Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
x
x
1
Рис. 4.4. Смещение точек среды на SV-волне
1
Рис. 4.5. Смещение точек среды на SH-волне
Направления смещений точек среды на P-волне, SV- и SH-волнах
показаны на рис. 4.3 – 4.5.
4.2. Продольный и поперечный потенциалы
Ранее было доказано, что существует общее решение уравнения в
перемещениях
22 2 2 1
212
()graddiv ρχ0cucc uu
в виде суммы
где , .
rot v 0 div w 0
Условиям (4.6) удовлетворяет представление Ламе
vwu
, (4.6)
(4.5)
gradφ rot ψu
. (4.7)
Если представить также массовые силы в виде
χ ρ(gradθ rot γ)
, (4.8)
то после подстановки (4.7) и (4.8) в (4.5) получим
41
222
( φ rot ψ) ( )grad div( φ rot ψ)
ccc
212
2
( φ rot ψ) ( θ rot γ) 0.
2
t
(4.9)
Преобразуем (4.9) с учетом
graddiv rot rotaa a
ствами векторных операторов (2.1) – (2.6):
2
(φ rotψ)c
2
2
rot rot( φ rot ψ) ( φ rot ψ) ( θ rot γ) 0;c
2
22
graddiv φ graddiv rotψcc
11
22
gradφ rot ψ ( φ rot ψ) ( θ rot γ) 0cc
12
22
graddiv( φ rot ψ) ( φ rot ψ)cc
12
2
2
t
2
div rot ψ 0
2
(φ rotψ) (θ rotγ) 0;
2
t
2
2
t
2
Группируем слагаемые
22
gradφ gradθ gradφ rot ψ rotψ rot γ 0cc
12
22
22
tt
rot rot φc
rot grad φ 0
2
rotrotrotψ
c
2
rot rotrotψ rot ψ
, пользуясь свой-
.
;
22
12
grad φ θ rot ψ γ 0cc
11φ 1ψ1
222 222
cct ctc
11 2 2
Выражение (4.10) в силу произвольности функций
22
. (4.10)
φ
, ψ, θ и γ вы-
полнится, только если выражения в скобках равны нулю
2
11
22 2
ct c
11
11
22 2
ct c
22
φθ,
2
ψγ
или
2
φθ,
1
1
2
c
1
1
2
c
2
2
ψγ.
2
Функция
φ
называется продольным потенциалом, потому что она
описывает продольную волну. Продольная волна называется также безвихревой, так как
rot v = rotgradφ 0
ма, поскольку дилатация отлична от нуля:
ψ
Функция
описывает поперечную волну и называется поперечным
. На ней происходит изменение объе-
2
div v = divgrad φ φe
.
потенциалом. Поперечная волна вызывает только изменение формы тела и
не влияет на изменение объема, так как дилатация div w =divrot ψ 0e
.
42
В неограниченном упругом пространстве волны обоих типов распространяются независимо друг от друга. Если тело ограничено, то продольные и поперечные волны распространяются от места возмущения до границы, а затем отражаются. При этом возникают так называемые отражен-
φ
ные волны обоих типов, так как в ограниченном теле потенциалы
и ψ
связаны краевыми условиями, которым нельзя удовлетворить, вводя отраженную волну только одного типа.
Если граничное условие задано на границе L в перемещениях
ufxt
iii
xL
i
(,)
, то получим
u f xt xt xt
(,) gradφ(,) rotψ(,)
iii
или
φψψf ,
1,1,3,2
2,2,1,3
,
φψψf
3,3,2,1
.
φψψf
5. ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
5.1. Отражение плоской волны от свободной поверхности
Рассмотрим упругое полупространство
хроматическая волна, распространяясь в упругой среде, взаимодействует с
границей полупространства
и отражается от нее (рис. 5.1). Оказыва-
0x
1
ется, что независимо от того, является падающая волна продольной или
поперечной, уравнению движения можно удовлетворить, только предполагая, что отражаются две волны: продольная P-волна и поперечная S-волна.
O
. Пусть плоская моно-
0x
1
x
2
x
3
x
1
Рис. 5.1. Взаимодействие волны с границей
полупространства (отраженные волны не показаны)
Рассмотрим отражение плоской продольной волны от свободной поверхности (рис. 5.2). Назовем углом падения волны угол между вектором
нормали к фронту волны и осью x
0α90
не зависящие от координаты x
° (см. рис. 5.2 и рис. 5.3). Плоская волна вызывает перемещения,
, т.е.
