Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
x
g
x
σ(λ2μ),σσλ,
11 1,1 22 33 1,1
σσμ,σσμ,σσ0
12 21 2,1 13 31 3,1 23 32
uu
uu
– напряжения.
Уравнение движения в перемещениях для рассматриваемой задачи
μ/ρ c
(3.1)
– скорости волн дилата-
2
Вспоминая, что
(λ 2μ) ρ ,
(λ 2μ) /ρ c
uu
1,11 1
μρ,
uu
2,11 2
μρ.
uu
3,11 3
и
1
ции и волн сдвига, перепишем (3.1) в виде
22 22 22
xct xct xct
Эти уравнения отличаются только коэффициентами и и могут
111
222 222 222
11 22 22
0, 0, 0.uuu
123
c
1
c
2
быть записаны в общем случае в виде однородного волнового уравнения
22
xct
1
222
1
(,) 0.xt
1
(3.2)
Сделаем замену переменных [8]
Тогда
Ф Фξ Фη Ф Ф Ф Фξ Фη Ф Ф
xxx ttt
ξηξη ξη ξη
111
22 22 2 2 22
ФФ ФФ Ф Ф ФФ
22 2 2 2 2
xt
1
Подставим производные в (3.2)
или окончательно
Решением этого уравнения является любая функция вида
ξ,η=.
ct x ct
11
,,
c
2
2, 2 .
ξ ξηη ξ ξηη
2222222
ФФФ ФФФ
220
22222
ξ ξηη ξ ξηη
c
c
2
Ф
ξη
c
0
.
(ξ,η) (η) (ξ)
f
или, возвращаясь к исходным переменным:
(,) ( ) ( )
tfxctgxct
11 1
. (3.3)
31
В математической физике решение вида (3.3) называется решением
x
f
f
f
x
x
x
f
Даламбера. Аргументы функций и называются
c
величина –
фазовой скоростью.
Пусть в момент времени заданы начальные условия
g
0t
фазой в момент , а
t
Ф( ,0) α( ), Ф( ,0) β( ).
1111
xx x
Подставляя их в решение (3.3), получим
() () α(), () () β().
xgx xcfxcgx x
111 1 11
Интегрируя второе соотношение по x
x
() () β(ζ)ζ,
cf x cg x d
11
b
, получим
1
1
(3.5)
(3.4)
где b – произвольная постоянная.
Последовательно складывая и вычитая (3.5) с первым соотношением
(3.4), выразим
xx
() α() β(ζ)ζ, () α() β(ζ)ζ.
xx dgxx d
11 11
22 22
Подставляя вместо аргумента x
11 11
()α() β(ζ)ζ,()α() β(ζ)ζ.
xctxct dgxctxct d
11 11
11 11
22 22
11
cc
bb
фазы, получим
1
xct xct
1 1
cc
bb
Выразим решение Даламбера через начальные условия, подставляя
эти функции в (3.3)
td
Ф( , ) β(ζ) ζ.
1
Если скорости точек среды в начальный момент времени равны ну-
лю, т.е.
Ф( ,0) β( ) 0,xx
11
Ф( , ) (α( ) α( )).
Если, наоборот, в начальный момент времени равны нулю переме-
щения, т.е.
Ф( ,0) α( ) 0,xx
11
xct
c
xct
1
1
α( ) α( ) 1
xct xct
11
22
то
1
txctxct
111
2
то
xct
1
Ф( , ) β(ζ) ζ.
1
1
td
2
c
xct
1
32
xax
x
x
x
x
x
x
x
x
3.2. Примеры распространения одномерных волн
Распространение начального возмущения в виде «ступеньки» еди-
ничной высоты
0, ,
(,0) 1, ,
1
0,
xa
a
показано на рис. 3.2. Оно состоит из двух перемещающихся с постоянной
скоростью c возмущений величины 1/2. Возмущение
ется в направлении x
менты времени
, возмущение
1
constt
показаны «мгновенные снимки» перемещающих-
α( )xct
1
– в направлении
α( )xct
1
перемеща-
. В мо-
1
ся возмущений.
