Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
023
2
2
2
2
2
x
dt
dx
dt
xd
1
2
21
1
23
x
dt
dx
xx
dt
dx
01
23
A
1
2
2
1
23
x
x
dx
dx
,/21xx
,//
2221
xdxddxdx
2
2
)2/()1ln(ln cx
1c
044
21
2
221
2
1
xxxxxx
)3/4(arctg2/1
02
21
2
221
2
1
FExDxCxxBxAx
02 ВАС
;02 BAC
.0
2
BAC
2
1
12
1
1
,
1
2
21
ee
jiE,
1
212
,eeE
Пример 2. Линейному дифференциальному уравнению второ-
го порядка
соответствует система уравнений
21
с матрицей коэффициентов
.
Исключив параметр t из системы уравнений, для нахождения
фазовых траекторий получаем однородное дифференциальное
уравнение
.
Обозначив
получаем
.
При
имеем семейство парабол
с осью симметрии, расположенной под углом
оси ОХ
.
1
к
Замечание. Тип кривой определяется из общего уравнения
кривой второго порядка
Параболическому типу соответствует
типу
гиперболическому типу
; эллиптическому
.
Для приведения системы к более простому виду находим соб-
ственные значения матрицы А:
ры:
.
Матрица перехода от базиса
;
к базису
и собственные векто-
имеет
вид
22
11
12
T
21
11
1
T
10
02
J
10
02
11
12
01
23
21
11
1
ATTJ
.
2
2
2
1
1
x
dt
dx
x
dt
dx
1
2
2
cxx
12
kxx
1
2
2
1
23
x
x
dx
dx
;23
1
k
k
;0132
2
kk
;11k
;
2
1
2
k
;12xx
12
2
1
xx
В базисе Е
;
исходная матрица принимает простой вид
2
:
а исходная система преобразуется в систему
После исключения t и интегрирования получаем уравнения фа-
зовых траекторий, которые также являются параболами
,
.
Для построения фазовых траекторий в случае «седла» и «вы-
рожденного узла» нужно, прежде всего, найти фазовые траектории,
которые лежат на прямых, проходящих через начало координат.
Эти направляющие прямые сепаратрисы всегда направлены вдоль
собственных векторов матрицы А. Для особой точки типа «узел»
траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению
Уравнения направляющих прямых можно найти, положив
.
,
.
23
,2)( xtx
xtx )(
3
)2()( xtx
3
)1()( xtx
2
)( xtx
2
)2()( xtx
4
)4()( xtx
1)(
2
xtx
)3)(2()(
xxtx
)1()( xxtx
)2()( xxtx
)1)(2()(
xxxtx
)3)(2)(1()(
xxxtx
1
x
1
x
2
x
2
x
)( 2
1
e
)( 1
2
e
T
ˆ
Сохранение характера фазового портрета типа «неустойчи-
вый узел» при переходе к новой системе координат.
Варианты
1. Построить фазовые портреты для автономных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы
качественно эквивалентных и для каждого класса схематично по-
строить интегральные кривые:
1)
4)
7)
10)
12)
2)
, 5)
, 8)
, 11)
, 3)
, 6)
, 9)
, 13)
,
,
,
,
2. Над приведенными дифференциальными уравнениями выпол-
.
нить действия
A) Преобразовать линейные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка в равносильную систему линейных уравнений и за-
писать в матричной форме,
B) Найдите собственные значения матрицы системы и определите по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,
C) Найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично
постройте их,
24
04 yy
023
yyy
02
yyy
tA
e
...
!
)(
...
!2
)(
!1
2
k
AtAtAt
Ee
k
At
D) Сделайте вывод об устойчивости нулевого решения.
1)
3)
2)
РГР 6. Решение систем линейных дифференциальных
уравнений методом матричной экспоненты
Литература
1. Алексеев Д. В. Дифференциальные уравнения с элементами
теории устойчивости: учеб. пособ. [электронный ресурс] /
Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, Н. В. Трушникова; КузГТУ. –
Кемерово, 2010.
2. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
Содержание работы
1) Освоение метода матричной экспоненты для решения
линейных дифференциальных уравнений и систем.
2) Устойчивость нелинейных систем по первому прибли-
жению.
Теоретическое введение
1) Освоение метода матричной экспоненты для решения ли-
нейных дифференциальных уравнений и систем
А) Запись решения линейной однородной системы в матрич-
ной форме удобно выполнить, используя матрицу
, которая
называется матричной экспонентой:
25
At
tA
Ae
dt
de
tA
e
AX
dt
dX
At
eX
)(
)(
2
1
tx
tx
X
)(
)(
02
01
0
tx
tx
X
0
)(
0
XeX
ttA
0
XeXAt
0
0
t
tA
e
1
TTee
tJAt
tJ
e
Jt
e
...
!
)(
...
!2
)(
!1
2
k
JtJtJt
Ee
k
Jt
tA
e
12
1
21
2
21
EA
e
EA
ee
tt
At
021
EAtEee
t
At
0
0
10
01
E
Поскольку справедливо соотношение
подстановкой
в систему
решение.
