Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.Г. АТАПИН
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
МАТЕМАТИКИ
МНОЖЕСТВА, ГРАФЫ,
КОМБИНАТОРИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2016
1
УДК 519.1(075.8)
А 92
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент С.Н. Веричев
канд. техн. наук, доцент А.А. Рыков
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
для студентов факультета летательных аппаратов всех форм обучения
Атапин В.Г.
А 42 Специальные главы математики: множества, графы, комби-
наторика: учеб. пособие / В.Г. Атапин. –
Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2016. – 83 с.
ISBN 978-5-7782-2882-5
Рассматриваются взаимно связанные друг с другом разделы дискретной математики: теория множеств, теория графов, комбинаторика. Изложение сопровождается большим количеством примеров.
В конце каждой главы приводятся упражнения для самостоятельного
решения.
Пособие предназначено для студентов факультета летательных
аппаратов всех форм обучения и может быть полезным для студентов
других факультетов при изучении курса
дискретной математики.
УДК 519.1(075.8)
ISBN 978-5-7782-2882-5 Атапин В.Г., 2016
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................. 4
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ..................................................................... 5
1.1. Термины и определения ................................................................................ 5
1.2. Операции над множествами. Основные законы ....................................... 13
Упражнения к разделу 1 ........................................................................................ 21
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ .......................................................................... 26
2.1. Основные понятия ....................................................................................... 26
2.2. Ненаправленные графы ............................................................................... 28
2.3. Соотношения между числом вершин и числом ребер .............................. 30
2.4. Непрерывные пути по графам .................................................................... 31
2.5. Подграфы ...................................................................................................... 32
2.6. Связные графы ............................................................................................. 33
2.7. Деревья .......................................................................................................... 35
2.8. Направленные (ориентированные) графы ................................................. 37
Упражнения к разделу 2 ........................................................................................ 39
2.9. Приложение
Упражнения к разделу 2.9 ..................................................................................... 58
к теории графов. Сетевое планирование ............................. 42
3. КОМБИНАТОРИКА ......................................................................................... 60
3.1. История развития ......................................................................................... 60
3.2. Задачи и проблемы комбинаторики ........................................................... 63
3.3. Основные понятия и теоремы комбинаторики .......................................... 64
3.4. Связь комбинаторики с другими разделами математики
и техническими приложениями .................................................................. 74
Упражнения к разделу 3 ........................................................................................ 78
Заключение ............................................................................................................. 81
Список литературы ................................................................................................ 82
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие ставит своей целью ознакомить учащихся с разделами дискретной математики, а именно теорией множеств,
теорией графов и комбинаторикой, имеющих широкое применение в
практических приложениях. В отличие от классической математики,
которая занимается изучением непрерывных бесконечных структур,
дискретная математика представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур
тематике отсутствуют такие понятия, как бесконечное множество, предельный переход, непрерывность, дифференцируемость и т. д.
Изложение сопровождается большим количеством примеров, иллюстрирующих теоретические положения. В конце каждого раздела приводятся упражнения для самостоятельного решения, помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал.
конечного порядка. В дискретной ма-
4
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1. Термины и определения
Термин «множество». В повседневной жизни и практической дея-
тельности часто приходится говорить о некоторых совокупностях различных объектов: предметов, понятий, чисел, символов и т. п. Например, совокупность деталей механизма, совокупность сборочных единиц планера самолета, чисел натурального ряда, букв русского алфавита. Человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное
собрание
стоятельный объект.
про все, взятое вместе, мы говорим: оркестр.
единственном числе: оркестр, алфавит, ряд – здесь
идея объединения. Подобное объединение необходимо, когда приходится сравнивать какие-либо совокупности между собой. В семидесятых годах XIX века немецкому математику Георгу Кантору при исследовании тригонометрических рядов и числовых последовательностей
потребовалось сравнивать между собой бесконечные совокупности
чисел. Для решения этой задачи Кантор выдвинул понятие множества,
суть которого
«набор», «ансамбль» и т. д.
понятия. Оно является в этом смысле одним из первичных понятий
науки. Поэтому вместо строгого определения обычно принимается некоторое основное положение о множестве и его элементах.
предметов, родственных по какому-либо признаку, как само-
Первая скрипка, вторая скрипка, виолончель, контрабас, флейта
А, Б, В, Г, Д, …, все вместе – алфавит.
1, 2, 3, 4, 5, …, а вместе натуральный ряд чисел.
Каждую из этих совокупностей называют существительным в
ясно присутствует
можно передать словами^ «совокупность», «собрание»,
Понятие множества нельзя определить через другие, более простые
Множество есть совокупность различных объектов
В математике понятие множества фундаментально. Обычное употребление слова «множество» в словосочетаниях типа «множество
5
любого типа.
