Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
31
dFeeX
t
AAt
)(
0
.ч.н
)(),(
21
tftf
21
2
5
21
1
892xx
dt
dx
exx
dt
dx
t
0
1
0
X
0
)(;
81
92
5t
e
tFA
A
;5
021
11
43
T
31
41
1
T
tt
tt
eTTee
tJtAt
31
931
51
.
31
0
1
31
931
55
000
t
t
e
tt
tt
eXeX
ttAt
..нч
X
At
e
t
t
tA
e
– частного решения неоднородной системы,
зависящего от функций
.
Этот результат является общим. Сформулируем его как теоре-
му.
Теорема о структуре решения линейной неоднородной системы.
Решение неоднородной линейной системы дифференциальных
уравнений (или равносильного системе дифференциального уравнения) равно сумме общего решения однородной системы (уравне-
ния) и какого-либо частного решения неоднородной системы (уравнения).
Пример 2. Найдем решение системы дифференциальных
уравнений
.
при начальных условиях
прежде всего находим собственные зна-
чения матрицы
:
и обратную матрицу
Тогда матричная экспонента имеет вид
Общее решение однородной системы:
и матрицах
матрицу перехода
.
.
Для нахождения
на
в выражении для матричной экспоненты
найдем обратную матрицу
заменой
:
.
31
931
5
tt
tt
ee
tAt
31
0
31
931
)(
5
5
e
eFe
A
.
2
2
3
2
2
3
31
)(
2
2
0
2
2
0 0
t
t
t
ddFe
t
t t
A
.
2
2
3
2
2
3
31
931
)(
2
2
5
2
2
0
5
..
t
t
t
e
t
t
t
tt
tt
edFeeX
t
t
tAAt
нч
tt
e
t
t
t
e
t
t
tX
5
2
2
5
2
2
3
31
)(
,
2
3
21
2
5
1
t
tetx
t
.
2
2
5
2
t
tetx
t
,
),(
),(
212
2
211
1
xxV
dt
dx
xxV
dt
dx
Затем преобразуем подынтегральное выражение
и находим интеграл
В результате частное решение имеет вид
32
Полное решение исходной системы записывается в виде
или
2) Устойчивость нелинейных систем по первому приближе-
нию
Во многих практически важных случаях системы дифференциальных уравнений, описывающие реальные объекты, являются не-
линейными
33
211
,xxV
212
,xxV
,0,
211
xxV
,0,
212
xxV
.
~
,
~
21
xxXc
222
111
~
~
xxu
xxu
),(
21
VV
CC
CC
XXXX
XXXX
u
x
V
u
x
V
xxV
u
x
V
u
x
V
xxV
2
2
2
1
1
2
212
2
2
1
1
1
1
211
),(
),(
210
~
,~xxX
22122111
/;/;/;/ xVxVxVxV
222121
2
212111
1
uaua
dt
du
uaua
dt
du
A
22
11
~
~
2
2
1
2
2
1
1
1
xx
xx
x
V
x
V
x
V
x
V
A
тo есть функции
,
не являются линейными
функциями своих аргументов. Главным методом изучения поведения решения такой системы в окрестности положений равновесия
является метод линеаризации – приближенной замены точной си-
стемы вблизи неподвижной точки на линейную систему.
Суть метода состоит в следующем. Решив систему уравнений
выбирают одну из неподвижных точек
Затем рассматривают отклонение системы от положения равновесия
и записывают линейное по отклонениям разложение поля направлений
по формуле Тейлора:
.
Когда в частные производные подставлены конкретные координаты неподвижной точки
, коэффициенты
становятся постоянными,
и исходная система приближенно представляется в виде линейной
системы
. (3)
Матрица
системы при этом имеет вид
. (4)
34
211
,xxV
212
,xxV
.
1282
)cos23ln(
3
2
2
1
1
1
2
xe
dt
dx
xe
dt
dx
x
x
,
01282
0)cos23ln(
3
2
2
1
1
1
2
xe
dt
dx
xe
dt
dx
x
x
021 xx
2211
; xuxu
.
12
30
)128(
4
2
cos23
3
cos23
sin2
0
0
3/2
2
11
1
2
1
1
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
e
xe
e
xe
x
A
.
