Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
x
x
x
ν
ν
При
получим форму деформированной плоскости
0x
1
(0, , ) 0,6204 cosω ,
uxt C t
12
(0, , ) 0,4227 sinω .
uxt C t
22
2
c
R
2
c
R
Tраекторией каждой частицы среды является эллипс, большая ось
которого перпендикулярна к поверхности. Отношение амплитуд горизонтального смещения к вертикальному (отношение малой оси эллипса к большой) составляет 0,681. На рис. 6.2 изображена картина смещений в рэлеевской волне. Точками обозначены частицы среды, которые в
отсутствие волны расположены на равных
расстояниях (по вертикали и горизонтали)
одна от другой. Эксцентриситет эллипсов
зависит от расстояния до поверхности и от
Рис. 6.2. Смещение частиц
в волне Рэлея
коэффициента Пуассона упругой среды.
При распространении волны в положительном направлении оси х
при выбранной нами системе координат вращение частиц по эллипсу у поверхности происходит против часовой стрелки, на глубине
гда смещение
меняет знак) направление вращения меняется на обратное.
u
2
1
0,195
(ко-
l
6.3. Волны Рэлея в других средах
Все числовые расчеты были проведены в предположении, что
. Аналогичные результаты получаются и при использовании дру-
1/4
гих значений коэффициента Пуассона. Если, например, принять максимально возможное значение
2
де, то
c
1
,
θ0
и уравнение (6.10) переходит в
32
η8η24η160
, соответствующее несжимаемой сре-
1/2
2
и имеет единственный действительный корень
η 0,9126
. В этом случае
поверхностные волны распространяются с фазовой скоростью
cc c c
R
0,9126 0,9553
22
.
Движение, параллельное поверхности, прекращается на глубине
0,138
от длины волны.
Для стали (
ν0,29
) скорость волн Рэлея получается равной 0,9258 от
скорости волн искажения в материале.
61
Для материала с произвольным коэффициентом Пуассона из допу-
стимого диапазона существует только один корень η
, лежащий между ну-
R
лем и единицей. Его можно определить по формуле [3]
η
R
0,87 1,12ν
1ν
.(6.13)
Соответствующая фазовая скорость поверхностной волны
cc
RR
η const
2
.
На рис. 6.3 – 6.4 показаны зависимости скоростей волн от коэффициента Пуассона, вычисленные с помощью приближенной формулы (6.13).
Рис. 6.3. Зависимость фазовых
скоростей поперечной (с
и поверхностной (с
) волн
R
)
2
от коэффициента Пуассона ν
Рис. 6.4. Зависимость фазовых
скоростей продольной (с
поперечной (с
(с
) волн от коэффициента
R
) и поверхностной
2
1
),
Пуассона ν
Поверхностные волны были открыты Рэлеем теоретическим путем.
Их существование затем было обнаружено экспериментально, что подтверждает необходимость и важность фундаментальных теоретических исследований. Поверхностные волны фиксируются при сейсмических исследованиях. К наблюдателю из источника возмущения сначала приходят
продольные, потом поперечные волны и, наконец, поверхностные волны.
Поверхностные волны имеют также большое значение в ультразвуковых
исследованиях и в дефектоскопии при исследовании поверхностных дефектов конструкции.
62
x
x3x
x
7. ВОЛНЫ ЛЯВА
Сейсмографические записи волн, наблюдаемых на некотором удалении от эпицентра землетрясения, фиксируют три отдельные группы волн.
Первыми прибывают волны, в которых колебания преимущественно продольные (эти волны имеют наибольшую скорость распространения). Позже приходят волны искажения, в которых движение главным образом поперечное. Последними фиксируются поверхностные волны. Их амплитуды
велики по сравнению с амплитудами продольных и поперечных волн. Если
эта последняя группа состоит только из волн Рэлея, то в ней должны содержаться как вертикальная, так и горизонтальная компоненты с преобладанием первой. Однако экспериментально найдено, что вертикальная компонента иногда полностью отсутствует. Для волн Рэлея направление колебаний горизонтальной компоненты должно быть параллельно направлению распространения, тогда как часто обнаруживаются горизонтальные
компоненты, параллельные фронту волны. Ляв в 1911 г. показал, что эти
волны могут быть объяснены, если предположить, что упругость и плотность внешних слоев земли отличаются от их значений внутри, на некоторой глубине.
