Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Комсомольский-на-Амуре государственный университет»
Д. А. Потянихин
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Утверждено в качестве учебного пособия
Редакционно-издательским советом Федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Комсомольский-на-Амуре государственный университет»
Комсомольск-на-Амуре
2022
1
УДК 539.3(07)
ББК 22.251я7
П646
Рецензенты:
Лаборатория нелинейной динамики деформирования Института автоматики
и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии
наук, зав. лабораторией кандидат физико-математических наук О. В. Дудко;
В. М. Козин, доктор технических наук, профессор, главный научный
сотрудник лаборатории проблем создания и обработки материалов и изделий
Института машиноведения и металлургии ДВО РАН
Потянихин, Д. А.
П646 Специальные вопросы теории упругости : учеб. пособие /
Д. А. Потянихин. – Комсомольск-на-Амуре : ФГБОУ ВО «КнАГУ»,
2022. – 82 с.
ISBN 978-5-7765-1508-8
В учебном пособии представлены теоретические основы распространения
волн в упругих средах. Приведены необходимые сведения из тензорного исчисления, математической физики, теории поля и теории особых движущихся поверхностей разрывов. Задачи о распространении и отражении гармонических
волн представлены в контексте моделирования: от выдвижения той или иной гипотезы (об одномерности или двумерности движения, направлении распространения, закономерности затухания амплитуды волны с глубиной и т.д.) через вычисление в соответствии с принятой гипотезой компонентов тензоров деформаций и напряжений к нахождению и анализу решений уравнения движения.
Предназначено для студентов специальности 24.05.07 – «Самолето- и вертолетостроение» и аспирантов специальности 1.1.8 – «Механика деформируемого твердого тела».
УДК 539.3(07)
ББК 22.251я7
ISBN 978-5-7765-1508-8 ФГБОУ ВО «Комсомольский-на-Амуре
государственный университет», 2022
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ...................................... 4
1.1. Индексные обозначения .......................................................................... 4
1.2. Векторная алгебра в индексных обозначениях ................................... 10
1.3. Теорема Остроградского-Гаусса ........................................................... 12
1.4. Векторы перемещений, скоростей и ускорений ................................. 13
1.5. Тензоры деформаций и напряжений .................................................... 16
1.6. Закон Гука и уравнение движения ....................................................... 20
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ЭЛАСТОКИНЕТИКА) ................................................................................ 22
2.1. Основные сведения из теории поля ...................................................... 22
2.2. Уравнения движения изотропной среды ............................................. 23
2.3. Граничные и начальные условия .......................................................... 25
2.4. Два вида волн .......................................................................................... 26
3. ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ............................................. 29
3.1. Плоские волны ........................................................................................ 29
3.2. Примеры распространения одномерных волн .................................... 33
3.3. Гармонические волны ............................................................................ 34
4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛАМЕ .......................................................................... 37
4.1. Продольные и поперечные волны ........................................................ 37
4.2. Продольный и поперечный потенциалы ............................................. 41
5. ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН ............................................................... 43
5.1. Отражение плоской волны от свободной поверхности ...................... 43
5.2. Отражение плоской волны от абсолютно жесткой стенки ................ 52
6. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ............................................................................................. 53
6.1. Уравнение Рэлея для скорости поверхностных волн ......................... 53
6.2. Волны Рэлея в земной коре ................................................................... 58
6.3. Волны Рэлея в других средах ................................................................ 61
7. ВОЛНЫ ЛЯВА .............................................................................................. 63
8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ............................................................................ 67
8.1. Закон сохранения массы ........................................................................ 67
8.2. Закон сохранения импульса .................................................................. 71
8.3. Закон сохранения момента импульса ................................................... 72
8.4. Закон сохранения энергии ..................................................................... 73
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ РАЗРЫВОВ .......... 75
9.1. Понятие ударной волны ......................................................................... 75
9.2. Закон сохранения массы на поверхности разрывов ........................... 76
9.3. Закон сохранения импульса на поверхности разрывов ...................... 78
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................. 80
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................. 81
3
ВВЕДЕНИЕ
При изучении стандартного курса «Теории упругости» лекторы часто ограничиваются изучением только задач о равновесии упругих тел, если и рассматривая динамические задачи, то только поверхностно. Задачи
динамики требуют от студентов развитого пространственного мышления и
необходимости «настраиваться» на их восприятие. Поэтому динамическая
теория упругости была вынесена в отдельное пособие.
