Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
(λ 2μ) ν λ 2μν ( ) 0, 2ν ( )(ν 1) 0.BB AB BAB
2 2
11 1 2 2 2 11 2 2 2
Ее решением будет
B
121
4ν ν (1 3ν )(ν 1)
A
212 12
4ν (3ν 1)
2
22
4 ν ν ( 3ν 1)( ν 1)
B
212 1 2
,
4ν ν (1 3ν )(ν 1)
A
212 12
22
22
.
Для параметров Ламе λ = µ решение примет вид
B
A
1
2
4tgβ(3tg α 1)
4tgαtgβ (3tg α 1)
2
22
4tgαtgβ (3tg α 1)
B
2
,
4tgαtgβ (1 3tg α)
A
2
22
.
22
Рис. 5.6. Амплитуды отраженных волн: продольной B1/A2
(сплошная линия) и поперечной B
для различных углов падения при
(пунктирная линия)
2/A2
ν1/4
Падающая под углом
углом
β
и вызывает распространение P-волны под углом α. Как и в случае
падающей продольной волны,
рис. 5.6. Падающая S-волна не отражается, когда
падения принимает одно из двух значений:
значениям соответствуют фазовые скорости:
β
к плоскости
βα.
Графики амплитуд приведены на
S-волна отражается под
0x
1
, т.е. когда угол
0B
2
β55,68
1
1, 776cc
или
и
2
β60
2
2cc
2
Рассмотрение вопроса о существовании критического значения ко-
эффициента Пуассона предоставляется читателю самостоятельно.
51
. Этим
.
5.2. Отражение плоской волны от абсолютно жесткой стенки
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Рассмотрим теперь отражение волны от абсолютно жесткой стенки.
Эта задача отличается от предыдущей только граничными условиями, которые здесь примут вид
u
1,1,2
x
На границе
φ ν exp ( ) ν exp ( ) ,
ψ ν exp ( ) ν exp ( ) ,
,1 2 2 2 2 2 2
(φ ψ ) 0
0
1
1
ik A ik x ct ik B ik x ct
,1 1 1 2 1 1 2
φexp()exp(),
ikA ik x ct ikB ik x ct
,212 12
ik A ik x ct ik B ik x ct
ψexp()exp().
ikA ikx ct ikB ikx ct
,222 22
Подставляя их в (5.16) и сокращая на общий множитель
exp ( )ik ik x ct
2
, получим условия для нахождения амплитуд
Если падающая волна продольная, то полагаем, что
решением (5.17) будет
производные потенциалов (5.9) равны
0x
0
x
1
u
,
2,2,1
(φ ψ ) 0
0
x
1
0
x
1
ABAB
ν0,
11 11 2 2
AB A B
112222
(5.17)
ν0.
. (5.16)
Тогда
0.A
2
B
112
A
112
ν1
ν+1
Волна не отражается, когда
гда λ = µ (коэффициент Пуассона
tgαtgβ 1
B
1
tgαtgβ 1
A
1
Графики амплитуд (5.19) представлены на рис. 5.7. P-волна не отражается при
α30,
при этом скорость
Если падающая волна является S-волной, то в выражениях (5.17)
нужно положить, что
. Это приводит к следующему решению:
0A
1
B
12
A
112
2
ν1
B
21
,
1
ν1/4
,
,
A
112
, т.е.
0B
), (5.18) приобретает вид
B
2
A
1
B
212
A
112
2
ν1
12
tgα tgβ 1
.
2cc
2
ν1
ν1
. (5.18)
ν1
. В частном случае, ко-
2tgα
. (5.19)
.
52
Рис. 5.7. Амплитуды отраженных волн: продольной B1/A1
(сплошная линия) и поперечной B
для различных углов падения при
(пунктирная линия)
2/A1
ν1/4
S-волна не отражается, если
или
0B
2
νν 1
12
. Найти данный угол
предлагается читателю самостоятельно.
6. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ
В неограниченном изотропном линейно упругом теле могут распространяться два и только два типа упругих волн. Однако когда имеется граничная поверхность, могут возникать также поверхностные упругие волны. Рэлей в 1885 г. показал, что их действие быстро затухает с глубиной и
что скорость их распространения меньше скорости волн внутри тела. Эти
волны имеют большое значение в сейсмологии и дефектоскопии.