Иначе говоря, рэлеевская волна в изотропном упругом полупространстве, рассмотренная в предыдущем разделе, состоит из двух плоских
неоднородных волн – продольной и поперечной с векторами смещения,
лежащими в плоскости, перпендикулярной границе и параллельной
направлению распространения волны. Эти волны и составленная из них
рэлеевская волна – волны с вертикальной поляризацией. Рассмотрим теперь волновые движения с горизонтальной поляризацией, представляющие собой плоские поперечные волны со смещениями, параллельными свободной поверхно-
,
11
h
1
0x
1
c
h
2
сти полупространства и перпенди-
u
кулярными направлению распро-
,
22
3
странения волны.
Рассмотрим двухслойную
упругую среду (рис. 7.1). Материал
упругого слоя
0hx
1
отличает-
ся от материала полупространства
μμ
12
) и плотностью (
ρρ
12
). Рассмотрим распространение в такой среде
упругими постоянными (
0x
1
1
Рис. 7.1. Волна Лява
λλ
12
гармонической упругой волны
,
,
0u
1
,
0u
2
()exp ( )uGx ikxct
31 2
,
63
распространяющейся в направлении оси x
x
x
туда волны зависит от глубины x
оси x
.
3
. Все смещения точек среды параллельны
1
Отличными от нуля будут только градиенты перемещений
exp ( ) ( ),
uikxctGx
3,1 2 1
uik ikxctGx
3,2 2 1
exp ( ) ( ).
Следовательно,
с фазовой скоростью c. Ампли-
2
div 0uu u u
1,1 2, 2 3,3
,
т.е. на волне отсутствуют объемные деформации.
Предполагаем, что граница
1
σ0
n
ij j
Вектор нормали к плоскости
свободна от напряжений
h
xh
1
1
.
имеет компоненты {1,0,0}n ,
h
поэтому условие свободной границы приводит к соотношениям
σ0
11
xh
1
,
σ0
21
xh
1
,
σ0
31
xh
1
. (7.1)
По закону Гука ненулевые напряжения
σ2μ μ( )μ,σ2μ μ( )μ,euu u euu u
13 13 1,3 3,1 3,1 23 23 2,3 3,2 3,2
значит, первое и второе уравнения в (7.1) выполнятся тождественно. Уравнение движения в перемещениях сведется к одному соотношению
σσ ρu или
31,1 32,2 3
22 2
uu u
33 3
2222
xxct
122
1
, (7.2)
0
которое является волновым уравнением. Здесь
2
. Вторые произ-
μ/ρc
водные перемещений
uikxctGx
ukikxctGx
3,22 2 1
uck ikxctGx
321
exp ( ) ( ),
3,11 2 1
2
exp ( ) ( ),
22
exp ( ) ( ).
(7.3)
Подставляя (7.3) в (7.2), приходим к уравнению
2
() () () 0
Gx kGx kGx
22
11 1
c
2
c
2
. (7.4)
В упругом слое и в полупространстве параметры уравнения (7.4)
различны. Поэтому нужно рассматривать законы движения в них отдельно
64
x
x
() β () 0Gx k Gx
22
111
() β () 0Gx k Gx
22
121
2
c
2
,
β1
1
,
β1
2
(1)
c
2
2
2
(1)
,
c
2
2
c
2
(2)
c
2
,
c
(2)
2
μ
1
,
ρ
1
μ
2
,
ρ
2
0hx
1
. (7.6)
0x
1
Решением однородных линейных дифференциальных уравнений
(7.5) и (7.6) будут, соответственно, функции
sin( β ) cos( β )GA kx B kx
111 11
exp( β ) exp( β )GC kx D kx
22121
,
,
;(7.7)
0hx
1
. (7.8)
0x
1
Выбранные таким образом решения должны быть ограниченными на
бесконечности. Константа D должна равняться нулю, а величина
(2)
на быть положительна. Это приводит к условию
cc
.
