30. Вычислить интегралы:

a) |zR|=1 zαdz, ãäå α C è 1α = 1;

R

,

√4

;

dz

b) C

√4

z3

, C верхняя полуокружность, |z| = 1, z1 = 1,

z2 = −1

1 = −1

R

dz

2, z2 = 2, √

c)

√

dz

, C : y = x3

−

4x, z1 =

−

1 = i;

C

z + 1

−

−

d)

, C прямая,

√

C

R pi,

3 − z

√

√

+ i

,

3

;

2

1 = −dz

p

√2

z

1 z

= 1

1 + i

3 =

√3

, C прямая, z1 = −7, z2 = 3 + 2i, √3

= 2;

e)

8

1 − z

C

R

5

y2

R

arctg z

dz, C линия x2

f)

+

= 1 îò z1 = 1 äî z2 = −1,

1 + z2

4

C

arctg 1 =

π;

4

z1

= 1 äî z2 = i, Ln 1 = 2πi.

R

g) C zLn zdz, C часть окружности, |z| = 1 в четв¼ртой

четверти от

−

∞

cos in

∞

n sin in

∞

cos in2

∞

ei2n

P

P

P

P

n√

a) n=1

2n

; b) n=1

3n

; c) n=1

5n2

; d) n=1

n

;

∞

eiπ/n

∞

sh i√

∞

ln n

∞

ch (iπ/n)

n

P

√

P

P

P

e) n=1

n

;

f) n=1

sin in

;

g) n=1

sh in

;

h) n=1

nln n .

32. Найти радиусы сходимости степенных рядов:

∞

∞

i

∞

πi

zn;

∞

.

a) n=1 einzn; b)

n=1 ch nzn; c)

n=1 cosn

√n

d) n=1 cos in zn

P

P

P

P

ных рядов:

по степеням 2z − 1;

a) sin(2z + 1) по степеням z + 1;

b) ez

1

z + 1

c)

по степеням z + 2;

d)

по степеням z;

1

2

3z +iz

z

+ 4z − 5

e) cos2

по степеням z;

f) ln(2 − z) по степеням z.

2

34. Найти области сходимости функциональнûх рядов:

∞

1

∞

(√

+ i√2)n

2

P

P

a)

b)

n=1

(1 − i)nzn ;

n

n=1

1

zn

;

∞

(z + 1 i)−

∞

;

n

n=1

n + i

;

n=1

n

c)

−

d)

+ in (z + 1 + i)n

P∞

3n

P∞

2

∞

z

n

e) n=1 n2(z − i)n ;

f) n=1

z

+ n=0

4

;

P

1

∞

P

Pn

∞

.

P

P

nn(z

−

2 + i)n +

g)

(1 + in)(z − 2 + i)

n=1

n=0

∞

∞

zn

a)

P

2−|n|zn;

b)

P

;

3n + 1

c)

−

, (α > 0); d)

2−n (z + 1)n

n=−∞

n

n=−∞

∞

(z

1)

∞

2

;

e)

P∞

f)

P∞

zn

;

(z − a)2n

n=−∞

ch αn

n=−∞

g)

P

h)

P

2−n

zn

;

2nzn

n=−∞ 2−n3+1 ;

n=−∞ n2 + 1

∞

2

3

∞

.

P

P

n=−∞

n=−∞

a)

sin z

b) z4 cos 1

c)

1 − cos z

d)

1 + cos z

z2 ;

z2

z4

z ;

;

.

a)

1

,

1) 2 < |z| < 3,

2) 3 < |z| < ∞;

(z − 2)(z − 3)

b)

1

, 1) 0 < |z| < 1, 2) 1 < |z| < ∞;

z2 + z

c)

2z + 3

,

1) 1 < |z| < 2, 2) |z| > 2;

z2 + 3z + 2

d)

z2 − z + 3

,

1)

z

|

< 1, 2) 1 < z

|

< 2, 3) 2 < z

|

<

∞

.

z3 − 3z + 2

|

|

|

a) f(z) = z4 + 4z2;

b) f(z) =

sin z

;

sh2z

z

c) f(z) =

d) f(z) = z2 sin z;

;

z

(1 − sh z)2

e) f(z) = 1 + ch z;

f) f(z) =

;

z

f) f(z) = (z + πi)sh z;

g) f(z) = (z2 + π2)(1 + e−z).