0t
a
t
2
c
a
t
c c
c
1
1
1
c
c
1
32a
t
1/2
c
c
1/2
c
1
2a
t
c
c
c
1
a
a
Рис. 3.2. Распространение возмущения в виде «ступеньки»
На рис. 3.3 показано взаимодействие прямой (в направлении x
обратной (в направлении
) волн в виде синусоид длины 2a с высотой
1
) и
1
«горба», равной A, отстоящих друг от друга в начальный момент времени
на расстоянии
2/3a
.
33
2a 2a
x1x
x
x1x1x
x
0t
cc
A
1
1
2A
1
tc
tc
tc
tc
tc
a
3
23a
a
4
3
53a
c
c
c
a
c
c
c
c
c
c
c
Рис. 3.3. Распространение возмущения в виде синусоиды
В момент времени
4/3tac
возмущения образуют одну волну с вы-
сотой 2A. После этого волны расходятся каждая в своем направлении.
3.3. Гармонические волны
Гармонической волной
называется такое возмущение, при распространении которого каждая точка колеблющейся среды (или полевая
функция) совершает гармонические, т.е. синусоидальные, колебания с постоянной амплитудой.
Амплитудой называется максимальное отклонение
колеблющейся величины от положения равновесия. Гармоническая волна
называется
монохроматической, если в спектр волны входит всего одна
составляющая по частоте.
Будем искать гармонические решения уравнения (3.2), т.е. решения
вида
Ф( , ) Ф exp( ( ω )),
11
0
где – постоянная величина
1
По известной формуле Эйлера
tikxt
1
0
; i – мнимая единица.
34
x
x
22
ФФ
22
xt
1
20 20
Ф exp( ( ω )), ω Ф exp( ( ω )).k i kx t i kx t
11
Подставим полученные производные в (3.2)
20 20
Ф exp( ( ω )) ( ω Ф )exp( ( ω )) 0.k i kx t i kx t
После сокращения на
11
Фexp(( ω)) 0ikx t
2
Величина k называется
0
ωω
волновым числом. Оно имеет два значения,
1
2
c
1
2
0или .kk
2
cc
остается
поэтому решением (3.2) тогда будет частный случай решения Даламбера
Ф( , ) Ф exp ω Ф exp ω .
xt it it
1
00
xx
11
cc
Рассмотрим частное решение
Фexpω
Ait
1
c
и запишем его в виде
ic
2π 2π
Actxl
Фexp , ,
l
1
ω
(3.6)
где A – амплитуда колебаний; l – длина волны.
Выясним физический смысл величины l. Зафиксируем время t и
ξи ξ ,
xnl
определим функцию для двух значений
1111
отстоящих
друг от друга на целое число n длин волн:
2π
Ф(ξ , ) exp ξ ,
tA ct
11
Ф(ξ , ) exp ξ
nl t A ct nl
11
2π 2π
exp ξ exp Ф(ξ , )exp( 2π ) Ф(ξ , ).
Act nltint
Отсюда получается, что
Действительная часть экспоненты с мнимым показателем является гармонической
функцией, однако в экспоненциальном виде с ней проще производить математические
действия, в частности дифференцировать
ii
ll
exp( ( ω )) cos( ω ) sin( ω ).ikx t kx t i kx t
111
exp φ cos φ sinφii
111
i
l
2π
i
l
1
.
35
Фазы точек, отстоящих на l, 2l, 3l,…, отличаются на 2π, 4π, 6π,…,
x
x
A
x
x
A
т.е. одинаковы. Функция изменяется внутри отрезка , но ее значения повторяются через (рис. 3.4).
l
(,)
t
1
l
l
1
Рис. 3.4. Мгновенное распределение смещений
точек среды в фиксированный момент времени t = const
Теперь зафиксируем координату x1 и определим функцию для
двух моментов времени и
Ф( , ) exp ( ) Ф( , )exp .
xt T A ct T x xt
111
Если положить T = n(l / c) (где – целое), то
exp exp exp 2π 1,
т.е. . Значит, в произвольной точке пространства че-
(,) (, )
txtT
11
t
tT
2π
i
Ф( , ) exp ,
xt A ct x
11
2π 2π
2π 2π
ic ic l
Tnin
llc
iiTc
ll
n
l
1
рез промежутки времени T = n(l / c) решение периодически повторяется.