2
Постоянные интегрирования A, B и C связаны граничными условиями на поверхности
1
напряжений в плоскости
На поверхности
и условиями непрерывности перемещений и
h
.
0x
1
h
1
; (7.5)
долж-
β
2
на границе раздела
13
, (7.10)
. (7.11)
Непрерывность перемещений и напряжений σ
двух сред
Непрерывность напряжений σ
σμ μexp()()0()0.
23 1 3,1 1 2
xh
1
0x
1
u ikx ctGh Gh
xh
1
приводит, соответственно, к соотношениям
(0) (0)GG
12
μ (0) μ (0)GG
11 2 2
приводит к условию (7.10). Условия
23
(7.9) – (7.11) образуют систему уравнений относительно A, B и C
cos(β) sin(β)0,
AkhBkh
11
,
BC
μβ μ β .
AC
11 2 2
(7.12)
Условие равенства нулю определителя системы (7.12)
cos(β )μ β sin(β )μ β 0kh kh
122 111
приводит к дисперсионному уравнению (
ла k и, следовательно, от частоты
ω
)
и
β
β
1
2
зависят от волнового чис-
(7.9)
μβ
22
tg(β )
kh
1
. (7.13)
μβ
11
65
Уравнение (7.13) позволяет определить фазовую скорость c волн Ля-
x
ва. Следует заметить, что решения уравнений (7.5) и (7.6) в форме (7.7) и
(7.8) подразумевают выполнение соотношения
(2) (1)
ccc
22
, (7.14)
т.е. слой
должен быть замедляющим. Перепишем дисперсион-
0hx
1
ное уравнение (7.13) в виде
μ
22
μ
12
где
β/ 1cc
12
2(1)
2
tg(β )
kh
1
. Если считать произведение kh параметром, прини-
мающим значения в промежутке
0tg(β )kh
1
. Это означает, что всегда существует хотя бы одно значе-
cc
cc
0π/(2β),kh
2
2(1)2
()
2
(2) 2 2
()
ние непрерывной функции тангенс для любых
(1)
c
, (7.15)
(2)
c
то в левой части
1
β и 2β . В случае выполне-
1
ния условия (7.14) дисперсионное уравнение (7.15) имеет хотя бы одно
действительное решение относительно скорости
.
c
Из системы (7.12) можно выразить неизвестные амплитуды через
произвольную постоянную F, после чего выражения для вектора смещения
принимают вид
( , , ) cos β ( ) exp ( ) , 0,
uxxt F k x h ikx ct h x
312 11 2 1
( , , ) cos(β )exp( β )exp ( ) , 0,
uxxt F kh kx ikx ct h x
312 1 21 2 1
(7.16)
где
лучаются при
является решением уравнения (7.15). Наибольшие перемещения по-
c
h , т.е. на поверхности упругого слоя.
1
В зависимости от величины
дисперсионное уравнение может
kh
иметь различное количество решений. Различные корни соответствуют
волнам Лява разных номеров (порядков). Волны Лява в самом общем случае получаются суперпозицией монохроматических волн (7.16) при различных значениях волнового числа k.
Часто под волной Лява понимают только волну первого номера, которая существует при всех толщинах слоя, включая
. В этом случае
0kh
перемещения в слое и в полупространстве
(, ,) exp ( ), 0,
uxxt F ikx ct h x
312 2 1
(, ,) exp ( ) β , 0.
u x x t F ik x ct kx h x
312 2 21 1
(7.17)
Как видно из (7.17), смещения в слое постоянны по толщине (не зависят от x
), а в полупространстве – медленно убывают с глубиной.