Обозначив
– матрицу искомых функций, а
– матрицу столбец начальных условий, получаем ре-
шение системы в компактном виде
при
Матрицу
.
будем находить согласно преобразованию подо-
бия
убеждаемся, что
или
,
, прямой
–
где матрицу
будем определять по собственным значениям мат-
рицы А и виду матрицы J из таблицы 1.
Замечание 1. Вид матрицы
легко получается непосред-
ственной подстановкой в формулу
Замечание 2. Кроме того, матрица
может быть найдена по
формулам:
a) для случая различных собственных значений (действительных
или комплексных)
;
b) для случая одинаковых собственных значений
,
где
.
26
tJ
e
Характер собствен-
ных значений
J
Jt
e
21
2
1
0
0
t
t
e
e
2
1
0
0
021
0
0
0
1
t
tt
e
ete
0
00
0
i
2,1
0
tete
tete
tt
tt
cossin
sincos
Характер собствен-
ных значений
Качественная картина
фазовых траекторий
Название положе-
ния равновесия
i
2,1
Центр
i
2,1
Фокус
,
2,1
R
,
21
021
Узел
,
2,1
R
,
21
021
Седло
Таблица 1. Определение вида матрицы
Таблица 2. Классификация точек покоя.
27
0
021
Вырожденный узел
Дикритический
узел.
Только в случае
системы вида
ayy
axx''
0
1
0
2
В этом случае си-
стема имеет вид
k
dx
dy
Траектории – прямые
ckxy
0
2,1
Вся фазовая плос-
кость
21
2
21
1
34
23
xx
dt
dx
xx
dt
dx
0
2
0
1
2
1
0
)0(
)0(
x
x
x
x
X
34
23
A
Исходя из вышеизложенного, алгоритм нахождения решения
можно разделить на несколько шагов. Рассмотрим это на примере.
Пример 1. Найти решение системы
Шаг 1. Запишем матрицу системы
.
28
033Sp A
0189
34
23
Det
A
0Det A
0
21
xx
0
34
23
1;1
21
21
,
10
01
J
.
1
ATTJ
ATTJ
.
dc
ba
T
dc
ba
dc
ba
34
23
10
01
dbca
dbca
dc
ba
3434
2323
,34;34
;23;23
ddbcca
bdbaca
Найдем след и определитель матрицы системы:
.
Отрицательное значение определителя
ствует о том, что неподвижная точка
является неустой-
свидетель-
чивым положением равновесия, а фазовый портрет является «сед-
лом».
Шаг 2. Запишем характеристическое уравнение матрицы А и
найдем собственные значения матрицы А
– действительные и различные.
Шаг 3. По виду собственных значений
согласно таб-
лице 1. выбираем матрицу
,
Шаг 4. Найдем матрицу перехода Т, решая матричное уравне-
ние
Обозначаем
Тогда получаем:
Приравнивая элементы матрицы, стоящие на одинаковых ме-
стах, получаем систему уравнений:
.
.
которая имеет множество решений, удовлетворяющих соотношени-
ям
.2
,dbca
21
11
T
1
T
11
12
Det
1
;1Det
1121
1222
1
tt
tt
T
TT
1
T
JATT
10
01
21
11
34
23
11
12
1
Jt
e
t
t
Jt
e
e
e
0
0
tA
e
tttt
tttt
tt
tt
t
t
JtAt
eeee
eeee
ee
ee
e
e
TTee
222
2
11
12
2
11
12
0
0
21
11
1
.
)2()22(
)()2(
222
2
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
1
tttt
tttt
tttt
tttt
At
eexeex
eexeex
x
x
eeee
eeee
Xe
x
x
X
.
0
0
2
0
1
X
x
x
Выбирая простейшее из этих решений, получаем матрицу пе-
рехода
29
.
Шаг 5. Находим обратную матрицу
Шаг 6. Проверяем правильность нахождения Т и
новкой в выражение
Шаг 7. По виду матрицы J выберем матрицу
и находим матрицу
:
.
подста-
.
по таблице 1.
:
Шаг 8. Запишем решение системы
Эта запись удобна тем, что позволяет сразу находить решение
системы при любых начальных условиях
30
)(
)(
2222121
2
1212111
1
tfxaxa
dt
dx
tfxaxa
dt
dx
FAX
dt
dX
)(
)(
2
1
tf
tf
F
At
e
);(tFeXAe
dt
dX
e
AtAtAt
;)(tFeAXe
dt
dX
e
AtAtAt
;)()(tFe
dt
Xed
At
At
;)(
00
dFe
d
Xed
t
A
t
A
.)()0()(
0
0
0
dFeXetXeXe
t
AAAttA
tA
e
dFeeXetXee
t
AAtAtAtAt
)()(
0
0
dFeeXeX
t
AAtAt
)(
0
0
000
XeX
At
B) Неоднородные линейные системы дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид
или в матричном виде
. . (1)
Здесь введена матрица
.
руем:
Умножим (1) слева на обратную матрицу
и проинтегри-
Умножим последнее выражение слева на матрицу
(1) имеет вид
.
В результате получаем, что решение неоднородной системы
. (2)
Решение (2) состоит из двух частей:
– общего решения однородной системы и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]