Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
где он был членом Петербургской академии наук. Так, задача о Кёнигсбергских мостах (ныне г. Калининград) – можно ли обойти мосты в
Кёнигсберге так, чтобы не побывать дважды на одном и том же мосту – послужила основой для развития топологии и теории графов.
Работы Паскаля, Ферма, Лейбница и Эйлера позволили говорить о
комбинаторике как о самостоятельной ветви математики, тесно связанной с другими областями науки, такими как теория вероятностей,
учение о рядах [2].
► Приведем некоторые приложения комбинаторных методов.
Шифры. Дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали
сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти
шифры разгадать. Применялись шифры, основанные на комбинаторных
принципах, например, на различных перестановках букв, заменах
букв с использованием ключевых слов и т. д.
Иероглифы и клинопись. Навыки в разгадке сложных шрифтов помогли ученым в расшифровке древних письменностей и клинописных
надписей. Это был успех комбинаторного метода в чтении забытых
письменностей, основанного на наблюдениях над текстом, на сопоставлении повторяемости
комбинаций слов и грамматических форм в
сочетании с соображениями, связанными с назначением надписи, временем и условиями ее составления и т. д.
Химия. 17 февраля 1869 года был открыт периодический закон химических элементов. Это открытие было сделано Дмитрием Ивановичем Менделеевым, профессором Петербургского университета. Готовя
курс лекций по общей химии, он
задумался над порядком, в котором
следовало рассказывать об элементах. Он стал группировать друг с другом похожие элементы. Далее Менделеев попробовал расположить в
правильном порядке и сами группы. Как писал позднее Дмитрий Иванович: «Искать же чего-нибудь, хотя бы грибов, или какую-нибудь зависимость, нельзя иначе, как смотря
и пробуя». Для того чтобы «смотреть
и пробовать», он стал подбирать, написав на отдельных карточках элементы с их атомными весами и коренными свойствами, сходные элементы и близкие атомные веса. В результате ученый после напряженных размышлений нашел правильное расположение элементов.
Но не только в открытии периодической системы элементов оказа
лась полезна комбинаторика. Как известно, среди органических соединений встречаются изомеры, т. е. соединения, имеющие один и тот же
состав, но разное строение. Комбинаторика дала возможность перечислить изомеры данного состава.
61
-
В биологии комбинаторика успешно использовалась при изучении
передачи генетической информации у бактерий, при расшифровке
строения дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК, 1953 г.). В физике
комбинаторика используется при изучении свойств кристаллов, описании модели ферромагнетизма.
► На протяжении двух с половиной столетий в изучении природы
широко применялся математический анализ – дифференциальное и
интегральное исчисления, дифференциальные уравнения
математической физики, вариационное исчисление и другое. Процессы, имевшие
атомистическую (прерывную, дискретную) природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применять к ним развитый аппарат
бесконечно малых величин. Дискретная математика долгое время имела ограниченное применение.
С появлением быстродействующих ЭВМ ситуация изменилась. Такие абстрактные области математики, как математическая логика, об
щая алгебра, стали прикладными – для составления алгоритмических
языков, на которых пишут программы для машин, нужны специалисты
именно в этих областях математики. Важную роль стали играть разностные схемы, исследования решеток и их свойств. Приложения к
экономике поставили перед математиками новые типы проблем, относящиеся к математическому программированию и, в частности,
к целочисленному программированию (если при решении задачи окажется,
что самым экономичным будет грузить на платформу по 3,5 автомашины, то решение придется пересматривать).
Изменилось и положение области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей
, она превратилась в
область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали
выходить журналы по комбинаторике и книги. С помощью ЭВМ стало
возможно делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет.
-
► Определим термин «комбинаторика» следующим образом. Ком-
бинаторика является разделом дискретной математики, содержанием
которого является решение задач выбора и расположения
элементов
некоторого множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинаторной конфигурации. Поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств этих конфигура-
62
ций, условиями их существования, алгоритмами построения и оптимизацией этих алгоритмов.
Комбинаторика связана с такими разделами математики, как теория множеств, теория графов, теория вероятностей, теория чисел и др.
Комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов,
статистике, математическом программировании, вычислительной математике, планировании экспериментов.
3.2. Задачи и проблемы комбинаторики
С точки зрения теории множеств комбинаторика изучает подмножества конечных множеств, их объединения и пересечения, а также
различные способы упорядочивания этих подмножеств [2]. Первую
задачу комбинаторики можно сформулировать так.
