Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные главы математического анализа сборник задач. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

650 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Ответы

−2i; 1 + 3i; −1 + i; −2 + 2i; 1 + i.

2. a)

i; b) i; c) −1.

arg(−3) = π;

a) |i| = 1, arg(i) =

;

b) | − 3| = 3,

√

= 1,

|1 + i

123

) = −

−

2, arg(1 + i

+ i

√

;

2π

;

arg

+ i

= 1, arg(z) =

;

−

6π

−2

f ) |z| = 1, arg(z) = −

;

g) |z| = 5, arg(z) = π − arctg 0, 75.

|z| = 1, arg(z) =

2π

√

5. a) x =

, y =

−

; b) x =

, y =

; c) x = −

, y =

√

6. a) −1 ± 2i; b) −2 ± 3i; c)

± i

√

7. a) 1024 + 1024i; b) 220

−

+ i

;

c) 1728;

d) 1.

√

9. a)

+ i

−

+ i

− i

−

− i

;

√

+ i

−

− i

;

, −

−i;

d) 1, i, −1,

−i; e) √6 2

√

√6 2

cos 12π

+ i sin

12π

22+i

√6 2

cos 12

− i sin 12

;

f )

√3 − i, −√3 + i;

5π

g) полукруг:

√6 2

cos 18 + i sin 18

√6 2

cos

+ i sin 18

13π

√6 2

cos

18π − i sin

18π .

√

10.3 2 2(1 + i), 3 2 2(−1 + i), 3 2 2(1 − i), 3 2 2(−1 − i).

11.cos π8 +i sin π8, cos 38π +i sin 38π, cos 58π +i sin 58π, cos 78π +i sin 78π.

	x2		y2
12. a) эллипс:		+		= 1; b) прямая: y = −x + 3;
	225/36		225/100

c) парабола: y2 = 2(x − 0, 5); d) гипербола; e) внутренняя часть эллипса; f ) область вне круга: (x − 1)2 + y2 = 1;

x > 0,

x2 + y2 < 1.

13.a) e3 cos 2 + ie3 sin 2; b) cos 2ch 1 − i sin 2sh 1;

√√

2 ch

2 sh

; d)

√

;

1 + i

π + 2πk − i ln(3 + 2

e) ln √

+ i − arctg

√

+ 2πk ;

f ) cth3;

g) ln 5 + i arctg 3 − π + 2πk ;

h) 2

+ πk + 2 ln 2;

i) cos(√

2(π + 2πk)) + i sin(√

j ) e−(π/2+2πk);

2(π + 2πk));

k) ch π.

√

7 −

14. a)

−

+ 2

k);

+ 2

−

i ln

;

√

c) 2πk − i ln(√1 + π2 − π); d) ln −

+ i2πk;

√

;

f )

;

6 + 2πk

+ 2πk − i ln(

2 + 1)

x = 0

16. a) Re(w) = 2x − 1, Im(w) = 2y; b) Re(w) = x2 + x − y2,

Im(w) = y − 2xy; c) Re(w) =

, Im(w) = −

x2 + y2

;

x2+y2

sin(2xy);

d) Re(w) = e

cos(2xy), Im(w) = −e

e) Re(w) = ex cos(y), Im(w) = −ex sin(y);

f )

Re(w) =

cos(y

−

1), Im(w) = sh x sin(y

2−

1);

−y

g) Re(w) = 2x

−y

cos(2xy ln 2), Im(w) = 2x

sin(2xy ln 2);

h) Re(w) = sh x cos y, Im(w) = ch x sin y;

i) w =

sh xch x

+ i

sin y cos y

;

ch2 x cos2 y + sh2 x sin2 y

Im(w) = e−(arctg(y/x)+2πk) sin(ln	xp2	+ y2); k	) Re(w) = ch x cos y,
j ) Re(w) = e−(arctg(y/x)+2πk) cos(ln		x2 + y2),
Im(w) = sh x sin y.	p

17.a) аналитическая для всех z C; b) аналитическая в точке (0; 0); c) аналитическая для всех z C \ (0; 0); d) аналити-

ческая в точке (0; 0); e) неаналитическая; f ) аналитическая; g) аналитическая в точке (0; 0); h) аналитическая в точке (0; 0); i) аналитическая при z ̸= i(π + 2πk); j ) аналитическая для всех z C.

18.−2i.

19.a) аналитическая в точке(0; 0); b) аналитическая в точке (0; 0).

20. a) 3e2z + 6ze2z;

b) − sin(z + 2i).

