Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
p
pab
A
A
x
Продолжение табл. 1.1
Векторные обозначения Индексные обозначения
Разложение вектора по трем некомпланарным направлениям
dlambnc
ab
ab
cosφ
ab
Ортогональная проекция на заданное направление
cosφ
da b
bab
bb
Векторное произведение (
eee
123
cab a a a
123
bbb
123
Скалярное произведение
Косинус угла между векторами
2
,
,
e
e
1
– орты системы координат)
e
2
3
dlambnc
ii i i
ε
cabaaa
iijkjk
ii
ab
ii
cosφ
ab
db
ii
ab
b
kk
2
b
δδδ
123
ii i
123
bbb
123
Условие ортогональности векторов
0, λab a b
0ab
Условие коллинеарности векторов
ab
ii
ε0,λ
ab a b
ijk j k i i
0
,
,
a
c
b
Смешанное произведение трех векторов
aaa
abc b b b
123
123
ccc
123
ε
abc
ijk i j k
Условие компланарности трех векторов
0abc
ε0
abc
ijk i j k
Дифференциальные операторы (градиент, дивергенция, ротор) приведены в табл. 1.2.
Дифференциальные операторы в символьной и индексной формах
Символические обозначения Индексные обозначения
Градиент (направление наибольшего роста скалярной функции)
gradφ φ eee
12 3
φφ φ
123
xx
φ
x
i
φφ
Таблица 1.2
,
i
11
Продолжение табл. 1.2
x
x
x
x
Символические обозначения Индексные обозначения
Производная от скаляра по направлению единичного вектора
φ
gradφ n
n
φ
nn
φ
iii
x
i
,
n
Дивергенция вектора
divυ υ
υυυ
123
xx
123
υ
i
x
i
υ
ii
,
Ротор вектора
eee
123
rot υ υ
υυυ
xx
123
123
υ
εευ
j
ijk ijk k j
x
k
,
Оператор Лапласа
22 2
υυυ
φφ φ
2
123
22 2
123
xx
2
φ
xx
ii
φ
ii
,
1.3. Теорема Остроградского-Гаусса
Теорема Остроградского-Гаусса, называемая также теоремой о дивергенции, дает способ выразить интеграл по объему через интеграл по
поверхности, ограничивающей этот объем. Известная из математического
анализа формулировка утверждает, что для векторного поля
υυ(,,)
xx
123
div υ υ
VS
dV n dS
, (1.1)
n
где
вающей объем V, внутри которого определен вектор
– единичный вектор внешней нормали к поверхности S, ограничи-
.
υ
В индексных обозначениях формула (1.1) принимает вид
υυ.
dV n dS
,
ii i i
VS
(1.2)
Теорема Остроградского-Гаусса в форме (1.2) может быть обобщена
на поля тензоров любого ранга. Для тензорного поля третьего ранга
TdV TndS
,ijk k ijk k
VS
.
12
M
x
x
x
1.4. Векторы перемещений, скоростей и ускорений
Термин движение используется при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Рассмотрим некоторый деформируемый объем V, ограниченный поверхностью S, в некоторой пространственной системе координат, т.е. системе, связанной с пространством, относительно которого происходит движение. Положение любой точки М тела будем определять ее координатами
диус-вектором
{, ,}rxxx
123
. Если известны функции
(, , )
xx x
123
()
xt
ii
или ра-
(1,2,3)i
то движение выбранной точки М деформируемого тела считается заданным, т.е. определен способ, согласно которому можно указать положение
этой точки тела в любой момент времени. Так же как и в механике материальной точки функции
должны быть непрерывными и дифференци-
()
t
i
руемыми, поскольку считаем, что выделенная точка тела не может одновременно находиться в двух разных точках пространства и для ее перемещения из одной точки пространства в другую, не бесконечно близкую,
необходимо конечное время.
Основополагающим понятием механики деформируемых тел является
понятие свободного (недеформированного) состояния. Эта гипотеза состоит
в том, что некоторое состояние тела, способного деформироваться, объявляется выделенным таким образом, что деформации в нем
считаются равными нулю. В качестве свободного состояния принимается чаще всего такое, когда на тело не действуют другие тела и все его точки не имеют ускорений. Дальнейшее изложение будет проведено в рамках данной гипотезы.
