Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные главы математического анализа сборник задач. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

650 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Новосибирский государственный технический университет

Â.В. Комиссаров

Í.В. Комиссарова

Å.В. Казанцева

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Утверждено редакционно издательским советом университета в качестве учебного пособия

Новосибирск

2025

ÓÄÊ 517(076.1) Ê632

Рецензенты:

С. Л. Злобина, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры статистики и математики СибУПК

Е. В. Фомич¼ва, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики НГТУ

Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов технических специальностей НГТУ.

Комиссаров В. В.

К632 Специальные главы математического анализа: cборник задач: учебное пособие / В. В. Комиссаров, Н. В. Комиссарова, Е. В. Казанцева. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. 83 с.

ISBN 978-5-7782-5425-1

Учебное пособие содержит задачи для самостоятельной и аудиторной работы по разделам специальных глав математического анализа: теория функций комплексного переменного, операционное ис- числение, ряды Фурье, преобразование Фурье. В приложении имеются необходимые для решения задач алгоритмы, формулы, таблицы. Приведены варианты индивидуальных заданий по комплексным числам.

Предназначено для студентов дневного и заочного отделения, магистрантов и аспирантов технических специальностей НГТУ.

	ÓÄÊ 517(076.1)
ISBN 978-5-7782-5425-1	© Комиссаров В. В.,
	Комиссарова Н. В.,
	Казанцева Е. В., 2025
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2025

	Содержание
1	Комплексные числа	4
2	Аналитические функции	6
3	Интегрирование	7
4	Функциональные ряды в комплексной области	9
5	Особые точки. Вычеты	11
6	Операционное исчисление	14
7	Ряды Фурье. Интеграл Фурье	20
Ответы		27
Список литературы		35
Приложение 1		36
Приложение 2		73

1.Комплексные числа

1. Вычислить z1; z1 + z2; z1 − z2; z1z2; z1/z2, åñëè z1 = 2i, z2 = 1 + i. Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

Найти действительную и мнимую части следующих комплекс-

ных чисел:

√

1 + i

2 −

1 − i

;

1 − i

;

Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:

√

1 − i

a) i;

c) 1 + i123;

+ i

;

−

−2

1 + i

f) − cos

g) (−4 + 3i)3.

+ i sin

;

= 2ie−π5 i, z2

= √

− i. Найти

Даны комплексные числа: z1

è arg(z1z2).

5.Найти вещественные решения уравнений: a) (3x − i)(2 + i) + (x − iy)(1 + 2i) = 5 + 6i;

b) 12((2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)) = 17 + 6i;

2 + i

= √

1 + i

x + iy − i

Решить квадратные уравнения:

c) x2 − 3x + 7 = 0.

a) x2 + 2x + 5 = 0;

b) x2 + 4x + 13 = 0;

Вычислить:

√

−

1 − i

√3

−

1 + i

a) (2

2i)7;

1 + i 3

; c)

1 − i

8.С помощью формулы Муавра выразить через степени sin φ и cos φ следующие функции:

a) sin 3φ; b) cos 3φ; c) sin 4φ; d) cos 4φ; e) sin 5φ; f) cos 5φ.

Âû÷èñëить все значенèÿ êîðíÿ:

√4 1; b)

√

; c) √3

√4

√3

2√

; e)

;

1 + i; f)

√−

2(cos

π + i sin π)

−

10.

Íà

множестве

комплексных

чисел

решить

уравнение

z4 + 81 = 0.

11.Сколько корней уравнения z8 +1 = 0 расположены в верхней полуплоскости? Выписать эти корни.

12.Выяснить геометрический смысл соотношений и сделать черт¼ж:

a) |z −2|+|z +2| = 5; b) |z −3−i| = |z −2|; c) |z −1| = | Re z|;

d) |z − 2| − |z + 2| = 6; e) |z − i| + |z + i| < 4; f) Re z1 < 12; g) 0 < arg iz−+zi < π2.

13.Вычислить значения функций (ответ записать в алгебраиче-

ской форме):

e) Ln (√

a) e3−2i;

b) cos(2+i); c) sin(π/4+i); d) arcsin 3;

−i);

πi

√

;

i) (−1) 2

f) th 3 − 2

;

g) Ln (−3 − 4i); h) arctg (3i);

j) (i)i;

cos

14. Решить уравнения:

a) e−z +1 = 0;

b) 4 cos z+7 = 0; c) sin z = πi; d) e2z+3ez

3 = 0;

√

−x

e) cos x+sin x = 2; f) √

cos x+sin x = 2; g)

1 + i

= 1.

15.Доказать равенства:

a) cos(z + t) = cos z cos t − sin z sin t; b) cos(z − t) = cos z cos t + sin z sin t; c) sin(z + t) = sin z cos t + cos z sin t; d) sin(z − t) = sin z cos t − cos z sin t.

f) u =

2.Аналитические функции

16.Найти вещественную и мнимую части функций:

a) w = 2z				1; b) w = z +		2;	c) w = z−1;		d) w = e		2;
			−							z
					z
							z2
	z	;		f) w = ch(z − i);				;	h) w = sh z;
e) w = e							g) w = 2
i) w = th z;				j) w = zi; k) w = cos iz.