39. Найти порядок нуля z0 = 0 для функций:

a) f(z) = esin z − etg z;

b) f(z) =

z6

z

2

z

2 ;

− sin

.

z3

2

2

c) f(z) =

; d) f(z) = 2(ch z − 1) − z2

1 + z − ez

a) f(z) =

1 + cos z

, z0

= π; b) f(x) =

z2 − 3z + 2

, z0 = 1;

z −2

π

z2 − 2z + 1

1

c) f(z) =

z

− 1

, z

= 0, z

=

−

1; d) f(z) = z sh

, z

= 0.

0

1

z

0

z6 + 2z5 + z4

42. Найти вычеты в особых точках функций:

a) f(z) =

4tg z

; b) f(z) =

z

4z

2

− πz

3(z

−

2)2 ;

(z + 1) iz

c) f(z) =

1 − cos z

; d) f(z) =

e

.

(z2 − 1)(z + 3)

z3(z − 3)

точках:

z4 + z3 − z2 + 4

4z + 3

ez

a) f(z) =

b) f(z) =

c) f(z) =

z3

;

z5 ;

z2 ;

d) f(z) = sin2 1; e) f(z) = z4ez2 .

1

ры обходятся против часовой стрелки):

eiz

sin iz

dz

a)

z =2

dz;

b)

z =2

dz;

c)

;

z2 + 1

z2 − 4z + 3

z =4 (z2

+ 9)(z + 6)

|

H|

cos z

|

H|

zsh z

|

H|

zdz

d) |zH|=1

dz;

e) |zH|=2

dz; f) |z−H3|=6

;

z3

(z2 − 1)2

(z − 2)3(z + 4)

g)

ezdz

; h)

ez2 − 1

dz;

i)

sin πz

dz;

z =2 z3(z + 1)

z

i

=3 z3

−

iz2

z =

√

z2

−

z

|

H|

|

− |

3

−

z

2H

2

| |

| |H

H

x

y

H

j)

cos(z/2)

dz, C :

+

= 1;

k)

(z + 1)e1/zdz;

C

z2 4

9

4

z =1/3

l) |zH|=2 z2 cos

dz.

z + 1

часовой стрелки):

z5dz

z

+ 1

dz

a) |zH|=2

dz;25 b) |zH|=2

;

c) |zH|=2

;

z

1 + z6

1 + z6

z11

d) |zH|=4

z

dz; e) |zH|=3

z

dz; f)

|zH|=2

dz;

(z2 + 4)4(z3 − 2)6

1 + z12

1 + z12

1000z + 2

1

g) |zH|=2

dz;

h) |zH|=1 z2 sin

dz.

1 + z1224

z

46. Вычислить несобственные интегралы:

∞ x2 + 1

∞

xdx

a)

dx;

b)

(x2 + 4x + 13)2 ;

0

x4 + 1

−∞

R

dx

R

x2 + 1

c) R∞

d)

∞R

dx;

(x2 + a2)2(x2 + b2)2 ;

−∞

0

x6

+ 1

e)

∞

xdx

f)

∞

dx

;

;

−∞

x4 + 8x2 + 16

0

x4

+ 8x2 + 16

R

x sin xdx

R

x2 cos x

g)

∞R

;

h)

∞R

dx;

−∞

x2 + 4x + 20

0

(x2 + 1)2

R

−

i)

∞

x cos xdx

−∞

x2

2x + 10

.