Будем считать, что в свободном состоянии деформируемого тела в
момент времени
точка М имела координаты
0t
ξ,ξ,ξ
123
. Эти координа-
ты не изменяются во времени и поэтому их можно принять в качестве
«метки» выделяемой точки М. Закон движения точки М запишем в виде
,
(ξ ,ξ ,ξ , ).
xt
ii
Если в (1.3) изменять значения
123
ξ,ξ,ξ
123
(1.3)
, то получаем закон движения
другой точки объема V.
В механике деформируемых тел принимается, что занимаемый телом
объем является сплошным, т.е. в каждой его геометрической точке необходимо присутствует материальная точка тела. Если в теле имеются полости, то границу тела считают неодносвязной, присоединяя к ней и границы
полостей. Считается, что функции (1.3) осуществляют взаимно однозначное отображение объема V
, занимаемого телом в момент времени t0 = 0, в
0
объем V, занимаемый в текущий момент времени. В этом состоит вторая
основополагающая гипотеза, которая называется гипотезой сплошности.
Существование взаимно однозначного соответствия между V и V
требует,
0
13
чтобы функции (1.3) были непрерывными и дифференцируемыми по
j
j
x
x
x
x
ξ
в
объеме V и якобиан преобразования был отличен от нуля
х
х
,
ij
i
0
. (1.4)
ξ
j
Этого достаточно и для того, чтобы объем V оставался сплошным в
любой момент времени. В этом случае его граничные точки будут оста-
ваться граничными; точки, составляющие линию или поверхность в теле
в начальный момент времени, будут составлять линию и поверхность в
последующие моменты времени.
Если функции четырех переменных (1.3) известны, то движение деформируемого тела считается заданным. Такой способ задания движения
деформируемого тела называют способом Лагранжа, а координаты
ξ
называют материальными (лагранжевыми) координатами точек деформируемого тела. При описании движения по способу Лагранжа мы следим за
тем, что происходит в каждой индивидуальной точке среды. Точки среды
перемещаются, но мы следуем за ними и описываем изменение скорости,
ускорения, температуры и т.д. Можно сказать, что лагранжева система координат
ξ,ξ,ξ
123
«деформируется» вместе со средой.
Гипотеза сплошности в своем математическом выражении (1.4) позволяет ввести обратное к (1.3) преобразование, т.е. получить
ξξ(,,,)
ii
xxt
123
. (1.5)
Согласно (1.5) имеется возможность указать, какая материальная
точка объема V
находится в данной точке
0
,,
123
пространства в данный
xx
момент времени t. Такой способ задания движения тела называют способом Эйлера, а координаты его точек
,,
xx
123
называют эйлеровыми (про-
странственными) координатами. При описании движения по способу Эйлера мы изучаем, что происходит в точках пространства, через которое
движется среда. При этом нас не интересует, какие именно индивидуальные частицы проходят через рассматриваемую область. На практике удобно отождествлять лагранжевы координаты с пространственными координатами в начальный момент времени. В дальнейшем, если специально не
оговаривается, будем так и считать.
Считаем, что в начальный момент времени лагранжевы координаты
ξ,ξ,ξ
123
совмещены с пространственными координатами
компонентами
ux
iii
ξ
,,
123
, т.е. вектор, проведенный из начального положе-
xx
. Вектор с
ния точки сплошной среды в ее конечное положение, называется вектором
перемещения точки деформируемого тела. Когда движение среды задается
14
х
х
x
υ
х
х
f
в переменных Лагранжа, компоненты u
являются функциями материаль-
i
ных координат и времени
(ξ ,ξ ,ξ , ) (ξ ,ξ ,ξ , ) ξ
utxt
123 123
iii
.
Если движение деформируемой среды задается в переменных Эйлера
(1.5), то компоненты перемещения u
оказываются функциями простран-
i
ственных координат и времени
(, , ,) ξ(, , ,)
uxxxt x xxxt
123 123
iii
. (1.6)
Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (индивидуаль-
ной, субстанциональной, полной) производной по времени от этой величины. Материальную производную можно представить себе как скорость изменения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей. Материальная производная по времени от мгновенного положения частицы
есть ее мгновенная скорость.
В переменных Лагранжа (1.3) для индивидуальной частицы
ξ const
i
поэтому полная производная совпадает с частной. Следовательно, скорости υi и ускорения ai точек деформируемого тела определяются так же как
и в механике точки
,
d
υ
i
dt t t
х u
ii i
d
,
a
i
iii
222
dt t t
х u
.