6.1. Уравнение Рэлея для скорости поверхностных волн
Рассмотрим упругое полупространство
ся в направлении оси x
(рис. 6.1). Массовые силы отсутствуют. Такая вол-
2
на возникает, если вызывающее ее возмущение не зависит от оси x
довательно, перемещения
1112
(, ,),uuxxt
2212
, волна распространяет-
0x
1
(, ,),uuxxt
0.u
3
. Сле-
3
Возника-
ет плоское деформированное состояние, при котором компоненты тензора
53
x
x
0x
x1x3x
1
2
c
деформаций
13 23 33
мерном случае поле перемещений
можно представить в виде
В трех-
0.eee
Рис. 6.1. Волна Рэлея
поэтому остается
нии Ламе
Уравнения движения в перемещениях принимают вид
φφ φ0,
,11 , 2 2
ψψ ψ0
,1 1 , 22
u
2
u
u
1
ψψ(,,)
312
gradφ rot{0,0,ψ}u
xt
1
2
c
1
1
2
c
2
или
φεψ
gradφ rot ψu
или
u
,,
i i ijk k j
i, j, k = 1, 2, 3.
В двумерной задаче при плоских деформациях две компоненты
векторного потенциала
ψ = ψ 0
12
. Тогда поле перемещений в представле-
φψ,
или
u
1,1,2
u
2,2,1
22 2
φφ1φ
2222
xxct
121
22 2
ψψ1ψ
2222
xxct
122
φψ.
0,
(6.1)
0.
,
,
Продольный и поперечный потенциалы являются волновыми функ-
циями, скорости их распространения
1
(λ 2μ) / ρc
и
соответ-
μ/ρc
2
ственно. Будем искать их в виде
φ()exp(ω ),
xitkx
11 2
(6.2)
ψ()exp(ω ),
21 2
itkx
т.е. предполагается, что волна гармоническая распространяется вдоль оси
x
с фазовой скоростью (пока неизвестной)
2
глубины x
. Подставляя (6.2) в (6.1), получим
1
2
α
exp (ω ) exp (ω ) ( )
2
x
1
itkx itkx k
2α 2
1
где
α1,2
.
Сокращая на
c
exp (ω )itkx
exp (ω ) ( ω ) 0,
α2
2
α
22
xc
itkx
и группируя, получаем
2
α
22
1α
ω
2
α
, амплитуда зависит от
ω/ck
2
2
0k
54
x
x
x
x
B
или
2
ν0,
ααα
22
22 2
ν10.
α
ω
kk
22
cc
αα
c
(6.3)
Общее решение однородного линейного уравнения (6.3) имеет вид
νν
xx
νν
α1 α1
De Fe
αα α
xx
11 1
22 2
11 11
De Fe
νν
21 21
De Fe
,
x
.
Среди всех таких решений нас интересуют только те, которым соответствует уменьшение амплитуд волн с глубиной. Для этого надо положить
12
. Окончательно получим
0DD
ν
Ae
11
()
11
,
()
xBe
21
ν
21
. (6.4)
Условия задачи требуют обращения в нуль напряжений на границе
полупространства (условие свободной границы)
σ0
n
ij j
Вектор нормали к плоскости
x
1
1
.
0
имеет компоненты
0x
{ 1,0,0}n
поэтому условие свободной границы приводит к соотношениям
σ0
11
x
1
,
σ0
0
21
x
1
,
σ0
0
31
x
1
, (6.5)
0
причем третье условие выполнится тождественно вследствие плоского деформированного состояния.
По закону Гука
σλ( )2μ (λ2μ) λ,
11 11 22 11 1,1 2,2
ee e u u
σ2μ μ( ).
12 12 1,2 2,1
euu
Выражая градиенты перемещений через потенциалы
φψu
1,1 ,11 ,12
,
φψu
1,2 ,12 ,22
,
2,1 ,12 ,11
φψu
,
2,2 ,22 ,12
φψu
,
получим
σ(λ2μ)φ2μψ λφ,
11 ,11 ,12 ,22
(6.6)
σμ(2φψ ψ).
12 ,12 ,22 ,11
,
Подставляя (6.4) в (6.2), после простых преобразований получим
φexpν (ω ),
Axitkx
11 2
ψexpν (ω ).
xitkx
21 2
55
Дважды дифференцируя, находим
φ ν exp ν (ω ) , ψ ν exp ν (ω ) ,
,11 1 1 1 2 ,11 2 2 1 2
φ ν exp ν (ω ) , ψ ν exp ν (ω ) ,
,12 1 1 1 2 ,12 2 2 1 2
φexpν(ω),ψexpν(ω).
