Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
2.4. Непрерывные пути по графам
Рассмотрим граф, изображенный на рис. 2.9. Пусть вершины – это
города, а ребра – дороги. Последовательность ребер е
ляет непрерывный маршрут из города v
Последовательность е
, е3, е2, е1 составляет
2
непрерывный маршрут из города v
, далее – в город v3, затем обратно в v2
род v
2
и к городу v
Последовательность е
кольцевой маршрут из города v
и обратно к начальной точке v
.
1
, е6, е4 задает
5
через v4 и v5
3
.
3
в v5.
1
в го-
3
v
Из этого примера ясно, что можно выделить различные типы дви-
жения по графу, рассмотрение которых приводит к возникновению
понятий и идей, имеющих основополагающее значение в теории графов. С их помощью удается классифицировать графы на несколько
типов, важных при формулировке большинства задач. Приведем соответствующие определения.
, е2, е5, е6 состав-
1
v
2
1
e
1
Рис. 2.9
e
2
v
3
e
3
v
5
e
e
5
4
v
4
e
6
Цепи. Цепью называется любая
, обладающая тем свойством, что для каждого ребра, кроме первого и
е
n
последовательность ребер е1, е2, …,
n-го, одна из его вершин является общей с предыдущим ребром, а вто-
рая – с последующим.
Цепь называется простой, если каждое ребро встречается не более
одного раза, в противном случае цепь сложная.
Число ребер n называется длиной цепи.
Примеры
графе, изображенном на рис. 2.10, последовательность е1, е2,
1. В
, е4 представляет собой простую цепь, идущую от v1 к v4.
е
3
e
1
v
1
e
2
v
2
Рис. 2.10
2. В следующем графе (рис. 2.11) е
которой равна 4 и которая идет от v
цепь, длина которой равна 5; е
e
3
e
4
v
3
v
4
v
2
e
1
v
1
e
e
2
v
3
v
e
4
4
6
e
5
e
3
v
5
Рис. 2.11
, е2, е3, е5 – простая цепь, длина
1
к v5; е1, е6, е4, е3, е6 – сложная
, е3, е6 – простая цепь, идущая от v2 к v2.
2
1
31
Циклы. Рассмотрим последовательность ребер (цепь), начинаю-
щуюся в вершине v
Если v
и vn – различные вершины, то последовательность называ-
0
и кончающуюся в вершине vn.
0
ется открытой.
Если v
≡ vn (т. е. последовательность начинается и кончается в v0),
0
то последовательность называется замкнутой.
Замкнутая цепь называется циклом.
Замкнутая простая цепь называется простым циклом.
Замкнутая сложная цепь называется сложным циклом.
Если каждая вершина в цикле (в цепи) встречается только один раз
(кроме первой вершины в цикле), то цикл (цепь) называется элемен-
тарным (элементарной).
e
4
e
1
v
v
1
e
2
e
7
v
5
Рис. 2.12
e
2
e
5
e
3
e
6
v
4
8
e
9
Примеры
1. На рис. 2.12 изображен граф,
ром е
v
3
1
нами v
(кроме v
ментарного цикла.
v
6
2. е
нами v
так как v
, е5, е6, е2 – это простой цикл с верши-
, v2, v3, v4, v1. Так как никакая вершина
1
) не повторяется, то это пример эле-
1
, е4, е5, е6, е2 – простой цикл с верши-
1
, v2, v2, v3, v4, v1. Он не элементарен,
1
встречается дважды в последова-
2
тельности вершин.
, е8, е3, е4, е5, е6, е7 – сложный цикл (он замкнут, и е7 повторяю-
3. е
7
щееся ребро).
2.5. Подграфы
Рассмотрим граф G = (V, Е), показанный на рис. 2.13; часть его об-
ведена пунктирной линией.
Множество вершин V = {v
множество ребер E = {e
ляют граф G
= (V1, Е1). Граф G1 будем
1
4
, v4, v5, v6} и
3
, e5, e9, e10} состав-
называть подграфом графа G.
Будем говорить, что G
= (V1, Е1) пред-
1
ставляет собой подграф графа G = (V, Е),
если:
V и Е1 Е;
1) V
1
32
e
v
1
e1e
6
v
e
2
v
3
e
8
2
e
7
3
e
v
4
e
4
Рис. 2.13
5
v
6
на кото-
v
5
e
9
e
10
2) каждое ребро в Е1 имеет те же самые концевые точки в G, кото-
рые оно имеет в G
3) концевые точки каждого ребра из Е
;
1
лежат в V1.