3
. Тогда, очевидно, для P-волны
2
1112
(, ,)uuxxt
,
2212
(, ,),uuxxt
0u
3
43
.
Возникает плоское деформированное состояние, при котором компоненты
x
x
x
K
K
x
P
K
K
x
тензора деформаций
тину в плоскости
13 23 33
, где P и S – падающие или отраженные P-волна и
x
12
S-волна соответственно. Плоскость
. Поэтому изобразим волновую кар-
0eee
считаем свободной от напряже-
0x
1
ний. Точка O, в которой происходит отражение, движется в направлении
оси x
.
2
0x
1
c
S
2
c
1
O
c
2
c
1
P
1
Рис. 5.2. Отражение плоской продольной волны
0x
1
c
S
2
c
1
O
1
Рис. 5.3. Отражение плоской поперечной волны
В двумерной задаче при плоских деформациях две компоненты векторного потенциала
ψ = ψ 0,
12
поэтому остается
поле перемещений в представлении Ламе
P
c
x
2
c
2
S
ψ = ψ( , ,).
312
xt
Тогда
gradφ rot{0,0,ψ}u
или
φψ.
u
2,2,1
φ + ψ,
u
1,1 ,2
Уравнения движения в перемещениях принимают вид
22 2
φφ φ0,
,11 , 2 2
ψψ ψ0
,1 1 , 22
1
2
c
1
1
2
c
2
или
φφ1φ
2222
xxct
121
22 2
ψψ1ψ
2222
xxct
122
44
0,
(5.1)
0.
A
A
Продольный и поперечный потенциалы являются волновыми функциями, скорости их распространения
1
(λ 2μ) / ρc
и
μ/ρc
2
соответ-
ственно. Будем искать их в виде
φ()exp(ω ),
Gx i t kx
11 2
(5.2)
ψ()exp(ω ),
Gx i t kx
21 2
т.е. предполагается, что волна гармоническая распространяется вдоль оси
x
с фазовой скоростью (пока неизвестной)
2
глубины x
. Подставляя (5.2) в (5.1), получим
1
2
G
μ
exp (ω ) exp (ω ) ( )
2
x
1
itkx G itkx k
2μ 2
1
где
μ1,2
.
Сокращая на
c
exp (ω )itkx
exp (ω ) ( ω ) 0,
α2
2
μ
2
G
xc
itkx
и группируя, получаем
2
2
ω
μ
22
1μ
2
kG
μ
, амплитуда зависит от
ω/ck
2
2
0
или
2
22 2
ν0,ν 1,μ1,2.
Gk
μμ μ μ
c
2
c
μ
(5.3)
В соотношениях (5.3) c представляет собой скорость распространения волны вдоль поверхности
. Общее решение однородного линей-
0x
1
ного уравнения (5.3) имеет вид
νν
ik x ik x
GAe Be
μμ μ
μ1 μ1
ik x ik x
GAe Be
11 2
GAe Be
21 2
11 11
νν
ik x ik x
21 21
,
.
νν
Для потенциалов (5.2) имеем
φ exp ( ν ) exp ( ν ) ,
1211 1211
ik x x ct B ik x x ct
(5.4)
ψ exp ( ν ) exp ( ν ) .
2 2 21 2 2 21
Выберем в некоторый момент времени t
дольной волны некоторую точку K (см. рис. 5.2). За некоторое время
ik x x ct B ik x x ct
на фронте падающей про-
0
t
эта точка достигнет поверхности полупространства, пройдя расстояние
45
K
ν
ν
ν
ν
Ktc
. За это время точка О пройдет расстояние
1
соотношениями в прямоугольном треугольнике
c
cosα
1
. (5.5)
c
Также, выбирая на фронте падающей поперечной волны (см.
рис. 5.3) некоторую точку K, находим
c
cosβ
2
. (5.6)
c
С помощью соотношений (5.5) и (5.6) можно определить геометрический смысл коэффициентов
1
и
2
OK tc
cosαOK KK
. Пользуясь
, находим
2
c
1
11tgα
22
c
1
1
cos α
,
2
2
c
11tgβ
22
c
2
1
cos β
. (5.7)
Рассмотрим внимательней выражения (5.4). Они описывают одновременно обе волновые картины (см. рис. 5.2 – 5.3). В случае падающей
P-волны следует положить A
= 0, а в случае S-волны – A1 = 0.