Автором была предпринята попытка показать изучаемые процессы в
контексте моделирования. Сначала выдвигалась та или иная гипотеза (об
одномерности или двумерности движения, направлении распространения,
закономерности затухания амплитуды волны с глубиной и т.д.), затем в соответствии с принятой гипотезой вычислялись компоненты тензоров деформаций и напряжений, находилось и анализировалось решение уравнения движения.
Автор старался по возможности делать как можно меньше ссылок на
формулы из предыдущих лекций. Все необходимые формулы и соотношения выписываются заново в начале каждого параграфа, так чтобы темы
можно было изучать отдельно друг от друга.
Для понимания содержания пособия студенты должны быть знакомы
с уравнениями математической физики (в частности, с волновым уравнением и решением Даламбера), теорией поля, основами теории упругости.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1.1. Индексные обозначения
В основе тензорного исчисления лежит понятие объекта. Под объектом мы будем понимать совокупность любых величин или функций, которые назовем элементами (составляющими) объекта. Таким образом, един-
ственным важным для нас свойством объекта является то, что он состоит
из чего-то, называемого его элементами, или может быть разложен на эти
элементы.
Элементы будем обозначать при помощи главной буквы с индексом,
например: a
, a2, a3. Объект как целое может быть обозначен одной заглав-
1
ной жирной буквой A. Вспомним, что в алгебре цифры заменяются буквами, поэтому мы можем обозначить сам объект через a
, условившись, что
i
индекс i пробегает значения 1, 2, 3. Обозначение объекта в виде главной
буквы с индексами назовем сокращенной записью, в отличие от разверну-
той, где каждый элемент объекта записывается отдельно. В развернутой
записи мы можем писать элементы в каком угодно порядке (например, в
виде строки, столбца или как-нибудь иначе).
4
Такую систему обозначений объектов называют индексной. Число
индексов у главной буквы называют порядком объекта; могут существовать объекты любого порядка. Существуют также объекты, для записи которых достаточно одной буквы без индекса (масса, работа силы и т.д.); их
будем считать объектами нулевого порядка. Число значений, которое может пробегать какой-нибудь индекс объекта, назовем измерением объекта
по этому индексу. Например, если сила (или скорость, или любая другая
векторная величина) задана тремя своими составляющими по какимнибудь трем некомпланарным направлениям, то сила есть трехмерный
объект. В дальнейшем, если специально не оговаривается, считаем, что
число измерений равно трем.
Условимся о способах развернутой записи объектов различных порядков. Объект нулевого порядка – одна буква без индекса:
.
a
Объект первого порядка – столбец:
a
1
aa
i
.
2
a
3
Объект второго порядка – строка объектов первого порядка или
квадратная таблица:
aaaa aaa
ik i i i
123 212223
Объект третьего порядка – столбец объектов второго порядка или
столбец квадратных таблиц:
aa aaa
ijk ij
aaa
11 12 13
aaa
31 32 33
aaa
111 121 131
aaa
211 221 231
aaa
311 321 331
aaaa
ij
aaaa
ij
1 112 121 132
2 212 222 232
3 312 322 332
aaa
113 123 133
aaa
213 223 233
aaa
313 323 333
.
.
Объект четвертого порядка – строка объектов третьего порядка:
aaaa
123ijkm ijk ijk ijk
,
5
и т.д. Правило для развернутой записи: объекты нечетного порядка – это
столбцы объектов порядка на единицу меньшего, а объекты четного порядка – строки объектов порядка на единицу меньшего.
Основные действия над объектами. Рассмотрим два объекта одного и того же порядка. Элементы этих объектов, обладающие одними и
теми же индексами в одном и том же размещении (т.е. занимающие одинаковые места в развернутой записи), называются соответственными.
Например, в объектах a
b
– нет.