1
66
8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
8.1. Закон сохранения массы
Основные уравнения механики сплошной среды представляют собой
так называемые законы сохранения, выражающие тот факт, что некоторые
важнейшие физические величины, характеризующие среду, заполняющую
некоторый объем (такие как масса, импульс, энергия и др.), могут изменяться только за счет потоков этих величин через границы объема.
Выделим в деформируемой среде объем V, поверхность его ограничивающую обозначим через S. Будем считать, что поверхность S в любой
момент времени t составлена из одних и тех же материальных точек среды.
Масса m таким способом выделенного объема V среды в любой момент
времени может быть вычислена с помощью интеграла
mxxxtdV
ρ( , , , ) ,
123
V
где ρ – плотность среды.
Принятие гипотезы сплошности позволяет не только считать, что поверхность S составлена из одних и тех же точек среды, но и отделяет точки
объема V от других материальных точек среды, не включенных в данный
объем. Величина и форма объема V со временем могут изменяться, но масса среды, заключенной в этот объем, измениться в процессе его деформирования не может. Данное требование называют законом сохранения мас-
сы. Очевидно, что математическим выражением такого требования является условие
dm d
ρ( , , , ) 0.
dt dt
xxxtdV
123
V
Это условие отличается наглядностью своего механического смысла,
но в такой записи оно бесполезно для дальнейшего рассмотрения. Перепишем его в такой форме, которая позволит получить важные для построения теории следствия. С этой целью воспользуемся определением производной
dm d
dt dt t
ρ( , , , ) lim (ρ ρ) ρ
x x x t dV dV dV
123
VVVV
ρ1 1
lim lim ρ lim ρ .
tt t
dV dV dV
00 0
tt t
VVV
Заметим, прежде всего, что
1ρρ
lim ρ lim .
00
tt
ttt
dV dV dV
VV V
1
t
0
67
(8.1)
С целью вычисления второго слагаемого правой части (8.1) предста-
υ
V
вим его, исходя из геометрического смысла определенного интеграла.
Разобьем на N элементарных объемов так, чтобы все
VV V
kk
опирались на части поверхности S, ограничивающей объем V. Та-
V
k
ких элементарных площадок также окажется N. Пусть n
S
k
S
k
N
k
1
– вектор еди-
j
ничной внешней нормали к S (в данном разделе, чтобы не путать обозначения с вектором скорости, будем обозначать компоненты вектора нормали через n
), а υj – вектор скорости граничных материальных точек, со-
j
ставляющих поверхность S. Тогда с точностью до малых более высокого
порядка
() ()
VSnt
kkjj
kk
.
Следовательно, вычисление второго слагаемого в (8.1) можно провести с помощью следующей цепочки равенств:
11
lim ρ lim lim ρ
00
ttN
1
lim lim ρ υ lim ρ υ ρυ .
tN l
0
t
Nl
kk
11
dV V
tt
V
kkjj kkjj jj
kk kk
() () () ()
Snt Sn ndS
N
k
1
kk
S
Последнее слагаемое в (8.1) следует отнести к бесконечно малым величинам порядка выше первого, потому связанная с ним добавка в предельном соотношении равна нулю. Таким образом, приходим к окончательному соотношению
d
ρρυ0.
dV dV n dS
dt t
VV S
ρ
jj
(8.2)
Равенство (8.2) называют интегральной формой записи закона со-
хранения массы.
Когда подынтегральные функции, входящие в (8.2), дифференцируемы во всем объеме V, включая его границу S, имеется возможность применить к нему теорему Остроградского-Гаусса. Результат использования
данной теоремы запишется в виде
ρ
V
(ρυ ) 0.
t
,
jj
dV
В силу произвольного объема V отсюда следует, что
ρ
t
(ρυ ) 0.
,
jj
(8.3)
68
x
x
x
Дифференциальное соотношение (8.3) является локальным (в каждой
точке деформируемой среды) следствием закона сохранения массы. Оно
называется уравнением неразрывности. Отметим, что уравнение неразрывности (8.3) записано с использованием пространственных координат
(переменные Эйлера); оно справедливо только в случае непрерывных и
дифференцируемых функций, входящих в него, в то время как соотношение (8.2) не содержит последнего требования. Оно в таком смысле является более общим по отношению к (8.3).
