z′′ − x = 0, z(0) = 0, z′(0) = 1.

66.Найти общее решения систем дифференциальных уравне-

íèé:′ −

x = 2x y + 2z,

y′ = x + 2z,

z′ = −2x + y − z.

67.Найти решения интегральных уравнений:

Rt

b) y(t) = t + R et−τ y(τ)dτ.

2 0

68. Найти решения интегродифференциальных уравнений: a) Rt et−τ sin(t − τ) x(τ)dτ = x′′ − x′ + et(1 − cos t),

0

x(0) = x′(0) = 1;

7.Ряды Фурье. Интеграл Фурье

69.Доказать, что множество функций {sin kx}k N образует ортогональную на отрезке [0, π] систему функций.

70. Доказать, что множество функций {1, cos nx, sin nx}k N образует ортогональную на отрезке [−π, π] систему функций.

71.Проверить, что система полиномов Лежандра {Ln(x)} образует ортогональную систему в L2[−1, 1].

20

72. Проверить, что система полиномов Чебышева {Tn(x)} îáðà-

73.Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра на отрезке [−1, 1] многочлен 2x3 − 3x2 + 3x − 5.

74.Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева на отрезке [−1, 1] многочлен x3 − 2x2 + 3x − 4.

75.Разложить в тригонометрический ряд Фурье периодические

функции:

a) f(x) = cos2 x; 3x; c) f(x) = cos3 2x;b) f(x) = sin2

2

d) f(x) = sin3 x; e) f(x) = cos 2x sin 3x; f) f(x) = sin 3x sin 5x.

76.Разложить функцию y = f(x) в ряд Фурье на промежутке

(−π; π]:

77. Разложить функцию y = f(x) в тригонометрический ряд Фу-

21

78. Разложить функцию y = f(x) в комплексный ряд Фурье в

81. Для графически заданной 2π-периодической функции

y = f1(x) и периодически продолженной функции y = f2(x), заданной на промежутке, выполнить следующие задания:

a)обосновать возможность разложения заданных функций в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к заданным функциям;

b)построить график функции;

c)представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье. Вычислить коэффициенты ряда Фурье;

d)построить амплитудный и фазовый спектры функции;

e)определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90 % энергии;

22

f)вычислить среднеквадратическую ошибку между исходной функцией и частичной суммой ряда Фурье для зна- чений x, принадлежащих промежутку задания функции;

g)построить графики заданной функции и частичной суммы ряда для значений x, принадлежащих промежутку

задания функции, взяв число гармоник, содержащих в сумме не менее 90 % энергии (пункт e)).

23

24

25