21. a) f′(z) = 2e2z,

f′(i)

= 2, arg(f′(i)) = 2;

b) f′(z) = −

e1/z sin

− ie1/z cos

;

c) f′(z) = −iei/z

sin i + cos i

;

d) f′(z) =

ez(z4 + 1) − 4ezz3

(z4 + 1)2

8 cos 1

−

|f′(1 + i)| = 9p(5 cos51sin 1

+ 8 sin 1)2

+ (5 sin 1

8 cos 1)2,

arg(f′(1 + i)) = arctg

−

5 cos 1 + 8 sin 1

22. a) функция гармоническая; b) функция гармоническая; c) функция негармоническая; d) функция гармоническая; e) функция гармоническая; f ) функция негармоническая; g) функция гармоническая; h) функция гармоническая; i) функция негармоническая.

		1
23. a) f(z) = x2 + 2x − y2 + i(2xy + 2y); b) f(z) =				;
23. a) f(z) = x2 + 2x − y2 + i(2xy + 2y); b) f(z) =			z	;
c) f(z) = 2i arctg	z − 1	; d) f(z) = 2sh x cos y + y2			−	x2	+
c) f(z) = 2i arctg	i(z + 1)	; d) f(z) = 2sh x cos y + y2				x2	+
	i(z + 1)

+2i(ch x sin y − xy); f ) f(z) = 2(2sh x sin y + xy) +

+i(−4sh x cos y − x2 + y2 + 3).

24.

a) −

1 + i

− 1);

;

c) 0; d) 0; e) i(1 + e

);

f )

; g) 0.

25.

a) −2;

b) −4.

26.a)

27.a)

28.a)

29.a)

30.a)


0; b) πsh 1; c) −						2πi	; d) −πi; e)
0; b) πsh 1; c) −						45	; d) −πi; e)
2(i − 1); b) 2(1 − i);							c) 4i.
−2πi; d) −2πi.
(−1)n+1			2πi		.
(−1)n+1			n + 1		.
	2i			;		b)	√		;
	2i			;		b)	√		;
		sin π(α		+ 1)			2(−	3 + 1)
	α + 1	sin π(α		+ 1)			2(−	3 + 1)

g) 12 − 74πi.

31.a) ряд расходится; b) ряд сходится; c) ряд сходится; d) ряд сходится; e) ряд расходится; f ) ряд сходится; g) ряд расходится; h) ряд сходится.

32.

a) 1;

b) 1);

c) 1;

33.

a) sin(2z + 1) =

− sin 1 + 2 cos 1 (z + 1) +

22 sin 1

(z + 1)2−

23 cos 1

24 sin 1

−

(z + 1)4 + . . ., z C;

b) ez = √

∞

(2z − 1)k

, z

;

1 ∞

k=0

2kk!

k=0

(z + 2)k, |z + 2| <

= −

;

3z + 1

z + 1

2 (

1)k

= ∞

−

, z

< 1;

15 5k

−

z2 + 4z

k=0

| |

−1

(z)2k

∞

e) cos2

, z

;

(2k)!

∞

k=0

f ) ln(2 − z) = ln 2 − k=1

k 2k

, |z| < 2.

√

34. a) |z| >

;

b) |z| > 2;

f ) 2 < |z| < 4.

35. a)

< |z| < 2;

b) 1 < |z| < 3;

< |z − 1| < eα.

eα

36. a) sin z = 1

∞

(−1)k+1z2k−1

;

= z4P

(−1)k+1 .

b) z4 cos 1

∞

−

k=1

(2k + 1)!

∞ zk

− 2!

∞

2k−1

− k=1 z2k(2k + 4)!

−P

2) 3 < z < ,

∞

P−

−

37. a) 1) 2 <

|z|

< 3,

(z − 2)(z − 3)

− k=1

− k=0

3k+1

;

| |

∞

−

2)(z

−

zk .

k=1

38. a) z = 0 нуль 2-го порядка, z = ±2i нуль 1-го порядка; b) z = πk, k ̸= 0 нуль 1-го порядка; c) z = 0 нуль 1-го порядка; d) z = 0 нуль 3-го порядка, z = πk, k ̸= 0 нуль 1-го порядка; g) z = ±πi нуль 2-го порядка.

39. a) нуль 3-го порядка; c) нуль 1-го порядка.

40. a) z = π2+2πk полюс 2-го порядка; b) z = 2πk устранимая особая точка; d) z = 0 полюс 2-го порядка; e) z = 0

существенно особая точка.

41. a) z = π устранимая особая точка;

d) z = 0 существенно

особая точка.