13
и bij элементы a12 и b12 – соответственные, а a12 и
ij
Два объекта одинакового порядка и числа измерений называются
равными, если все соответственные элементы попарно равны друг другу.
Объект называется нулевым, если все его элементы равны нулю.
Равенство
ab
ii
заменяет сразу три равенства
,,.ababa b
112 23 3
Равенство
ab
ik ik
равносильно уже девяти равенствам.
Абсолютно не важно, какая буква используется для обозначения индекса. Каждое из равенств
aba ba b
,,
iik km m
имеет одинаковую развернутую запись. В обеих частях равенства должны
быть одинаковые индексы. Равенства
abc T
,
ikikim
не имеют смысла.
Суммой двух объектов одного и того же порядка называется объект
того же порядка, каждый элемент которого равен сумме соответственных
элементов слагаемых
cab
ik ik ik
.
Объекты разного числа измерений складывать нельзя.
Транспонирование применяется только к объектам порядка выше
первого. В развернутой записи оно представляет собой замену строк и
столбцов местами. В индексной записи
T
aa
ik ki
.
Если
aa
ik ki
,
aa
ikm kim
и т.д.,
6
f
то такие объекты называются симметричными по индексам i и k, а если
aa
ik ki
,
aa
ikm kim
и т.д.,
то такие объекты называются антисимметричными по этим индексам.
Умножить объект на число значит умножить на это число каждый
элемент объекта.
Каждый объект выше первого порядка можно представить как сумму
симметричного и антисимметричного
11 1 1
aaa aaa aa aa
ik ik ki ik ki ikm ikm kim ikm kim
()(), ( )( ).
22 2 2
Первые слагаемые в правых частях симметричны по индексам i и k, а
вторые – антисимметричны по i и k. Построение указанным способом из
данного объекта новых, симметричного и антисимметричного, называется
симметрированием и альтернированием заданного объекта.
Соглашение о суммировании. Свертка введена Эйнштейном и яв-
ляется одним из важнейших действий в тензорном исчислении. Если в одночленном выражении имеются два одинаковых индекса, то этот индекс
называется немым. Наличие немого индекса означает суммирование по
всем измерениям объекта. Результат этой операции называется сверткой;
часто саму эту операцию называют также сверткой, иногда свертыванием.
Пусть число измерений объекта равно N. Тогда
aaa a a a a a a a
11 22 33 1 1 2 2 3 3
ii NN iki k k k NkN
,.
Немые индексы можно обозначать как угодно, например:
aa a a a a a a
ii kk mm zz iki jkj mkm zkz
Немой индекс должен повторяться только два раза. Запись
,.
за-
a
kkk
прещена. Каждая свертка уменьшает порядок объекта на две единицы, поэтому мы можем написать
ab
ii
,
ab
mkm k
,
ac
ikim km
и т.д.
При обобщенном (тензорном, диадном) умножении каждый элемент
объекта-множимого умножается на каждый элемент объекта-множителя. В
результате оказывается, что порядок объекта-произведения равен сумме
порядков объектов-сомножителей, например:
ab c
ik ik
,
ab c
ikm ikm
,
ab c
ijk lmn ijklmn
и т.д.
Расположение индексов у сомножителей и произведения не имеет
значения. Например, два объекта
cab
ik i k
и
ik k i
ba
7
в развернутой записи одинаковы
f
s
s
ba b a ba
11 21 31
ba b a ba
ik
12 2 2 32
ba b a ba
13 23 33
,
значит
ab b a
ik k i
ab ab ab
11 12 13
cababab
ik
21 22 23
ab ab ab
31 3 2 3 3
,
, т.е. обобщенное умножение коммутативно относительно
сомножителей.
При помощи развернутой записи можно также убедиться, что обобщенное умножение дистрибутивно, т.е.
dcab cacb
ik i k k i k i k
()
;
обобщенное умножение ассоциативно относительно умножения на число
(объект нулевого порядка)
(λ )(μ ) (λμ)( )
cab ab
ik i k i k
.
