6.Операционное исчисление

a) f(t) = η(t) cos t;

b) f(t) = η(t) t3;

c) f(t) = η(t) 2e5t;

η(t)

t

3

d) f(t) =

;

e) f(t) = η(t) 34 ;

f) f(t) = η(t) et ;

t − 2

g) f(t) = η(t) 2e−5t; h) f(t) =

η(t)

; i) f(t) = η(t) ch 2t;

t + 3

j) f(t) = η(t) tg t;

k) f(t) = e(2+4i)t;

l) f(t) = η(t) e(2+4i)t;

m) f(t) = η(t) ln(1 + t); n) f(t) = η(t) ln(t);

sin t

p) f(t) = η(t) bt, b > 0, b ̸= 1.

o) f(t) = η(t)

;

t

a) f(t) = et sin t;

b) f(t) = e−4t cos 3t;

c) f(t) = t2e−5t;

d) f(t) = sh t sin 4t;

2te−t.

e) f(t) = te3t + et sin2 3t;

f) f(t) = et cos 6t

−

a) f(t) = t sin t;

b) f(t) = t2sh3t;

c) f(t) = (t + 1) sin t;

d) f(t) = t2 cos t;

e) f(t) = t sin t cos 4t;

f) f(t) = t3e−5t.

t

t

t

a) f(t) = Z0

τ sin τdτ;

b) f(t) = Z0

τ2e3τdτ; c) f(t) = Z0

sin2 τdτ;

t

t

d) f(t) = Z0

(τ + 2) cos2 τdτ;

f) f(t) = Z0

τch2τdτ.

t

sin2 t

a) f(t) =

sin t

; b) f(t) = Z0

sin

τ

dτ; c) f(t) =

;

t

τ

t

t

d) f(t) =

1 − cos t

; e) f(t) =

et − 1 − t

; f) f(t) = Z0

eτ − e−τ

dτ.

t

t

τ

Z0

t

∞

e−at − e−bt

a)

dt, (a > 0, b > 0);

0

0

1

r@@

1

r@@

1 r

r

f(t)

6

f(t)

6

f(t)

6

a

)

r

@2r -

t

b)

1r

@3r -

t c)

-

t

1

2

a

f(t)

f(t)

f(t)

π

3π

t

6

6

6 4

4

d)

1

r

sin t

2

rQQ

QQ

t f)

r

-

e)

3π

π

πr

-

t

2

Q5r

-

1

r

sin(t − 4

)

2

−

f(t)

6

r

f(t)

6

r

r

f(t)

6

2

2r

1

et−2

1

r

1r

2r

3r -

g)

-

th

)

-

t

i)

t

4

1

2

3

f(t)

@

r

@

r

1 r

6

j)

@

@

T = 1, 5

Rt

Rt

R0t

t

et−τ sin τdτ;

t

eτ sin(t − τ)dτ;

t

a)

b)

c) (t − τ)2sh τdτ;

0

0

f) R0

d) R0

e3(t−τ)τ2dτ;

e) R0

τ3ch 7(t − τ)dτ;

τ cos 2(t − τ)dτ.

ражениям:

a) F (p) =

pe−p

; b) F (p) =

e−3p

;

p2 + 4p + 5

p + 3

e−2p

e−p

c) F (p) =

,

d) F (p) =

p2 + 4p + 3

p2 .

60. Найти оригиналы по заданным изображениям:

1

2p + 3

a) F (p) =

;

b) F (p) =

;

p3 + 2p2 + p

p3 + 4p2 + 5p

c) F (p) =

1

d) F (p) =

e−p

+

pe−2p

;

;

p2(p2 + 1)

p2 − 2p + 5

p2 + 9

e) F (p) =

p

f) F (p) =

1

(e−2p + 2e−3p + 3e−4p);

(p2 + 1)2 ;

p2 + 1

g) F (p) =

1

;

h) F (p) =

e−p

+

pe−2p

;

2

p

2

2

−

4

(p − 1) (p + 2)

− 1 p

e−p/2

e−p

2e−2p

6e−3p

i) F (p) =

; j) F (p) =

+

+

p(p + 1)2(p2 + 4)

p2

p3

p4 .

вой частью:

f(t)

6

a) x′′ + 9x = f(t); x(0) = 0, x′(0) = 1;

1

r

r

-

2

t

f(t)

6

b) x′′ + x = f(t); x(0) = 0, x′(0) = 0;

1

r

cos t

π-

t

−1

r

1

a) x′′ − x =

, x(0) = x′(0) = 0;

et + 3

b) x′′ − x′ =

e2t

,

x(0) = x′(0) = 0;

(1 + et)2

c) x′′ − x′ =

1

, x(0) = x′(0) = 0;

1 + et

d) x′′ + x′ =

1

,

x(0) = x′(0) = 0;

2 + cos t

e) x′′ + x = e−t2,

x(0) = x′(0) = 0.

65. Найти решения

систем дифференциальных уравнений

с заданными начальными условиями:

a)

x′+ y′ = 0,

y(0) = −1;

x + y = 0,

x(0) = 1,

b)

x′ +′ 4y′ + 3y′

= 0,

y(0) = 0;

3x + 2x + y

= 1,

x(0) = 0,

c)

y′′ + 2x + 2y =−2e−4t, y(0) = 0;

x + x + y = e 2t,

x(0) = 0,

d)

2x′′ + x − y′ = −3 sin t, x(0) = 0, x′(0) = 1,

x + y′ = − sin t,

y(0) = 0;

e)

x′′ − y′ = 0,

x(0) = −1, x′(0) = 1,

x − y′′

= 2 sin t, y(0) = 1, y′(0) = 1;