1
2.6. Связные графы
Граф называется связным, если для каждой пары различных вер-
шин существует, по крайней мере, одна цепь, их соединяющая. В противном случае граф называется несвязным.
Примеры (рис. 2.14):
Связные графы Несвязный граф
Связные компоненты. Рассмотрим граф, изображенный на рис. 2.15,
сначала не обращая внимания на пунктирные линии. Этот граф несвязен; в
нем нет, например, цепей, соединяющих v4 и v13. Однако он может быть разделен на три подграфа, каждый из которых связен (на чертеже подграфы окружены пунктирными линиями). Связный подграф
называется компонентой исходного графа.
v
1
v
3
v
2
v
v
5
v
4
6
v
7
Рис. 2.14
v
8
Рис. 2.15
v
10
v
9
v
13
v
12
v
11
33
Следовательно, любой конечный граф может быть разделен на
компоненты следующим образом.
1. Выберем произвольную вершину v в V. Определим все вершины,
которые могут быть соединены с v цепью. Множество этих вершин,
содержащее вершину v, обозначим V
множеством V
, будет компонентой. (Заметим, что если v изолирована,
1
. Тогда подграф, определяемый
1
то ({v}, ) есть компонента.)
2. Выберем произвольную вершину u, принадлежащую V, но не
принадлежащую V
с u какой-либо цепью (u включается в V
. Пусть V2 – множество всех вершин, соединяемых
1
). Тогда V2 определяет другую
2
компоненту.
3. Будем повторять процедуры 1 и 2 до тех пор, пока в V не останется вершин, не принадлежащих одному из множеств V
, V2, … Так
1
как V конечно, то последовательность компонент должна быть конечной. Обозначим последнее множество вершин V
Тогда множество компонент, определяемых V
.
k
, V2, …, Vk, дает раз-
1
биение графа G на связные компоненты.
Пример
Вернемся к графу, изображенному на рис. 2.15. Начнем процесс
разбиения с выбора вершины v
v
, v10 могут быть соединены с v9 цепью. Следовательно, V1 = { v7, v8, v9,
8
v
} определяют компоненту (обведена пунктиром).
10
Выбрав далее v
находим, что V
жеством V
, обведена пунктиром.
2
в качестве вершины из V, не принадлежащей V1,
3
= {v1, v2, v3, v4, v5, v6}. Компонента, определяемая мно-
2
Остаются лишь вершины v
цепью, поэтому V
= {v11, v12, v13} определяет третью компоненту.
3
В V больше нет вершин, которые не входили бы в V
. После этого видим, что вершины v7,
9
, v12, v13. Они могут быть соединены
11
, V2 или V3, нет
1
также и ребра, которое не принадлежало бы одной из этих компонент.
Теорема. Если граф G = (V, Е) обладает k компонентами и V
…, V
есть множество вершин, определяющие эти компоненты, то
k
V
, V2, …, Vk задает разбиение V, т. е.
1
≠ , i = 1, 2, 3, …, k;
(1) V
i
(2) V
Vj = , i ≠ j;
i
k
(3)
1
i
VV
i
34
, V2,
1
2.7. Деревья
E
В процессе изучения сетевых задач можно выделить тип графа,
обычно называемый деревом.
Пример
На рис. 2.16 изображено дерево. Заметим следующее:
(1) G связен и не имеет циклов;
(2) | Е | = | V | – 1.
e
1
v
1
e
2
Вопросы. Можно ли добавить ребро, не добавляя вершину, так,
чтобы цикл не образовался? Сколько циклов можно образовать добавлением одного ребра
ся связным? Существует ли пара вершин, которые можно соединить
более чем одной цепью?
Ответы на приведенные вопросы наводят на мысль, что можно дать
несколько эквивалентных определений дерева. Мы объединим шесть
определений в форме теоремы. Каждое, начиная со второго, выводится
из предыдущего, а
утверждений можно найти в литературе.
v
4
e
3
v
2
v
6
e
6
v
3
v
e
5
4
e
5
e
e
10
e
v
7
e
7
9
v
11
11
v
12
v
8
e
8
v
10
Рис. 2.16
v
9
Дерево: G (V, E).