17. Установить, какие из заданных функций являются аналити- ческими хотя бы в одной точке:

a) w = 2z			−	1; b) w = z + z2;	c) w = z−1; d) w = ez2 Re z;
					g) w = \|z\| + z; h) w = ch
e) w = e		;		f) w = sin(z + i);			;
	z
						z
i) w = th z;				j) w = cos iz.

18.Найти f′(0), åñëè f(z) = ln(2z + i).

19.Определить, в каких точках функция дифференцируемая:

a) f(z) = z Re z; b) f(z) = z Im z.

20.Проверить условия Коши Римана в произвольной точке и в случае их выполнения найти f′(z) для функций:

a) f(z) = 3ze2z; b) f(z) = cos(z + 2i).

21.Найти |f′(z0)|, arg f′(z0), åñëè:

a) f(z) = e2z, z0 = i;			1	sin z , z0		2
			b) f(z) = ez			=		;
			b) f(z) = ez			=		;
					i		i
					ez		i
c) f(z) = e	i	sin z , z0	= 1; d) f(z) =		ez	, z0 = 1 + i.
	z
	z				z4 + 1
		i			z4 + 1

22.Установить, какие из заданных функций являются гармони- ческими:

a) u = x2 + 2x − y2; b) u = 2ex cos y;

d) u =	x				e) u = −	y
				;			;
	x2 + y2					x2 + y2
g) u = arctg		y	; h) u = ln(x2 + y2);
		x

c) u = 3x2 + y;

x2 + y2 ; i) u = x ln y.

23. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 ôóíê- цию f(z) по известной функции u(x, y) = Re f(z) или

v(x, y) = Im f(z) и значению f(z0): a) u = x2 + 2x − y2, f(i) = 2i − 1;

b) u =	x	, f(π) =	1	;

	x2 + y2		π

c) v = arctg y/x (x > 0), f(1) = 0; d) v = 2(ch x sin y − xy), f(0) = 0; e) u = 2 sin x ch y − x, f(0) = 0;

f) u = 2(2sh x sin y + xy), f(0) = 3; g) v = −2 sin 2x sh 2y + y, f(0) = 2; h) v = 2 cos x ch y − x2 + y2, f(0) = 2i.

3. Интегрирование ФКП

24. Вычислить интегралы:

a) z Im z2dz, C : |z| = 1 (−π ≤ arg z ≤ 0);

z2		C
z2		R
b)		e\|z\|2 Re zdz, C прямая, соединяющая точки z1					= 0,
		C
		= 1 + i;				, обход против часовой стрелки;
c)		R			,	, обход против часовой стрелки;
c)		z Im zdz, C : \|z\| = 1, обход против часовой стрелки;
e)		Rezdz, C отрезок AB, A(0, −π), B(π, 0);
		C
d)		zzdz C : \|z\| = 1				задана соотношениями: z + z	= 2,
f) R				Re z2dz, C		задана соотношениями: z + z	= 2,
		C
		C
\|		C	\| ≤
		C
	ImRz				1;
g)		R e2zdz, C контур треугольника AOB, A(−1, 1), O(0, 0),

B(1, 1).

25. Вычислить интегралы, предварительно убедившись в анали-

тичности подынтегральных функций:									R
		R			R				R
	−1−i				1+i		z3dz;		2i
a)	1+i		(2z + 1)dz; b)		0		z3dz;	c) 1+i(z3 − z)dz;
	i				i				1+i
d) R0		z cos zdz;		e)	R0	(z − i)e−zdz;		f)	R0	sin z cos zdz.

26. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):

sin iz

a) |z−H1|=1

dz; b) |zH|=2

c) |zH|=4

dz;

;

z2 + 1

z2 − 4z + 3

(z2 + 9)(z + 6)

d) |zH|=1

cos z

e) |zH|=2

zsh z

|z−H3|=6

zdz

dz;

(z2 − 1)2

(z − 2)3(z + 4)

27. Вычислить интеграл C √

по контурам:

;

полуокружность,

√

a) C :

|z| = 1, y ≥ 0, √

= 1 ;

b) C :

полуокружность,

|z| = 1, y ≥ 0, 1 = −1

c) C :

полуокружность,

√

;

|z| = 1, y ≤ 0, 1 = 1

окружность,

√

d) C :

1 =

;

|z| = 1, √

e) C :

окружность,

|z| = 1, −1 = i

28. Вычислить интеграл

Ln zdz для заданных контуров:

a) C единичная

;

окружность и Ln

1 = 0

b) C единичная окружность и Lni =

c) C окружность, |z| = R и LnR = ln R;

d) C окружность, |z| = R и LnR = ln R + 2πi.

Вычислить интеграл

zn Ln zdz, где n целое число,

29.

;

|zR|=1

1 = 0 b)

(−1) = πi

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]