,22 1 1 2 ,22 2 1 2
На границе полупространства
φνexp(ω ),ψνexp(ω),
φνexp(ω),ψνexp(ω),
φ exp (ω ) , ψ exp (ω ) .
22
A xitkx B x itkx
i kA x i t kx i kB x i t kx
kA x i t kx kB x i t kx
,11 1 2 ,1 1 2 2
,12 1 2 ,12 2 2
,222,222
22
Aitkx Bitkx
эти производные примут вид
0x
1
22
ikA i t kx ikB i t kx
22
kA itkx kB itkx
(6.7)
Подставляя (6.6) в (6.5) с учетом (6.7), придем после сокращения на
экспоненту к однородной системе уравнений относительно A и B
22 2
λν 2μν 2μ ν 0,
kAikB
112
2μ ν μ ν 0.
ik A k B
12
22
(6.8)
Условие существования нетривиального решения (волны) системы (6.8)
22 2 22 22
λν 2μν μ ν 4μ νν 0.kkk
11212
(6.9)
Выполним последовательные преобразования (6.9)
(λ 2μ)ν λ ν 4μ ν ν .kk k
Возводим в квадрат обе части, заменяя
(λ 2μ) λ 16μ .kkkk kkk
Разделим на
(λ 2μ) ω λ ω ω ω
μμkc kc kc kc
2222
ωωωω
2222 2422
2222
cccc
1212
28
μ k
121611
2222
22 22 22 22
1212
2222 2
1212
22
ν kc
1
2
2
2
2
2
ω
22
ν kc
,
2
2
1
2
ω
2
2
.
Сделаем преобразование в квадратной скобке
2
(λ 2μ) λ (λ 2μ) ω ω ω ω
μμ μkc kc kc kc
22 22
21611.
22 22 22 22
12 12
2
:
56
Заменим
λ2μμc
22 1611,
Обозначим
ωω ωω
kc kc kc kc
22
cc
2
22
cc
12
2
1
2
c
2
22
22 22
22 22 22 22
22 12
4
222
ωωω
21611
22 22 22
kc kc kc
212
, где с
η1θ,
, с2 и с – фазовые скорости про-
1
.
дольной, поперечной и поверхностной волн соответственно. Тогда
22
ω
22 2
kc c
c
22
η
2222
ω
,
22222
kc c c c
ccc
1112
2
θη
.
Тогда из (6.9) получаем уравнение
2η 161θη1η
4
2
или, раскрывая скобки
Корень
η0
и перенося все слагаемые в левую часть равенства:
32
ηη 8η (24 16θ)η 16(1 θ) 0
.
не соответствует условиям задачи, поскольку это озна-
чало бы отсутствие поверхностной волны. Уравнение
32
η 8η (24 16θ)η 16(1 θ) 0
(6.10)
называют уравнением Рэлея. Оно имеет три корня. Легко заметить, что
значения корней (6.10) не зависят от частоты
, потому что она не входит
ω
в уравнение. Они зависят только от величины
2
c
2
θ
2
c
1
2
Согласно формуле бинома Ньютона
ab Cab
Отсюда получается
4
004 113 222 331 440 04 13 22 31 40
44444
4
2η η 8η 24η 32η16
μ12ν
λ2μ 2(1ν)
n
n
0
k
43 2
kknk
n
.
,
46 4ab CabCabCabCabCab ab ab ab abab
,
57
где
ν
ν
ν
x
x
A
– коэффициент Пуассона, принимающий значения
ν
0ν0,5
, т.е.
скорость поверхностной волны зависит только от упругих постоянных материала. Дисперсии этих волн нет, и плоская волна распространяется без
искажения формы.
6.2. Волны Рэлея в земной коре
В сейсмологии считается, что для земной коры λ = µ или
22
θ/ 1/3cc
21
. Уравнение Рэлея (6.10) тогда принимает вид
32
3η 24η 56η 32 0
,
1/4
его решения
,
η4
1
,
η2
2
2
,
3
η2
В соответствии с (6.3) должно быть
22
22 2 22 2
12
ωω
1θη 0, ν 1η 0.kk kk
22
cc
12
Отсюда вытекает условие
1
. (6.12)
η1
θ
Условию (6.12) удовлетворяет только корень
зовая скорость поверхностной волны
η0,9184
23 2
в формулы (6.11), получим коэффи-
Подставляя
η 0,8453
3
cc c c
R
и
θ1/3
циенты угасания амплитуд волн с глубиной
3
2
.
3
η 2 0,8453
3
2
3
.