222
Для вычисления компонент скорости в переменных Эйлера воспользуемся равенством (1.6) при условии, что сами пространственные координаты
,,
123
зависят от времени
xx
d
iijj
uu u du
iii i i
dt t
dх
j
dt t dt
j
u
,
υ.
(1.7)
Следует помнить, что в (1.7), как и всюду в дальнейшем, принято
правило суммирования по повторяющемуся индексу. Частную производную по времени принято для сокращения записи обозначать точкой над
дифференцируемой функцией
ff
tt
2
,
f
2
.
В соответствии с этим формулу (1.7) можно записать как
υυ
uu
iiijj
.
,
15
Полная производная по времени от скалярной функции в переменных
Эйлера, как видно из (1.7), определяется дифференциальным оператором
d
dt t x
υ
. (1.8)
j
j
Применяя его к компонентам вектора скорости, найдем соответствующие компоненты вектора ускорения точек деформируемого тела в
переменных Эйлера
υυ
d
a
iiijiiij
ii
dt t
υυ υ υυ
,,
.
Оператор полной производной (1.8) может быть применен к любому
скалярному, векторному или тензорному полю. Первое слагаемое в правой
части (1.8) характеризует скорость изменения данного свойства в фиксированной точке пространства и называется локальной (местной) скоростью
изменения. Второе слагаемое называется конвективной скоростью изменения, так как оно выражает вклад, обусловленный движением частиц в переменном поле данного свойства.
В линейном приближении различий между эйлеровыми и лагранжевыми координатами не делают, считая что
u
υ
i
i
a
,
t
υ
i
i
.
t
1.5. Тензоры деформаций и напряжений
В классической линейной теории упругости предполагается, что сами перемещения и их градиенты настолько малы, что можно не делать
различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями. В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор
перемещения u
может быть записано в следующих эквивалентных формах:
i
uu
euu
ij i j j i
2ξ ξ 2 2
111
uu
ii
ii ii
jj
().
xx
,,
В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформирование.
Рассмотрим твердое тело произвольной формы. Пусть это тело в
пространстве прямоугольных декартовых координат xyz находится в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил (рис. 1.1, а). Для
анализа и описания действия системы внешних сил на любую область
внутри тела воспользуемся методом сечений. Мысленно рассечем тело по-
16
x
y
AFB
z
x
B
ν
p
ν
p
ν
x
p
x
верхностью F на две части – A и B. Затем часть A отбросим, а ее действие
на часть B заменим силами, распределенными по сечению F таким образом, чтобы часть B оставалась в равновесии. Для тела в целом силы в сече-
нии F являются внутренними силами (рис. 1.1, б). В общем случае внутренние силы распределяются по сечению F неравномерно. Если на элементарную площадку ΔF, выделенную в сечении F, действует сила
, то при
P
ΔF→0 вводится понятие о векторе напряжения на площадке
dP
pdF
ν
.
а) б)
y
dP
ν
dF
z
Рис. 1.1. Вектор напряжений на элементарной площадке
Индекс ν обозначает, что внешняя нормаль к площадке имеет
направление
жения
. При этом направление силы
может не совпадать с направлением нормали
ν
и, следовательно, напря-
dP
. Если тело рас-
сматривается в пространстве координат xyz, то полное напряжение в той
точке тела, в окрестности которой выделена площадка ΔF, можно задавать
не только вектором напряжения
оси, по отношению к которым, как к ребрам параллелепипеда,
, но и проекциями его на координатные
ν
p
ν
пред-
ставляет собой большую диагональ, т.е.
22 2 2
ppp
ννν
yz
.
В теории упругости важное значение имеют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных к координатным осям. Если нормаль к площадке параллельна оси х, то напряжение p
, действующее на
x
этой площадке, раскладывается на три составляющих (рис. 1.2), которые
принято обозначать следующим образом:
σ
– нормальная составляющая
17
x
x
x
x
y
xy
p
x
(действует по направлению нормали к
площадке);
τ
y
и
τ
– касательные со-
z
ставляющие (действуют в плоскости
площадки).
Аналогично для площадки, нор-
xz
x
маль к которой параллельна оси у,
τ
σ
имеем набор составляющих
,
yx
τ
,
y
yz
,
а для площадки с нормалью, парал-
τ
лельной оси z, –
τ
,
zx
σ.