2
Из уравнений (5.5) и (5.6) находим закон отражения плоской волны
c
cosα cosβ
1
c
2
и волновое число
ω 2π cosα 2πcosβ
k
где
11
cl l
2π / ωlc
– длина продольной волны;
12
,
2π / ωlc
22
– длина попереч-
ной волны.
Константы A
, B1, A2 и B2 можно найти из граничных условий. Вспо-
1
миная, что
φψu
1,1,2
,
2,2,1
находим компоненты тензора деформаций
11
11 1,1 ,11 ,21
φψeu
22 2,2 ,22 ,12
,
euu
12 1, 2 2,1 ,1 2 , 22 , 21 ,1 1
φψeu
()(φψφψ)
22
,
13 23 31 32 33
и компоненты тензора напряжений
46
φψu
,
0eeeee
,
ν
ν
σλ( )2μ λ(φ ψeee e
11 11 22 33 11 ,11 ,21
σ2μ μ(2φψ ψ)e
12 12 ,12 ,22 ,11
σλ( )2μ λ(φ ψeee e
22 11 22 33 22 ,11 ,21
σλ( )2μ λ(φφ)eee e
33 11 22 33 33 ,11 ,22
Считая поверхность
ные условия вида
{ 1,0,0}.n
σ0,
n
ij j
x
0
1
σ0
31
свободной от нагрузок, получим гранич-
0x
1
где вектор внешней единичной нормали
состояния, имеем два граничных условия
и
0
Выразим
σ0
11
x
1
и
σ
11
через потенциалы. Для этого продифференцируем
σ
12
дважды соотношения (5.4)
φνexp(ν )νexp(ν ),
ik A ik x x ct ik B ik x x ct
,1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
φ exp ( ν ) exp ( ν ) ,
ikA ik x x ct ikB ik x x ct
,21211 1211
ψνexp(ν )νexp(ν ),
ik A ik x x ct ik B ik x x ct
,1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1
φψ
,22 ,12
)2μ(φ ψ)
,
φψ
,22 ,12
,
σ = σ = σ = σ = 0.
13 23 31 32
σ0
21
0
x
1
)2μ(φ ψ)
. (5.8)
,11 , 21
,22 ,12
,
,
(5.9)
ψ exp ( ν ) exp ( ν ) ;
ikA ik x x ct ikB ik x x ct
,22221 2221
22 22
φνexp(ν)νexp(ν),
,11 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
φνexp(ν)νexp(ν),
,12 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
ψνexp(ν)νex
,11 2 2 2 2 1 2 1
ψνexp(ν)νexp(ν),
,12 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1
ψ exp ( ν ) exp ( ν ) .
k A ik x x ct k B ik x x ct
22
k A ik x x ct k B ik x x ct
22
φexp(ν)exp(ν),
,22 1 2 1 1 1 2 1 1
,22 2 2 2 1 2 2 2 1
k A ik x x ct k B ik x x ct
22 22
kA ikx xct kB
22
k A ik x x ct k B ik x x ct
22
k A ik x x ct k B ik x x ct
На границе полупространства
φ ν exp( ) ν exp( ),
,11 1 1 2 1 1 2
φ νexp( ) νexp( ),
,12 1 1 2 1 1 2
φexp()exp(),
,22 1 2 1 2
ψνexp()νexp(),
,11 2 2 2 2 1 2
ψνexp()
,12 2 2 2
ψexp()exp().
,22 2 2 2 2
ik x x ct
p(
221
),
вторые производные примут вид
0x
1
22 22
kA ikxct kB ikxct
22
kA ikxct kB ikxct
22
kA ikx ct kB ikx ct
22 22
kA ikxct kB ikxct
2
kA ikxct
22
kA ikx ct kB ikx ct
2
kB ikxct
exp ( ) ,
22 2
47
Условия (5.8) после сокращения на общий множитель
ν
ν
ν
2
exp ( )kikxct
2
λ(νν )2μ(ννν ν)0,
дают
22 22
ABAB ABA B
11 11 1 1 11 11 22 22
2( ν ν ) ν ν 0.
ABAB A B
11 11 2 2 2 2 2 2
Рассмотрим случай падающей P-волны, для чего положим в соотношениях (5.9) и (5.10) A
2
тельно трех неизвестных
()2μνλ(1ν)2μν0,
AB B
11 1 1 22
Решением системы (5.11) будет
22
= 0. Приходим к системе двух уравнений относи-
22
2( )ν (ν 1) 0.
