой стрелке (сплошные линии).
Для значения управления
исходная система имеет вид
,
а уравнение для фазовых траекторий
имеет своим реше-
нием семейство парабол, ветви которых направлены влево. При
этом обход фазовых траекторий происходит также по часовой
стрелке (пунктирные линии см. рис. 1).
Рис. 1. Характер фазовых траекторий
Анализ обхода траекторий показывает, что система, находяща-
яся в состоянии, характеризуемом произвольной точкой фазовой
плоскости, может попасть в начало координат только при условии
66
0)0(
0)0(
2
1
x
ax
T
0)(
0)(
2
1
Tx
Tx
1U
1U
1
t
1
2
2
1
dt
dx
x
dt
dx
0)0(,)0(
21
xax
2
x
a
1
t
1
x
перехода (переключения) с фазовой траектории одного типа на фазовую траекторию другого типа, проходящую через начало коорди-
нат.
Шаг 5. Рассмотрим задачу с конкретными начальными усло-
виями. Пусть в начальный момент система находилась в состоянии
.
В момент времени
система находится в начале координат
.
При выбранных начальных условиях движение должно
начаться по траектории, соответствующей значению управления
(парабола с ветвями, направленными влево см. рис. 2), и
продолжиться по траектории, соответствующей управлению
проходящей через начало координат (рис. 2).
,
Рис. 2
Для нахождения момента переключения
с одной траектории
на другую находим конкретные уравнения траекторий.
Решаем систему
,
67
p
ppX
pXappX
1
)(
)()(
2
21
t
p
pX
2
2
1
)(
2
1)(
)(
2
3
2
1
t
a
p
p
a
p
pX
p
a
pX
t
t
a
x
x
2
2
2
1
1
2
2
1
dt
dx
x
dt
dx
0)()(
21
TxTx
0
Tt
1
)(
)(
2
2
1
d
dx
x
d
dx
0)0()0(
21
xx
p
ppX
pXppX
1
)(
)()(
2
21
2
2
1
)(ppX
2
1
)(
2
3
1
p
pX
Tt
Tt
x
x
2
)(
2
2
1
)()(
)()(
1212
1111
txtx
txtx
Решаем систему операторным способом:
Имеем
Решаем систему
Для того, чтобы применить операторный метод, вводим новую
.
,
.
.
,
.
переменную
таким образом, чтобы начальные условия соответ-
ствовали моменту
дующим образом
Возвращаясь к исходной переменной, получаем реше-
ние:
:
,
. Тогда система записывается сле-
,
.
.
Находим точку пересечения, решая систему
,
68
Ttt
T
Tt
t
a
t
11
2
1
2
1
2
1
222
aTat 2,
1
1
t
k
U
x
0)0(,0)0(
xx
0)(,1)(
TxTx
T
)(tx
)(tx
25,0 kU
kUxxT
1
0)0(,0)0(
xx
0)(,1)(
TxTx
cTkU 1,0,1,10
1
)(),( txtx
:Ответ
cT 59,0
, получаем
.
Таким образом, материальная точка будет остановлена в начале координат за наименьшее время T, если в момент времени
пе-
реключить управление на противоположное.
Варианты
1. Объект управления задается уравнением
. Определите ал-
горитм оптимального управления, который обеспечит перевод объекта из начального состояния
ние
за минимальное время
в конечное состоя-
. Определите число
и моменты переключений. Постройте кривую управления, кривые
,
, фазовые траектории. Заданы параметры
.
2. Объект управления задается уравнением
. Опреде-
лить алгоритм оптимального управления, который обеспечит перевод объекта из начального состояния
нечное состояние
при условии
за минимальное время T
. Определите число и мо-
в ко-
менты переключений. Постройте фазовый портрет и графики
функций
.
Вопросы к экзамену
1. Основные характеристики динамических звеньев (передаточ-
ная функция, амплитудно-частотная характеристика, фазово-
частотная характеристика, амплитудно-фазовая характеристи-
ка).
2. Понятие решетчатой функции. Z-преобразования. Определе-
ние. Восстановление оригинала. Применение к решению раз-
ностных уравнений.
69
3. Случайные функции (процессы). Сечение случайного процес-
са. Основные характеристики случайного процесса (математи-
ческое ожидание, дисперсия, автоковариационная функция,
автокорреляционная функция). Понятие эффективного време-
ни корреляции.
4. Характеристики стационарных случайных функций (процес-
сов). Оценка эффективного времени корреляции.
5. Спектральное разложение стационарных случайных функций.
Понятие спектральной плотности. Теорема Винера-Хинчина.
Оценка эффективной ширины спектральной плотности.
6. Дисперсия стационарного случайного процесса с непрерыв-
ным спектром. Вычисление. Связь со средним квадратом слу-
чайного процесса (мощностью).
7. Преобразование стационарных случайных функций линейны-
ми динамическими системами.
8. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.
Способы определения автокорреляционной функции по опыт-
ным данным (усреднение по реализациям, усреднение по вре-
мени).
9. Динамическая интерпретация автономных линейных диффе-
ренциальных уравнений первого порядка. Понятие фазовой
траектории, фазового портрета, качественной эквивалентно-
сти.
10. Равносильность линейного дифференциального уравнения
второго порядка и системы двух линейных уравнений первого
порядка. Фазовая плоскость. Понятие фазовых координат. Фа-
зовая траектория. Фазовый портрет.
11. Матричная запись системы линейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Характеристики матрицы систе-
мы: собственные векторы и собственные значения матрицы.
Характеристическое уравнение. Подобие матриц. Жорданова
форма матрицы. Понятие качественной эквивалентности.
12. Анализ качественно различных систем второго порядка: слу-
чай действительных и различных собственных значений. Фа-
зовые портреты.
13. Анализ качественно различных систем второго порядка: слу-
чай действительных одинаковых собственных значений. Фазо-
вые портреты.
70
2n
14. Анализ качественно различных систем второго порядка: слу-
чай комплексных собственных значений. Фазовые портреты.
15. Запись линейного дифференциального уравнения порядка
в матричной форме. Построение жордановой формы
матрицы системы.
16. Алгоритм решения однородной системы линейных диффе-
ренциальных уравнений с использованием матричной экспо-
ненты. Матричная функция отклика.
17. Алгоритм решения неоднородной системы линейных диффе-
ренциальных уравнений с использованием матричной экспо-
ненты.
18. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближе-
нию. Теорема о линеаризации.
19. Основные понятия теории графов, степень вершины, маршру-
ты, цепи, циклы, связность графа, ориентированные графы.
20. Способы задания графов, матрицы смежности и инцидентно-
сти
21. Операции над графами.
22. Понятие функционала. Основная задача вариационного ис-
числения. Уравнение Эйлера. Понятие экстремали.
23. Задача о брахистохроне.
24. Задача с подвижными границами. Условия трансверсально-
сти.
25. Принцип наименьшего действия в механике. Уравнения Ла-
гранжа и Гамильтона.
26. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в оптимальном управ-
лении.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]