1. Найти конфигурацию элементов, обладающую заранее задан-
ными свойствами.
В некоторых случаях такую конфигурацию удается найти сразу.
Например, требуется расположить 10 точек и 5 отрезков
каждом отрезке было по 4 точки. Примером такой
конфигурации является пятиконечная звезда (рис. 3.1).
Бывает, что искомая конфигурация не складывается. Так, шахматист, рассчитывающий комбинацию,
или специалист по шифрам, придумывающий новый
код с заранее заданными свойствами, не знают заранее,
существует ли то, что они ищут.
Таким образом, возникает вторая
задача комбинаторики.
2. Доказать существование или отсутствие конфигурации с за-
данными свойствами.
Во многих случаях, однако, бывает недостаточно найти одну конфигурацию с заданными свойствами, а требуется описать все такие
конфигурации и найти их число. Например, можно потребовать найти
не одно, а все возможные расположения 10 точек на 5 отрезках, при
которых на
каждом отрезке лежат по 4 точки. Можно доказать, что
кроме изображенной пятиконечной звезды есть еще пять расположений с таким свойством (рис. 3.2). Любое другое расположение с требуемыми свойствами отличается от одного из указанных шести лишь
размерами отрезков, но не их взаимным расположением.
В результате можно сформулировать две проблемы комбинатори-
ки [2],
которые в XVIII и XIX вв. исчерпывали все содержание этой
науки.
63
так, чтобы на
Рис. 3.1
Рис. 3.2
3. Найти общее число конфигураций с заданными свойствами.
4. Описать все способы решения данной комбинаторной задачи,
дать алгоритм их перечисления.
Развитие экономических приложений математики привело к возникновению и изучению обширного и важного класса комбинаторных
задач – задач на оптимизацию.
5. Из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать опти-
мальное решение по
тем или иным параметрам.
Например, существует очень много способов прикрепить потребителей каменного угля к шахтам. Экономист будет искать способ, при
котором транспортные расходы окажутся минимальными.
Одной из классических оптимизационных задач является «задача о
коммивояжёре». Требуется наметить путь торговца, объезжающего
заданные n городов, причем он должен по одному разу побывать
в
каждом городе и проделать весь путь за наименьшее время.
3.3. Основные понятия и теоремы комбинаторики
Размещения с повторениями. Рассмотрим задачу: сколько разных
5-разрядных чисел можно составить из 10 цифр?
Пронумеруем разряды:
12345
В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр. Независимо от
того, какая цифра поставлена, во второй разряд можно также поставить одну из 10 цифр и т. д. Всего получается 10
Для двоичной системы счисления (используются только две цифры: 0 и 1) получаем 2
5
различных чисел.
Для системы с основанием k и числом разрядов n соответственно
получаем
64
5
различных чисел.
A = kn (1)
n – число позиций (разрядов); k – число элементов в каждой позиции
(цифр).
В общем виде задача формулируется так: имеется k типов предметов (количество предметов каждого типа не ограничено) и n позиций
(ящиков, кучек, разрядов). Требуется определить, сколько разных комбинаций можно составить, если в позициях предметы могут повторяться? Ответ дается формулой (1).
Пример
Сколько разных чисел может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления? В первый разряд можно поставить один из
трех символов (0, 1 или 2), во второй разряд – также один из трех символов и т. д. Всего получаем 3
10
чисел.
В некоторых случаях имеются ограничения на количество разных
предметов, которые можно помещать на позиции. Пусть, например,
имеется n позиций и на каждую i-ю позицию можно поставить k
пред-
i
метов. Сколько в этом случае существует разных расстановок предметов по позициям? Формула
n
A = k
· k2 · k3 · …· kn =
1
k
(2)
i
i
1
Пример
В эстафете 100 + 200 + 400 + 800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую – одного из 5, на
третью – одного из 6, на четвертую – единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?
По формуле (2) число вариантов 3 · 5 · 6 ·1 = 90.
Размещения без повторений.
Рассмотрим задачу: сколько разных
5-разрядных чисел можно записать с помощью десяти цифр при усло-
вии, что в числах не используются одинаковые цифры?
Пронумеруем разряды:
12345
В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9). Независимо от того, какая цифра помещена в первый разряд,
во втором можно поставить только одну из 9 цифр, в третий – одну из
65
8 цифр и т. д. Всего существует 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30 240 различных пя-
A
тиразрядных чисел, в каждом из которых нет двух одинаковых цифр.