Рассмотрим обобщенное умножение со сверткой. Пусть число измерений объектов равно N. Тогда
222 2
ab
ii
n = 3
abababab ab aaaaa a
ii N N ii N
Сокращенная запись вида
3
a aaa
iiii
11 2 2 3 3 1 2 3
a
i
не имеет смысла. Чтобы умножить свертку
,.
n
запрещена, потому что, например, при
бя, т.е. возвести ее в квадрат, нужно, пользуясь равенством
написать
()( )
ab a b
ii kk
.
саму на се-
ab a b
ii kk
Выражение
,
cab
ik im m k
обозначает обыкновенное матричное умножение (строка умножается на
столбец). Например, элемент c
cab ababab
23 2 3 21 13 22 23 23 33mm
в развернутой записи
23
.
Подобным же образом свертки
ab
kms
,
ab
ksm
,
ab
ks ms
означают произведения транспонированных матриц (столбец на строку,
столбец на столбец, строка на строку).
Жонглирование индексами является важным и полезным приемом.
Пользуясь произволом обозначения индексов в равенствах и немых индексов, можно, как говорят, «жонглировать индексами». В качестве примера
докажем следующее важное утверждение: свертка обобщенного произве-
дения симметричного и антисимметричного объектов по индексам симметрии тождественно равна нулю.
8
p
F
Пусть
Докажем, что
Представим
поэтому
Во втором слагаемом последней скобки была сделана замена индексов
km
Дельта Кронекера (символ Кронекера) есть объект, элементы которого
c
ikm
cc
в виде
,
ikm im k
fcb
iikmkm
bb
qqp
.
0
.
11111
ccccc cc
ikm ikm ikm ikm imk ikm imk
22222
()
11
fcb c cb cb cb
i ikm km ikm imk km ikm km imk km
()
22
11
cb cb cb cb
ikm km imk mk ikm km ikm km
22
.
,
0.
1при ,
δ
ij
0при .
ij
ij
В развернутой записи символ Кронекера идентичен единичной
матрице
100
δ010
ik
001
Символ Кронекера симметричен, т.е.
.
δδ.
ij ji
некера измерения N равна числу измерений
δδδ δ δ .
11 22 33
ii NN
Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что
она дает, например, следующие преобразования:
δδδδ
bbbbb
ij j i i i i
11 2 2 33
,
δδδ δ
ij ik i k i k i k jk
FFFF
11 2 2 33
С помощью символа Кронекера можно проводить разложение на
множители
Свертка символа Кро-
N
.
ax x ax x a x
ik k i ik k ik k ik ik k
δ(δ)
.
9
Символом Леви-Чивиты
ε
называется абсолютно антисимметрич-
ijk
ный объект, т.е. антисимметричный по любой паре индексов. Объект
ε
ijk
определяется следующим образом. Его элементы равны нулю, если хотя
бы два индекса одинаковы. Элемент ε
принимается равным +1; далее все
123
элементы, имеющие комбинацию индексов, получаемую из 1, 2, 3
четной перестановкой, равны +1, а получаемые нечетной перестановкой
равны -1.
1.2. Векторная алгебра в индексных обозначениях
Символы Кронекера и Леви-Чивиты играют важную роль в построении векторной и линейной алгебры в индексных обозначениях. Приведем
основные формулы без вывода и доказательства. Убедиться в справедливости большинства из них можно при помощи расширенной записи.
Для детерминанта, составленного из элементов объекта второго порядка
, введем обозначение
a
ik
aaa
11 12 13
aaaaa
det
ik ik
21 22 23
aaa
31 32 33
.
Согласно определению детерминанта как суммы всех произведений
элементов детерминанта по одному из каждой строки и каждого столбца,
мы можем написать
det ε
aaaa или
ik ijk i j k
123
det ε
aaaa
ik lmn l m n
12 3
.
Первая формула представляет собой способ вычисления детерминанта при помощи элементов произвольно выбираемых строк, вторая – при
помощи элементов произвольно выбираемых столбцов. В табл. 1.1 приведены некоторые важные формулы векторной алгебры в векторной и индексной формах.
Таблица 1.1
Формулы векторной алгебры в символьной и индексной формах
Векторные обозначения Индексные обозначения
Вектор
{, , }aaaa
123
a
i
Модуль вектора
aa a a a
222
123
aaa
kk
Сумма векторов
abc
abc
iii
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]