V = {v
, v2, ..., v12}
1
= {e1, e2, ..., e11}
циклов нет
? Можно ли удалить ребро так, чтобы граф остал-
первое следует из шестого. Доказательства этих
Теорема. Пусть G – конечный граф порядка n > 1. G является дере-
вом, если верно любое из следующих утверждений:
(1) G связен и не имеет циклов,
(2) G не имеет циклов и содержит n – 1 ребро,
(3) G связен и содержит n – 1 ребро,
(4) G
не имеет циклов и, если добавить ребро, соединяющее две
несмежные вершины, то образуется ровно один цикл,
35
(5) G связен, но становится несвязным при удалении любого ребра,
(6) каждая пара вершин соединяется одной и только одной цепью.
Каждое их этих утверждений можно проверить на рис. 2.16.
Простые приложения. Здесь речь о деревьях будет идти применительно к задачам теории вероятностей; гораздо большее значение они
имеют в рамках общей теории сетей
.
Пример 1
Проводится теннисный турнир с двумя участниками А и В. Победителем считается игрок, выигравший два матча подряд или просто
три матча. Определить число возможных результатов турнира.
Решение. Дерево, изображенное на рис. 2.17, показывает все воз-
можные результаты, каждая цепь
А
В
А
А
В
В
В
Рис. 2.17
А
А
ВВВ
А
А
В
(или, скорее, последовательность
А
вершин в ней) соответствует некоторому варианту
В
ра. Вершины указывают победите-
А
лей в отдельных играх. Каждая
развития турни-
цепь прерывается в случае, когда
игрок победил в двух последних
матчах или когда он победил в
трех играх на протяжении всей
цепи.
R
T
R
S
T
R
S
T
R
S
T
S
K,A,R
K,A,S
K,A,T
K,B,R
K,B,S
K,B,T
F,A,R
F,A,S
F,A,T
F,B,R
F,B,S
F,B,T
K
A
B
A
F
B
Рис. 2.18
36
Существует десять различных вариантов исхода турнира, а именно:
АА, АВАА, АВВ, АВАВА, АВАВВ, ВАА, ВВ, ВАВАА, ВАВВ, ВАВАВ.
Пример 2
В два учреждения (А, В) надо назначить одного из двух админи-
страторов (K, F), и они должны выбрать себе по одному секретарю из
трех имеющихся кандидатов (R, S, T). Сколько существует
различных
комбинаций (администратор, учреждение, секретарь)?
Решение. Ответ дается набором цепей, проходящих по дереву,
изображенному на рис. 2.18, от корня до кончиков ветвей. Он содержит все возможные комбинации.
2.8. Направленные (ориентированные) графы
В предыдущих параграфах мы имели дело с графами, ребра которых не были ориентированы. В огромном числе приложений существуют отношения внутри пары объектов (вершин), которые могут
быть показаны стрелкой на линии, соединяющей пару точек. Например, граф может изображать систему городских улиц с односторонним
движением, а стрелки будут показывать направление
порта.
Пример
Направленный граф показан на рис. 2.19.
Многие понятия, требующиеся для описания структуры направленных графов, аналогичны понятиям для неориентированных
графов, однако введение направлений усложняет ситуацию и требует некоторых изменений в определениях и обозначениях. Следующая таблица дает сокращенные определения дуги,
графа, пути и цикла и
сравнивает их с аналогичными понятиями для
неориентированных графов.
движения транс-
Рис. 2.19
Ненаправленный
граф
Ребро Дуга: ориентированное ребро
G (V, E). G (V, А): А – множество дуг
Цепь
Цикл Цикл: замкнутая последовательность дуг
Направленный граф
Путь: открытая последовательность дуг
(к концу одной примыкает начало другой)
37
Граф можно представить также матрицей смежности. Строки и
столбцы этой матрицы соответствуют вершинам графа, а ее (i, j) – элемент равен числу кратных ребер, связывающих вершины vi и vj (или
направленных от вершины vi к вершине vj для орграфа).
Неориентированный граф Матрица смежности
Ориентированный граф Матрица смежности
Матрица смежности неориентированного графа всегда симметрична, а орграфа – в общем случае несимметрична.