AB B
11122
2
(5.11)
BA
(λ 2μ)ν λ 4μν ν (λ 2μ)ν ν λν
11
BA
21
4μν ν (λ 2μ)ν ν (λ 2μ)ν λ λν
4μν ν (λ 2μ)ν ν (λ 2μ)ν λ λν
12 1 2 1 1
12 1 2 1 1
2222
112 122
4ν (λ 2μ)ν 4ν λ
22 2 2
111
22 2 2
2
,
(5.12)
.
С учетом (5.7) из (5.12) окончательно получаем
B
4νν(3ν1)(ν1)
112 1 2
A
112 12
ν(13ν)(ν1)
4
22
Значит, амплитуды отраженных волн B
плитуде падающей волны A
22
.
1
B
211
,
A
4
112 12
4ν (3ν 1)
ν(13ν)(ν1)
и B2 пропорциональны ам-
1
2
22
. (5.13)
Рассмотрим частный случай отражения P-волны, выбрав значения
параметров Ламе λ = µ (коэффициент Пуассона ν = 1/4), соответствующие
земной коре, как принимается в сейсмологии. Тогда
22
12
3cc
,
cos α 3cos β
22
22
,
21
13ν 1
,
tgβ 1.
3
2
cos α
Уравнения (5.13) с учетом (5.7) примут вид
4tgαtgβ (3tg α 1)
B
1
4tgα tgβ (1 3tg α)
A
1
22
22
B
,
A
2
1
4tgα(3tg α 1)
4tgαtgβ (3tg α 1)
2
22
. (5.14)
Графики относительных амплитуд (5.14) в зависимости от угла падения
приведены на рис. 5.4.
α
48
Рис. 5.4. Амплитуды отраженных волн: продольной B1/A1
(сплошная линия) и поперечной B
(пунктирная линия)
2/A1
для различных углов падения при ν = 1/4
Из графиков, а также из формул (5.14) видно, что величина B
обра-
2
щается в нуль (т.е. отсутствует отраженная поперечная волна) в двух случаях. Первый случай, при
ной волны в направлении оси x
с фазовой скоростью продольной волны
απ/2
плоскости
, выполняется также
и полностью от нее отражается. В обоих случаях
0x
1
Рассмотрим теперь случай, когда
, соответствует распространению продоль-
α0
. Фазовая скорость в этом случае совпадает
2
. Во втором случае, при
1
βπ/2
cc
. Волна падает перпендикулярно к
, т.е. при падении продольной вол-
0B
1
BA
11
ны отражается только поперечная. Для этого приравниваем нулю числитель первого уравнения (5.14) и получаем уравнение с корнями
963963
αarctg 12,79
1
и
α30
27
2
.
.
Этим корням соответствуют фазовые скорости поверхностной волны
1, 776cc
2
и
.
2cc
2
Теперь рассмотрим частный случай отражения P-волны, выбрав значение коэффициента Пуассона ν = 1/3, соответствующий некоторым металлам. Тогда
22
12
4cc
,
cos α 4cos β
22
22
,
ν14ν2
21
,
tgβ 1.
4
2
cos α
49
Уравнения (5.13) с учетом (5.7) примут вид
ния
4tgαtgβ (3tg α 1)(4tg α 2)
B
1
4tgαtgβ (1 3tg α)(4tg α 2)
A
1
B
2
4tgαtgβ (3tg α 1)(4tg α 2)
A
1
4tgα(3tg α 1)
22
22
2
22
,
(5.15)
.
Графики относительных амплитуд (5.15) в зависимости от угла паде-
приведены на рис. 5.5.
α
Рис. 5.5. Амплитуды отраженных волн: продольной B1/A1
(сплошная линия) и поперечной B
для различных углов падения при
(пунктирная линия)
2/A1
ν1/3
Величина B
BA
11
. Однако ни при каком значении угла падения B1 не обращается в
обращается в нуль снова при
2
α0
и
α = π / 2
нуль, т.е. отраженная продольная волна присутствует всегда.
Существует пограничное значение коэффициента Пуассона
ν 0,28154,
кр
единственном значении угла падения
два, при
при котором амплитуда B1 обращается в нуль при одном
νν
νν
таких углов не существует.
кр
α21,22.
При
Далее рассмотрим падающую плоскую S-волну (см. рис. 5.3). Для
этого в потенциалах (5.4) положим
. Краевые условия (5.9) и (5.10)
0A
1
приводят к системе двух уравнений
, при этом
таких углов
кр
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]