(6.11)
. Фа-
ν 0,8475 , ν 0,3993 .kk
12
По мере увеличения x
11
e
и
ν
21
e
входят в потенциалы φ и ψ и в перемещения u1 и u2. Обычно
волна угасает с глубиной, потому что члены
1
в качестве меры угасания принимается уменьшение амплитуды в e раз.
Амплитуды определяются соотношениями (6.4). На поверхности
(0)
1
,
(0) B
2
. Тогда
() 1
11
(0)xe
1
ν
x
11
Ae
,
Ae e
1
0
ν1x
11
ee
,
,
1
x
1
;
ν
1
0x
1
58
x
x
ν
x
x
B
A
ν
ν
x
21
() 1
21
(0)xe
2
Be
,
Be e
1
0
ν1x
21
ee
,
,
1
x
1
.
ν
2
Отсюда согласно (6.11)
где
2π /lk
При
x
1
1θη 2π1θη
k
– длина волны.
и
1
η 0,8453
3
θ1/3
1
l
или
получается
0,1878
l
или
x
1
1
1
1η 2π1η
k
0,3985
.
l
l
,
Получается, что волна Рэлея состоит из двух неоднородных волн –
продольной и поперечной, которые распространяются вдоль границы полупространства с одинаковыми скоростями и затухают с глубиной по за-
11
e
конам
0x
1
эти волны взаимно компенсируют создаваемые ими напряжения.
(продольная волна) и
Следует отметить, что чем больше частота волны
(6.3),
и
ν
1
, тем быстрее затухают колебания как параллельные поверх-
ν
2
ν
21
e
(поперечная волна). На границе
, тем больше, согласно
ω
ности, так и перпендикулярные к ней. Следовательно, волны Релея высокой
частоты будут затухать с глубиной быстрее, чем волны низкой частоты.
Рассмотрим перемещения. Согласно (6.8) при условии (6.9) A и B
должны быть пропорциональны
Тогда продольный и поперечный дифференциалы равны
φexpν (ω ),
Axitkx
2ν
ψexpν(ω),
ik
22
k
и перемещения определяются
φψ(ν )exp(ω )
uAeBikeitkx
1,1,2 1 2
Ae Ae i t kx
νν
xx
11 21
12
uikAeBeitkx
φψ( ν )exp(ω )
2,2,1 2 2
ikAe Ae i t kx
2νν
νν
xx
11 21
k
2ν
ik
1
1
ν
2
2ν
k
22
k
νν
ik
22
22
k
11 2
νν
xx
11 21
2
1
ν
2
xx
11 21
12
ν
2
A
.
ν
2
xitkx
21 2
exp (ω ) ,
exp (ω ) .
2
59
Воспользуемся тождеством
ν
ν
x
β
i
cosβ sinβ
ei
для выделения действительной части перемещений. Экспоненту представим в виде
exp (ω ) exp ( ω ) cos( ω ) sin( ω )
cos ω sin ω cos ω sin ω .
i t kx i kx t kx t i kx t
tit tit
22 2 2
kx kx x x
2222
ωω
cc
RR
Окончательно перемещения равны
νν
xx
uAe e t
11
11 21
νν
xx
uAke e t
2
11 21
2
2
kx
22
kc
ν
2
2ν ν
12 2
22
kc
ν
2
cosω ,
sinω .
2
R
x
R
Решение определено с точностью до некоторой независимой константы. Эта неопределенность обусловлена тем, что для стационарной задачи не рассматривается источник возмущения (начальные условия). Обозначая
CAk
, получим для среды с коэффициентом Пуассона
νν
xx
0,8475 1,7320 cosω ,
uCe e t
1
uCe e t
2
11 21
νν
xx
11 21
0,5773 sinω .
2
c
R
x
2
c
R
1/4
Приравнивая нулю скобку в выражении для
с учетом
ν 0,8475 0,8475 2π /kl
1
что на глубине
1
0,195xl
νν
xx
11 2 1
ee
0,5773 0
,
ν 0,3993 0,3993 2π /kl
2
,
имеется плоскость, в которой нет движения, па-
u
2
находим,
раллельного поверхности. Для больших глубин амплитуда опять становится отличной от нуля, но имеет противоположный знак, так что колебания
происходят в противоположной фазе.
Если же приравнять нулю скобку в выражении для
νν
xx
11 21
ee
1,7320 0
,
u
1
то получившееся уравнение имеет только отрицательный корень
0,195xl
1
, т.е. нет конечной глубины, на которой движение в нормальном
к поверхности направлении прекращается.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]