2
3
21
2
2
1
xx
dt
dx
x
dt
dx
212211
,,, xxVxxV
0
21
xx
;)();(
2
1cos
22
2
1
2
1
1
2
xox1~exo
x
~x
x
;)(1)()(23cos3
222121
2
xox3~xoxox3~x2-e
x
;)()()(ln
2222
xox3~xox31V
1
Заметим, что операцию линеаризации можно выполнить непосред-
ственно разлагая функции
,
в ряд Тейлора в
окрестности неподвижной точки, сохраняя в разложении только ли-
нейные слагаемые.
Пример 3. Найти линеаризацию системы
Способ 1. Решая систему уравнений
находим, что начало координат
точкой. Поэтому
, а матрица линеаризации (4) имеет
является неподвижной
вид
Первое линейное приближение исходной системы записывает-
ся в виде
Способ 2. Разлагаем функции
Маклорена в окрестности
по формулам
.
35
.)(2)()(222
))(
2
22
8
12
12)(
12211221
221
2
1
xxoxx~xoxoxx~
~xox
1
2(1-x~
x
x12V
1/3
2
.
2
3
21
2
2
1
xx
dt
dx
x
dt
dx
0ADet
2
1
212
211
),(
),(
dx
dx
xxV
xxV
2
x
2
x
В результате получаем линейное приближение исходной си-
стемы, которое совпадает с полученным выше
На вопрос: в какой мере решение линейной системы (3), полу-
ченной линеаризацией исходной системы вблизи неподвижной точки, соответствует решению нелинейной системы вблизи этой точки
отвечает теорема о линеаризации. Эта теорема устанавливает связь
фазового портрета нелинейной системы в окрестности неподвижной
точки с фазовым портретом ее линеаризации.
Теорема о линеаризации
Если нелинейная система имеет неподвижную точку в начале
координат (
), то в окрестности этой точки фазовые
портреты системы и фазовые портреты ее линеаризации качественно эквивалентны, если только неподвижная точка не являет-
ся «центром».
Если неподвижная точка линеаризации является «центром», то
фазовый портрет исходной нелинейной системы будет «центром»
или «фокусом». Для наличия «центра» необходимо, чтобы фазовые
траектории исходной системы имели ось симметрии, проходящую
через неподвижную точку. Последнее требование равносильно тре-
бованию того, чтобы уравнение
не изменилось при замене x1 на –x1 (или
на
).
36
211
2
2
)(
1
21
xxx
dt
dx
xe
dt
dx
xx
,0
0
211
2
)(
21
xxx
xe
xx
.
1
1
2
1
x
x
.
1
1
22
11
xu
xu
;111 ux
122 ux
.
)1)(1(1
1
221121
2
2
1
21
uuuuuu
dt
du
ue
dt
du
uu
.1
21
21
uu~e
uu
2
2
1
1
u
dt
du
u
dt
du
.
10
01
A
Пример 4. Исследовать устойчивость решения нелинейной
системы
вблизи неподвижной точки.
Решая систему уравнений
находим, что неподвижной точкой системы является точка
Рассмотрим отклонение системы от положения равновесия,
вводя новую переменную
Подставляя
в исходную систему, получа-
ем
Далее можно использовать разложение Маклорена для показатель-
ной функции с точностью до бесконечно малых первого порядка
И, оставляя во втором уравнении только линейное слагаемое, полу-
чаем линеаризацию системы
;
Заметим, что линеаризацию можно получить и по формуле с ис-
пользованием частных производных
37
.
10
01
1
1
1
1
12
2
1
2121
x
x
xxxx
xx
ee
A
:A
;0 Sp A
;01Det A
1;1
21
;11x
12x
0
XeX
At
0
0
0
)0(
)0(
)0(,0
y
x
y
x
XXt
yxy
yxx
2
2
yxy
yxx
22
yxy
yxx 3
yxy
yxx 2
yxy
yxx
23
32
tAAtAt
dFeeXetX
0
0
)()(
tt
eexy
yx
t
etxyy
yxx
)1(223
6)0(,1)0(,
363
5
2
yx
eyxy
yxx
t
Характеристики матрицы
свидетельствуют о том, что неподвижная точка
исходной нелинейной системы и ее линеаризации яв-
ляется неустойчивым положением равновесия. Фазовый портрет
относится к типу «седло».