42. a) z = 0 устранимая особая точка, res f(z) = 0; z =

полюс 1-го порядка, res f(z) =

; z =

+ πk полюс 1-го

π/4

порядка,

res

f(z) =

;

z = −1

полюс 3-го порядка,

π/2+πk

−π

res f(z) =

;

полюс 2-го порядка, res f(z) =

z = 2

−27.

−

43.a) полюс 2-го порядка; b) устранимая особая точка; c) существенно особая точка; d) устранимая особая точка; e) полюс 4-го порядка.

44.

1 − e2

; b)

−

sh 1; d)

−π

k) 3

2πi;

b) 0; c) 2πi; d) 2πi; e) 0; f ) 2πi; g) 0; h) −

πi

45.

√

46. a) π 2 2; b) −27π ; d) π; e) 0; f ) 32π ; g) π2e−4(2 cos 2 + sin 2); h) 0; i) 13πe−3(cos 1 − 3 sin 1).

47.a) äà; b) äà; c) äà; d) íåò; e) íåò; f ) íåò; g) äà; h) äà; i) äà; j ) íåò; k) íåò; l) äà; m) äà; n) íåò; o) äà; p) äà.

20(p2 + 21)

49.

; b) −3

;

p2 + 36

p4 + 58p2 + 441

162

(p2 + 9)(p2 + 81)

50.

;

−

(p − 1)2 + 1

(p − 1)2 + 16

(p + 1)2 + 16

51.

18p2 + 54

(p2 +

1)2 ;

(p2 − 9)3 .

53. a)

52. a) X(p) =	1	+	1	; c) X(p) =	1 − p	+	p

	p + 1 p2 − 1				p2 + 1 (p2 + 1)2 .

(p2 + 1)2 .

− arctg p ;

54.

− arctg p;

ln(p2 + 4) −

ln p.

55.

a) ln

;

b) ln

e−3p

e2−2p

56.

−

;

e−2p;

p2 + 4

p − 1

57.

−

2e p

+ e

;

1 − e−p − pe−p

−

p2(1 − e−p)

58.

;

(p − 1)(p2 + 1)

p4(p2 − 49)

59.

η(t − 2)e2−2t(cos(t − 1) − 2 sin(t − 1));

η(t − 3)e9−3t;

c) η(t

−

2)e4−2tsh (t

−

2);

d) η(t

−

1)(t

−

1).

4e−2t

3e−2t

60.

a) η(t)(1 − te−t − e−t);

b) η(t)

sin t −

cos t +

;

(t)(t

−

sin t);

−

2) cos(3t

−

6)+

−

et−1 sin(2t − 2)

;

η(t)

t sin t

η(t − 2) sin(t − 2) + 2η(t − 3) sin(t − 3)+

; f )

(e−2t−et+3tet); h) η(t−2)ch (2t−4)+

+ η(t−4) sin(t−4); g) η(t)

+ η(t−1)sh (t−1);

i) −η(t−0, 5)

sin(2t−1)−

cos(2t−1)+

100

−t +

te21 −t

j ) η(t

1) + η(t

2)(t 2)2+

;

1)(t

−

+ η(t − 3)(t − 3)3.−

(t)

61.

a) η(t)(e−t + sh t);

e−2t − cos t + 2 sin t ;

η(t)

2 cos t

+ t sin t

4 sin t −

√

√;

√

d) η(t)

e−t − et/2 cos

et/2 sin

;

t2et

η(t)

e) η(t) et +

tet

;

f )

+ et

2);

η(t)

−

(cos t − et + 4 sin t − 4t cos t + tet).

62.

η(t)

(3 sin 3t

−

cos 3t + 1) +

η(t − 2)

(cos(3t

−

1);

η(t)

t sin t

−

η(t − π)

(

sin t

−

t sin t);

η(t)

(e−t

−

cos t+sin t)

−

η(t − 1)

(cos(t

−

sin(t

−

e1−t).

64.

a) sh t

; b) (et − 1)

e2t

et + 3

(1 + et)2 .

67.

a) a t +

∞

76.

a) sin

| |

cos nx, x [−π; π].

n=1

π(1

−

4n2)

∞

78.

a) e−2x =

sh (6 + inπ)

, x

[

−

3; 3].

−∞

6 + inπ

∞

79.

a) xe−2|x|

dω R0

te−2|t| sin ωtdt.

80.

a) f(x) = xe−2|x|, F (ω) =

∞

te−2|t|e−iωtdt,

−∞

∞

f(x) = 2π −∞

−∞ te−2|t|e−iωtdt eiωxdω.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]