Имеются материалы (вода, резина), для которых изменение плотности в процессах деформирования оказывается незначительным. Тогда в
процессах, где изменение плотности не оказывает определяющего влияния
на существо процесса, таким изменением плотности пренебрегают. Этим
достигается иногда существенное упрощение математической модели. Когда условие неизменности плотности в процессах деформирования принимается, то говорят, что материал считается несжимаемым. Если в (8.3)
принять ρ = ρ
= const, то получим
0
υε0.
,
ij ij
(8.4)
Равенство нулю дивергенции вектора скорости частиц среды (следа
тензора скоростей деформаций Эйлера) (8.4) называется уравнением (условием) несжимаемости среды.
Замечание 1. В рассмотренном объеме V запрещен его обмен массой
со средой через поверхность S. Такие объемы называют материальными.
Уравнение неразрывности для материальных объемов означает, что изменение плотности возможно только за счет изменения границы S объема.
Наряду с материальным объемом рассматривают иногда так называемые пространственные объемы. Их границы считаются недеформируемыми. Для пространственных объемов уравнение неразрывности показывает, что все изменение плотности среды определяется разностью между
количеством материи, втекающей в объем и вытекающей из него.
Замечание 2. Обратим внимание на то обстоятельство, что при вы-
воде первого соотношения (8.3) из (8.2) плотность
ρρ(,,,)
xxt
123
высту-
пала в качестве некоторой произвольной функции пространственных координат и времени. Но тогда для любой скалярной функции
(, , ,)
xxt
123
имеется возможность записать
d
(, , ,) υ .
dt t
VVS
Функция может быть компонентой вектора или тензора.
xxtdV dV ndS
123
),,,(
txxx
321
jj
(8.5)
69
Замечание 3. В равенстве (8.5) скалярное произведение υ
выступа-
jnj
ет в качестве нормальной скорости движения граничных точек объема V.
Именно в таком качестве оно использовалось при выводе интегральной
формы записи закона сохранения массы. Если объем V не является материальным и, следовательно, скорость движения его границы не совпадает со
скоростью
ся при замене υ
υ
движения материальных точек, то равенство (8.5) сохраняет-
на иную нормальную скорость движения геометрических
jnj
точек, составляющих поверхность S:
d
(, , ,) 0.
xxxtdV dV GdS
dt t
Здесь – нормальная к S скорость движения точек этой по-
nGG
ii
123
VVS
(8.6)
верхности. В справедливости соотношения (8.6) можно убедиться, повторяя для него вывод, аналогичный выводу (8.2).
Рассмотрим следствия из уравнения неразрывности.
Следствие 1. Для любой дифференцируемой функции
в любой точке деформируемой среды, где функции ρ и υ
цируемы, справедливо соотношение
dФ
ρ(ρФυ).
dt t
(ρФ)
(8.7)
,
jj
также дифферен-
j
txxx
321
Действительно
dФ
ρ ρ ρυ ρ ρυ Ф Ф (ρυ )
dt t x t t
ФФФ ρ
jjjjj
j
(ρФ)
t
(ρФυ ) .
,
jj
,,
),,,(
Следствие 2. Для любой функции , дифференцируемой
в точках объема V , где плотность ρ и скорости υ
),,,(
txxx
321
являются также диффе-
j
ренцируемыми функциями, справедливо соотношение
d
,,,) ρ .ρ(
xxtdV
x
dt
VV
123
dV
(8.8)
t
Для того чтобы убедиться в справедливости (8.8), положим в (8.5)
Ф = ρΨ.
d
dV
dt
(ρ )
VSV
dV n dS
t
ρυ .ρ
jj
В преобразованиях правой части данного равенства воспользуемся
теоремой Остроградского-Гаусса
d
dt
dV
(ρ )
V
(ρ υ )ρ
t
jVj
,
dV
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]