стрелок» или «множество книг» слишком узко по сравнению с математическим понятием множества. В современной математике существует
особый раздел математики – теория множеств. Теория множеств используется во многих областях современной математики, в частности,
в теории графов, теории вероятности, линейного программирования,
комбинаторике.
Описание множества. Чтобы задать множество, достаточно каким-либо образом описать или определить его элементы.
Предметы, составляющие некоторое множество, называются его
элементами. Про них говорят, что они принадлежат этому множе-
ству.
Примеры множеств
1. Буквы алфавита: а, б, в, г, … я.
2. Первые пять четных чисел: 2, 4, 6, 8, 10.
3. Люди, чей рост выше двух метров.
Русское слово «множество» способно
ввести в заблуждение: оно
неявно подразумевает некоторое изобилие. Однако математический
термин «множество» этого оттенка не имеет. Множество может состоять всего из двух элементов (таково, например, множество естественных спутников Марса – Фобос и Деймос). Может состоять из одного
(тогда его называют единичным множеством; пример – множество
естественных спутников Земли, в котором
единственный элемент, Луна). Наконец, математики говорят про так называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Это, например, множество
естественных спутников Венеры или множество владельцев действующих вечных двигателей, множество квадратных колес, множество
кривых прямых, ….
Пример пустого множества
Каково множество корней уравнения х
2
+ 1 = 0? Если корни ищутся
во множестве вещественных чисел, то какое из них ни подставь в
уравнение вместо х, положительное или отрицательное, квадрат его
будет положительным числом. Прибавив к нему единицу, нуль никак
не получается. Множество вещественных корней этого уравнения не
содержит ни одного элемента.
Пример единичного множества
Множество корней уравнения х
− 2 = 0 – единичное, оно содержит
всего один элемент, число – 2.
6
Множества можно описать одним из следующих двух способов:
в виде списка или таблицы: все элементы множества непосред-
ственно перечисляются (см. примеры множеств 1, 2);
указанием способа конструирования множества: задается опре-
деленное правило, обычно выражаемое словами, математическими
уравнениями, неравенствами, в соответствии с которым осуществляется выбор элементов, образующих множество. Элементом множества из
примера 3 будет любой человек, чей рост выше двух метров.
Очевидно, что рассмотрение такого множества небессмысленно,
хотя практически невозможно одновременно измерить всех людей на
земле и зарегистрировать каждого столь высокого человека.
Обозначения множества. Для обозначения множеств обычно используют прописные буквы A, B, X, Y и т. д., а элементы соответству
ющего множества заключают в фигурные скобки.
Примеры
1. Запись А = {1, 4, 8, 10} означает, что множество А состоит из че-
тырех элементов 1, 4, 8, 10. Здесь множество А записано в табличной
форме.
2. Запись Х = {х: х является человеком выше двух метров} означа-
ет, что множество Х состоит из элементов х, таких, что х обозначает
человека, чей рост больше двух метров. Символ «:», использующийся
в этом примере, заменяет слова «таких, что». Здесь для множества X
указан способ его конструирования.
3. Запись Y = {y: y > 5} означает, что Y – множество всех чисел,
больших чем пять. Здесь для множества Y указан способ его конструирования.
-
Принадлежность элемента множеству: отношение
принадлежно-
сти. Символ используется для обозначения принадлежности элемента
множеству. Например, для множества Y = {y: y > 5} число 8 является
элементом этого множества, что кратко записывают 8Y и читают:
«число 8 принадлежит множеству Y». Аналогично: 19Y, 103Y и т. д.
Отрицание принадлежности к множеству обозначается симво-
лом . Так, выражение
2 Y означает, что 2 не является элементом
множества Y, и читается так: «число 2 не принадлежит множеству Y».
Замечание. Важно четко различать элемент и содержащее его множество. В частности, ошибка может произойти, когда множество состоит лишь из одного элемента. Например, если множество А содержит только один элемент, А = {
а}, то а А, но {а} А.
7
Конечные и бесконечные множества
Множество конечно (имеет конечное число элементов), если его
элементы можно пересчитать и занумеровать с помощью n
натуральных чисел.
В противном случае множество имеет бесконечное число эле-
ментов и говорят, что оно бесконечно (например, множество
натуральных нечетных чисел {1, 3, 5,...}).
Совокупность объектов счетна, если можно установить взаимнооднозначное
соответствие между этими объектами и элементами ряда
натуральных чисел 1, 2, 3,..., n. Если взаимнооднозначное соответствие
между элементами множества и элементами натурального ряда установить невозможно, то множество несчетно (например, множество точек отрезка [0, 1] на действительной числовой оси).