Варианты
1. Решите однородные системы линейных дифференциальных
уравнений второго порядка различными методами
A) с использованием матричной экспоненты
B) операторным методом. Начальные условия заданы в момент
1)
2)
3)
4)
5)
2. Решите неоднородные системы, используя метод матричной экс-
поненты:
1)
2)
3)
38
08
yy
0
)4(
yy
023
yyy
yxxy
xyxx
33
2
2
22
yyx
exy
xex
284
3cos
2
1
)225ln(
xy
ey
yxx
yx
eey
yx )2ln(
2
2
)2)(2(
xyy
xyxx
eey
yxx
xy
2
23)(
2
1233
)1(arctg
3
2
yxy
yxx
yxy
y
x
x
341
)2
2
arcsin(
3. Проанализируйте линейные дифференциальные уравнения выс-
ших порядков.
A) перепишите дифференциальные уравнения высших порядков
в равносильную систему уравнений первого порядка.
B) запишите систему в матричной форме.
C) найдите собственные значения и жорданову форму матрицы
системы.
D) установите, из каких элементарных блоков более низких по-
рядков формируется жорданова форма.
1)
2)
3)
4. Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференци-
альных уравнений:
A) найдите положения равновесия (неподвижные точки)
B) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой
неподвижной точки и определите характер неподвижных точек
C) схематично постройте фазовые траектории в окрестности по-
ложений равновесия. В том случае, если неподвижная точка
является центром, проведите дополнительные исследования.
Варианты:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
39
3
2
11 xxxxx
)ln(3
3
xxxx
yz
exy
xyzx
y
3
3129
2)(tg
)31ln(
)sin(34
3
xzz
yxzy
eex
zx
2
V
5
V
1
V
9)
10)
11)
12)
РГР 7, 8. Графы и их характеристики.
Сети и сетевые модели представления информации.
Построение генеалогических деревьев
Литература
1. Казунина Г. А. Элементы теории графов: материалы к лекциям
[электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Г. А. Липина; КузГТУ.
– Кемерово, 2010.
2. Лихтарников Л. М. Математическая логика: курс лекций. За-
дачник-практикум и решения [электронный ресурс] /
Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб : Лань, 2009.
3. Липина Г. А. Элементы теории графов: методические указания
для самостоятельной работы студентов [текст] / Г. А. Липина
Т. Г. Алексеевская; КузГТУ. – Кемерово, 2010.
Содержание работы
Для указанного графа найти все необходимые характеристики:
1) составить матрицу смежности;
2) составить матрицу инцидентности;
3) указать степени вершин графа;
4) составить маршруты длины, равной 5;
5) составить цепь и простую цепь, соединяющие вершины
;
и
6) построить простой цикл, содержащий вершину
.
40
EVEV,G ,
n
VVV ,...,,
21
1
V
2
V
21
V,Ve
1
V
2
V
VGp: p
EGq: q
Vd
0Vd
V2 V
1
V
3
V4 V1 V2 V3 V
4
V
5
Теоретическое введение
Во многих прикладных задачах изучаются системы связей
между различными объектами. Объекты называются вершинами и
отмечаются точками или кружочками, а связи между вершинами –
отрезками, соединяющими пары точек, эти отрезки называются ребрами. Рассмотрение таких систем приводит к понятию графа.
Графом называется непустое конечное множество вершин V и
множество ребер E, оба конца которых принадлежат множеству V.
Обозначение графа:
.
Изолированными вершинами, называются те, которые не
принадлежат ни одному ребру. Обозначение вершин:
ется:
шина
Пусть вершины
Тогда вершина
.
и ребро e тоже инцидентны. Два ребра, инцидентные
,
соединены ребром, это ребро обознача-
и ребро e инцидентны. Вер-
.
одной вершине, называются смежными. Две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.
Число вершин графа G обозначим p, а число ребер – q, то
есть
;
.
Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром (рис. 1).
Рис. 1. Полные графы
Вершины могут принадлежать различному числу ребер, и в этом
их отличие.
Степенью вершины называется число ребер графа, кото-
рым принадлежит эта вершина.
Степень вершины графа еще называют ее валентностью и обозначают
. Вершина графа называется изолированной, если она
не имеет ребер, то есть
. Вершина называется висячей, если
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]