В общем случае, если имеется k позиций и n разных предметов,
причем каждый представлен в единственном экземпляре, то количество разных расстановок
A
k
= n (n – 1) (n – 2)… (n – k +1) = n!/(n – k)! (3)
n
Здесь n! означает факториал числа n, т. е. произведение всех чисел
от 1 до n. Функция f (n), для которой
f (0) = 1, f (n + 1) = (n + 1) f (n)
при всех целых неотрицательных
, называется факториалом и обо-
n
значается n! Для любого натурального n: n! = 1· 2 · 3 · … · n.
► Замечание: 0! = 1.
Пример
Из группы в 25 человек требуется выбрать старосту, заместителя
старосты и профорга. Сколько вариантов выбора руководящего состава группы? Старосту можно выбрать одним из 25 способов. Поскольку
выбранный староста не может быть своим заместителем, то для
выбора
заместителя старосты остается 24 варианта. Профорга выбирают одним из 23 способов. Всего вариантов
25 · 24 · 23 = 25!/22! =13 800.
Перестановки без повторений. В предыдущих параграфах комби-
нации отличались как составом предметов, так и их порядком. На
практике возможны комбинации, которые отличаются только порядком.
Два размещения без повторений из n элементов (предметов) по n
состоят из
одних и тех же элементов, расположенных в различном по-
рядке. Такие размещения называют перестановками из n элементов.
Рассмотрим, сколько различных комбинаций можно получить, переставляя n предметов. Положим в (3) n = k. Тогда получим
n
nn
!
Pn
(4)
Пример
К кассе кинотеатра подходит 6 человек. Сколько существует различных вариантов установки их в очередь друг за другом?
66
Расставим 6 человек произвольным образом и начнем их переставлять всеми возможными способами. Число полученных перестановок
по формуле (4) будет равно 6! = 720.
Перестановки с повторениями. Иногда требуется переставлять
предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Такой
вариант перестановки называется перестановки с повторениями.
Пусть имеется n
предметов k-го типа и при этом n
предметов 1-го типа, n2 предметов 2-го типа, nk
1
+ n2 +…+ nk = n. Количество разных
1
перестановок предметов
, n2, …, nk) = n! / (n1! n2!... nk!) =
P (n
1
= (n
+ n2 +…+ nk)! / (n1! n2!... nk!). (5)
1
Для обоснования (5) сначала будем переставлять n предметов в
предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно n!. Далее заметим, что в любой выбранной расстановке перестановка n
одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично пере-
1
становка n
одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д.
2
Поэтому получаем выражение (5).
Пример
Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА.
В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б»,
2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т», 1 буква «р».
Таким образом, число перестановок букв этого слова равно
P (2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) =
= 13! / (2! · 2! · 1! · 1! · 2! · 1!· 2! · 1! · 1!) = 13! / 16.
Основные правила комбинаторики
Первое правило: правило произведения.
Умножение – когда для каждой комбинации первого множества
имеются все комбинации (или одинаковое число комбинаций) второго
множества.
Пусть необходимо выполнить последовательно k действий. Если
первое действие можно выполнить n
и так далее до k-действия, которое можно выполнить n
все k действий можно выполнить n
способами, второе n2 способами
1
· n2 · … · nk способами.
1
способами, то
k
Пример
Сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы раз-
67
личны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет).
Слова могут иметь смысл и не иметь.
В этом случае на первом месте 33 кандидата. Но после того как
первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами –
ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую букву уже можно повторить
, а вторую нельзя. Также
убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата.
А так как число этих мест равно пяти, то получаем ответ
33·32·32·32·32·32 = 1 107 396 236
Второе правило: правило суммы. Сложение используется, когда
множества не совместны (не пересекаются).
Если элемент х может быть выбран m способами, а элемент y – дру-
гими n
способами, то выбор «либо х либо y» может быть осуществлен
m + n способами.
На языке теории множеств это утверждение означает, что если m-
множество А не пересекается с n-множеством В, то их объединение
А В содержит m + n элементов.
Сложнее получить ответ, если множества А и
В могут пересекаться.