Примеры
1. F = {a, b, c, d}. Здесь F – конечное множество, имеющее четыре
элемента.
2. P = {х: х является книгой в Британском музее}. Хотя в Британ-
ском музее много книг, без сомнения, Р является конечным множеством.
3. R = {х: х есть натуральное число} = {1, 2, 3,....}; здесь R – беско-
нечное множество.
Выполнить упражнения 1.1
Подмножества: отношение включения
Подмножество множества А есть множество, содержащее неко-
(а возможно, и все) элементы множества А. Само множе-
торые
ство А будет своим подмножеством.
Чтобы выразить тот факт, что В – подмножество А, используют
обозначение В А, которое называют отношением включения. Его
следует читать: «В содержится (включено) в А» или, если В А (В содержит (включает) А). Например,
множество нервюр крыла самолета
является подмножеством всех сборочных единиц крыла самолета
(нервюры, лонжероны, панели и т. д.), множество положительных чисел – это подмножество множества действительных чисел.
Замечание. Если х – элемент множества В, а множество В содержится в множестве А, то, очевидно, что х будет элементом множества А. Сокращенно: «
если В А и х В, то х А».
8
Примеры
1. Множество В = {a, e, i, o, u} есть подмножество множества букв
латинского алфавита А = {a, b, c, d,..., z}.
2. Множество планет {Земля, Венера} представляет собой под-
множество множества всех планет Солнечной системы.
3. Множество чисел {4, 8, 26, 102} является подмножеством мно-
жества всех четных чисел.
Бесконечное множество непременно содержит бесконечное под
множество. Например, множество всех четных чисел бесконечно; оно
содержит в качестве подмножества множество всех чисел, кратных 4,
которое также бесконечно.
Наряду с А В в литературе можно встретить и другое обозначение А В. При этом под А В понимают такое отношение включения,
которое не допускает равенства А и В (строгое включение). Если до-
пускается А = В, то пишут А В (нестрогое включение).
Мы будем придерживаться принятого ранее обозначения как для
строгого, так и для нестрогого включения.
Отрицание включения обозначают символом . Таким образом,
В А означает, что В не является подмножеством множества А.
Вполне возможно, что несколько точек множества В, но не все,
принадлежат одновременно и множеству А. В этом случае множество В не будет подмножеством множества А. Чтобы
оно стало под-
множеством, множество А должно содержать все точки множества В.
Замечания. По определению, включение А А справедливо для
всех множеств А.
Если В А и множество А содержит точки, не принадлежащие В,
то говорят, что множество В есть собственное подмножество множества А.
-
Равенство множеств
Если
два множества имеют в точности одни и те же элементы
(т. е. если каждый элемент одного множества есть также эле-
мент другого множества и обратно), то говорят, что эти два
множества равны между собой.
Если множества А и В равны, пишут А = В. Если множества А и В
равны друг другу, пишут А ≠ В.
не
Условия равенства множеств. Если оба утверждения А В и
В А справедливы, то А = В. Это следует из определений отношений
равенства и включения.
9
Примеры
1. {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}. Следует обратить внимание, что множе-
ство не изменится при изменении порядка его элементов.
2. {1, 2, 3, 4} = {1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 3}. Оба множества содержат лишь
четыре различных элемента, а именно 1, 2, 3, 4. На практике никогда не
следует записывать множества так, как записано справа. Повторяющиеся элементы, если они даже беспрестанно встречаются, не играют роли в операциях
над множествами, и потому нет необходимости их за-
писывать.
3. {д, а, с} = { х: х – буква в слове «сад»}.
Непересекающиеся множества
Два множества называются непересекающимися, если они не
имеют общих элементов.
Примеры
1. Множества {1, 3, 5, 7, 9} и {2, 4, 6, 8} непересекающиеся.
2. Множество гласных и множество согласных букв не пересекаются.
Пустое множество.
Для множества, не имеющего элементов, вво-
дится специальный символ. Такое множество называется пустым
множеством и обозначается символом . Иногда его называют нулевым множеством.
Примеры
1. { х: х является женатым холостяком}.
2. { х: х есть действительное число, квадрат которого равен (– 1)}.
3. { х: х – ящерица, живущая на Луне}.
Видно, что
в каждом из этих множеств нет ни одного элемента, и к
каждому применим термин «пустое множество» и обозначение .
Важно различать множества , {}, {0}. Второе и третье множе-
ства не пустые, каждое из них содержит по одному элементу. Второе
служит примером множества, элементы которого представляют собой
также множества (см. раздел «Классы
множеств»).
Пустое множество будет подмножеством всякого множества, т. е.
Х для любого множества Х. Очевидно, что все элементы пустого
множества будут также и элементами множества Х, поскольку множество вообще не имеет элементов.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]