Свойства матриц смежности:
неориентированным ребрам соответствуют пары ненулевых эле-
ментов, симметричных относительно главной диагонали матрицы;
дугам соответствуют ненулевые элементы матрицы;
петлям соответствуют ненулевые элементы главной диагонали;
в столбцах и строках, соответствующих изолированным верши-
нам, все элементы равны нулю;
элементы матрицы простого графа равны 0 или 1, причем все
элементы главной диагонали нулевые.
38
УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 2
Упражнения 2.1
1. Запишите множество V вершин и множество Е ребер графа, изо-
браженного на рис. 2.20.
Определить:
(1) изолированную вершину,
(2) концевые точки е
инцидентное v
и v3, (4) петлю, (5)
2
, (3) ребро,
4
v
1
пару параллельных ребер, (6) ребра, смежные с е
смежные с е
3
, (7) вершины,
3
.
2. Начертите графы (1), (2) и (3) по следующим наборам данных.
(1) Множество вершин V = {v
, e3, e4, e5}; e1 и e3 – петли с концевыми точками v2 и v4 соответствен-
e
2
но; e
инцидентно v1 и v4; e4 инцидентно v1 и v2; v2 и v4 – концевые точ-
2
ки для e
. Присутствуют ли здесь изолированные вершины; параллель-
5
, v2, v3, v4}; множество ребер E = {e1,
1
ные ребра? Можно ли достичь любой точки, выходя из v
(2) Множество вершин V = {v
= {e
, e2, e3, e4, e5, e6, e7}; ребро e1 имеет концевые точки v1 и v4; e2, e3,
1
– параллельные ребра; e5 инцидентно v3 и v4; e6 инцидентно v3 и v5;
e
4
v
– концевая точка ребра e4; e7 – петля, инцидентная v5; изолирован-
4
, v2, v3, v4, v5}; множество ребер E =
1
ные вершины отсутствуют.
(3) Множество вершин V = {v
, v2, v3, v4}; множество ребер E =
1
(т. е. пустое множество). (Замечание: граф может иметь вершины и не
иметь ребер, но не наоборот; графы, у которых E = , называются вырожденными.)
3. Начертите граф V = {v
обладает концевыми точками v1, v2; e2 имеет концевые точки v2,
e
1
v
; e3 инцидентно v2 и v6; e4 имеет концевые точки v3, v5; e5 инцидентно
3
и v4. Можно ли провести путь от v1 к любой другой вершине? Мож-
v
3
, v2, v3, v4, v5, v6}; E = {e1, e2, e3, e4, e5}:
1
но ли построить путь от произвольной вершины до любой другой вершины? Можно ли пройти от одной вершины к любой другой одним
путем, а возвращаться другим?
Граф этой задачи – пример дерева с корнем v
суждаться более подробно далее.
v
5
e
2
e
1
v
3
e
3
v
2
v
4
e
4
Рис. 2.20
?
1
. Деревья будут об-
1
Упражнения 2.2
1. Напишите числа | V |, | Е | и степени всех вершин для каждого из
графов, изображенных на рис. 2.21, а, б.
39
A
C
v
1
v
2
v
3
a
v
4
v
v
2
1
v
6
v
5
б
Рис. 2.21
v
3
2. Для каждого из графов, показанных на рис. 2.21, а, б, определите
величину суммы
()vVv
и сравните ее с | Е |. Установите закономер-
ность, связывающую эти два числа.
Упражнения 2.3
1. В графе, изображенном на рис. 2.22, обозначьте вершины и определите множества V, E. Вы-
числите величины | Е |,
Рис. 2.22
2. Граф, показанный на рис. 2.23, представляет собой часть карты,
на которой изображены дороги, соединяющие города A, B, C, D, E.
Определить:
(1) сколько здесь различных
дорог, соединяющих города
(чему равно | Е |)?
(2) можно ли пройти из дан-
D
ного города в любой другой
только по указанным дорогам?
(3) обозначьте дороги и запишите все маршруты, соединяющие город А с городом С. (Запишите
их в виде последовательности ребер, например, е
пользуйте данные ребра более одного раза в одном маршруте.)
(4) назовем длиной маршрута число ребер в последовательности.
Тогда определите длину каждого из маршрутов, полученных в упражнении 3.
()vVv
.
B
Рис. 2.23
, е2, е3, …. Не ис-
1
E
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]