Пример
Нельзя определить число дней с плохой погодой из рассказа «Когда я отдыхал в сентябре в Паланге, то 12 дней шел дождь, 8 дней дул
сильный ветер, а 4 дня было холодно». Может быть, плохая погода
была 24 дня (12 + 8 + 4 = 24), а может быть, всего 12 дней нельзя было
купаться, так как шел дождь
, причем в некоторые из этих дней был,
кроме того, сильный ветер, в некоторые – еще и холодно. Для ее решения необходимы дополнительные сведения.
Итак, мы поставим следующую задачу: найти число элементов в
объединении нескольких множеств, зная число элементов в каждом из
них, а также число элементов в каждом из пересечений
этих множеств
по два, по три и т. д.
Рассмотрим случай, когда у нас всего два множества. Определить
число плохих дней из рассказа «12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, причем 5 дней были и дождливы и ветрены» уже несложно.
Если мы сложим число дождливых и ветреных дней, то в сумме
12 + 8
дней, когда погода была плоха по обеим причинам, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить количество дней с плохой
погодой, надо из суммы 12 + 8 вычесть 5. Ответ
68
12 + 8 – 5 = 15 дней
j
даст искомое число.
Главная теорема комбинаторики
(теорема о включениях и исключениях)
Пример
На предприятии работает 67 человек. Из них 48 знают английский,
35 – немецкий и 27 – оба языка. Сколько человек не знают ни англий-
ского, ни немецкого?
Результат можно получить следующим образом. Построим диаграмму Венна (рис. 3.3), на которой изобразим прямоугольник, соответствующий общему числу работающих (67) и две пересекающиеся
области А и В по 48 и 35
языки). На диаграмме общая часть этих двух областей 27 – количество
работающих, которые знают оба языка. Требуется найти область прямоугольника, не входящую ни в область А, ни в область В.
Очевидно, что
человек (знающих английский и немецкий
N = 67 – 48 – 35 + 27 = 11.
67
А ∩ В= 27
А = 48 В = 35
Рис. 3.3
Пусть имеется множество из N объектов произвольной природы.
На этом множестве пусть задано n свойств. Каждый объект может обладать либо не обладать некоторыми из этих свойств. Сами свойства
, , , ,
обозначим
123
n
. Обозначим
тов точно обладающих свойством
ми, а
(, )
N
ни свойством
− число объектов, не обладающих ни свойством
ij
. Тогда число объектов, не обладающих ни одним из
, и может быть какими-то други-
i
()
N
– количество объек-
i
,
i
перечисленных свойств,
69
(, , ,...,) –()–( –( ) ( ))
()()() ()
NNN N
12 13 14 1
() ( )( ) (1)( ).
NNN N
23 1 123 123
NN NNNN
nn n
12213 3
n
nn
Продолжение примера
Пусть теперь 20 человек знают французский, 12 – английский и
французский, 11 – английский и немецкий и 5 все три языка. Тогда в
соответствии с теоремой количество человек, не знающих ни одного из
трех перечисленных языков (но может быть знающих китайский язык),
равно
N = 67 – 48 – 35 – 20 + 27 + 12 + 11 – 5 = 9.
Решето Эратосфена (метод отыскания простых чисел, восходящий к древнегреческому
ученому Эратосфену – III век до н.э., г. Алек-
сандрия (Египет))
Выпишем все числа от 1 до N. Сколько чисел делится на k?
Очевидно, надо разделить N на k и взять целую часть получившегося частного. Тогда можно подсчитать количество чисел, не делящихся в данном диапазоне на k
, k2, k3, …
1
Пример
Сколько чисел от 1 до 100 не делятся на 5 и 7? Воспользуемся теоремой о включениях и исключениях. Под первым свойством чисел будем понимать делимость на 5, под вторым – делимость на 7. На 5 делятся 20 чисел. На 7 делятся 14 чисел. На 35 делятся 2 числа. Следовательно, не делятся на 5 и 7: 100 – 20 – 14 + 2 = 68 чисел.
Сочетания без повторений. Если
требуется выбрать k предметов
из n, и при этом порядок выбираемых предметов безразличен, то имеем
!
k
C
n
n
!!
knk
. (7)
Формула (7) может быть получена так. Выберем по очереди k
предметов из n. Число вариантов будет равно n!(n – k)! В этих расстановках k выбранных предмета имеют свои определенные позиции. Однако нас не интересуют в данном случае позиции выбранных предметов. От перестановки этих предметов интересующий нас выбор
не ме-
няется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на k!
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]