,
zy
Индекса-
z
ция этих нормальных и касательных
z
Рис. 1.2. Напряжения
на элементарной площадке,
перпендикулярной оси x
напряжений подчинена правилу: индекс нормального напряжения означает, что данное нормальное напряжение
действует на площадке, перпендикулярной к указанной индексом оси; ин-
дексы касательного напряжения означают, что данное касательное напряжение действует на площадке, перпендикулярной к оси, указанной первым индексом, в направлении, параллельном оси, указанной вторым индексом.
В итоге полное описание напряженного состояния в окрестностях
точки твердого тела обеспечивается системой из девяти составляющих
(компонент), совокупность которых называется тензором напряжений и
записывается в виде матрицы
στ τ
τστ
Σ
ττσ
xy xz
yx y yz
zx zy z
. (1.9)
Забегая вперед, скажем, что тензор напряжений симметричен. Доказательство этого факта будет приведено в разд. 8.
Определим напряжения на произвольно ориентированной площадке,
проходящей через точку твердого тела, в окрестностях которой напряжения заданы тензором (1.9). То есть выразим их через заданные компоненты
тензора напряжений, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям. Рассмотрим площадку ABC в координатах xyz с площадью F
(рис. 1.3). Положение площадки ABC определяется нормалью ν,
ν
направление которой может быть задано тремя направляющими косинусами
Площадка
cos( ,ν), cos( ,ν), cos( , ν).lxmynz
ABC и три взаимно перпендикулярные площадки ВОС,
АОС и АОВ, лежащие на координатных плоскостях, образуют тетраэдр
18
z
x
C
A
x
ОАВС. Если твердое тело в целом под действием приложенных к нему
внешних сил и вызванных ими напряжений находится в состоянии равновесия, то в равновесии будет находиться и принадлежащий этому телу тетраэдр ОАВС.
y
B
xz
xz
x
z
p
zy
p
y
p
x
O
xy
yx
p
z
yz
y
Рис. 1.3. Напряжения на произвольно ориентированной площадке
Из условия равновесия тетраэдра следует, что сумма проекций всех
сил на каждую из координатных осей должна быть равна нулю. Переходя
от напряжений к силам, т.е. умножая напряжения на величины площадей,
по которым они действуют, и проектируя эти силы на ось х, получим
στ τ,
xx yxy zxz
SFFn
,
νAOC y
νAOB z
.
где
SF ,
νABC
SFFl
pF F F F
νν
SFFm
,
νBOC x
Записывая аналогично условия равенства нулю сумм проекций всех
сил на оси у и z, после сокращения на F
получим выражения для проекций
ν
на координатные оси полного напряжения, действующего на произвольно
ориентированной площадке ABC:
19
plmn
p
x
p
x
p
p
ν
x
x
ν
x x xy xz
,
plmn
plmn
ν
yyx y zy
ν
zzx yz z
Теперь легко определить полное
ν
,
(1.10)
.
, нормальное
σ
и касательное
ν
τ
ν
напряжения на площадке АВС:
pppp
νννν
пипеда, ребрами которого являются проекции
σ
νν ν ν
τσp
ννν
222
yz
lpmpn
yz
22
определяется по формуле Пифагора как неизвестный
определяется как большая диагональ параллеле-
на оси координат;
ν
определяется как сумма проекций
на нормаль
ν
;
катет прямоугольного треугольника по известным гипотенузе и другому
катету.
Использование разных греческих букв для обозначения нормальных
и касательных напряжений исторически сложилось очень давно и до сих
пор используется инженерами. Однако при рассмотрении общих вопросов
механики сплошных сред использование тензорных обозначений упрощает
изложение и делает его более ясным. Декартовы координаты х, у, z будем
обозначать через x
значения 1, 2, 3. Через ν
нормали к площадке; очевидно, что ν
, x2, x3 и записывать их как xi, где индекс i принимает
1
обозначим составляющие единичного вектора
i
равны направляющим косинусам
i
нормали.
Компоненты тензора напряжения можно теперь обозначить через
σ
ij
где i, j принимают значения 1, 2, 3. Вследствие закона взаимности каса-
σσ
тельных напряжений
ij ji
. Соотношения между тензорными обозначе-
ниями и использованными выше «техническими» обозначениями очевид-
στ
σσ
ны:
11
как о тензоре
,
12
и т.д. Условимся далее говорить о тензоре напряжения
y
σ.
Формулы (1.10) можно теперь представить как
ij
σν
p
ν
iiji
.
Нормальное напряжение
σσνν
ν
ij i j
.
1.6. Закон Гука и уравнение движения
Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям,
обладают полной симметрией и называются изотропными. В этом случае
любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для
,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]