Наименьший такой промежуток T = (l / c) (при ) называется
волны
(рис. 3.5).
1n
периодом
T
t
Рис. 3.5. Распределение смещений точек среды
в фиксированной точке x
= const
1
в зависимости от времени
Перечислим еще раз основные параметры движения монохроматиче-
ской плоской волны. Аргумент экспоненты в формуле (3.6) называется
36
фа-
x
p
x
x2x
x
зой колебания и определяет мгновенное состояние колебания, т.е. именно
в данный момент времени в данной точке. Если переписать (3.6) в виде
it
ActxAi
Фexp ( ) exp2π ,
2π
lTl
1
x
1
то можно заметить, что точки одинаковой фазы определяются равенством
tx
1
.
Tl
с, м/с –
фазовая скорость, т.е. скорость перемещения фазы волны
(например, горба) в пространстве вдоль заданного направления.
ν, 1/c –
ω, рад/с –
T, с –
частота колебаний, количество колебаний за 1 с.
круговая частота, количество колебаний за 2π с.
период волны, минимальный промежуток времени, за кото-
рый осуществляется полный цикл колебания в фиксированной точке.
l, м –
длина волны, минимальное расстояние между точками, колеб-
лющимися в одинаковой фазе.
k, 1/м –
волновое число, количество пространственных периодов
волны, приходящееся на 2π м:
ω2πν2π2π
cccTl
.k
4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛАМЕ
4.1. Продольные и поперечные волны
Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся в
направлении единичной нормали к
{, , }nnnn
123
плоскости
nxn xn p
11 2 2 3 3
.
Величина в уравнении плоскости – это
расстояние (перпендикуляр) от плоскости до
начала координат (рис. 4.1).
В решении (3.6) заменяем (расстояние от
1
начала координат в одномерном случае) на
pxn
. Тогда общим гармоническим решением
ii
трехмерного волнового уравнения (это можно
проверить подстановкой) будет функция
3
n
1
Рис. 4.1. Плоская
гармоническая волна
37
2π
A
j
Actxnxnxnnn
exp ( ( )) , 1.
i
l
11 2 2 33
ii
Будем искать гармонические решения уравнения движения
в виде
Тогда
(λ μ) μ ρ
uA ctxn
jj mm
u
j
exp ( ) ( ),
xl l
k
uActxn nn
kk j m m k k
,
uActxnnn
,
kkj k m m k j
jmmk
2
u
j
2
xl l
k
uA ctxn
kk mm
2
u
k
xx l l
kj
uuu
,,
kkj jkk j
2π
i
exp ( ) .
l
ii
2π 2π
ct x n n
2π 2π
exp ( ) ,
ii
2π
i
exp ( ) ,
l
ii
2π 2π
exp ( ) ,
(4.1)
2
2
1
2
u
uA ctxn c
jj mm
j
2
tl l
exp ( ) .
ii
2π 2π
2
2
Подставляя полученные выражения в (4.1), получим
(λ μ) ( ) μ ρ 0,
nAn A cA
jkk j j
2
,1,2,3jk
или в раскрытом виде
1: (λ μ) ( ) μ ρ 0
jnAnAnAnAcA
2: (λ μ) ( ) μ ρ 0 .
jnAnAnAnAcA
3: (λ μ) ( ) μ ρ 0
jnAnAnAnAcA
111 22 33 1 1
211 22 33 2 2
311 22 33 3 3
2
2
2
Будем рассматривать (4.2) как систему относительно неизвестных A
A
, A3. Если , то решение системы тривиальное и соответ-
2
222
123
0AAA
(4.2)
1
ствует покою среды. Условие существования нетривиального решения –
равенство нулю определителя
(μ ρ )(μ ρ )(λ 2μ ρ ) 0.cc c
22 2
(4.3)
,
38
x
x
x
x3x
A
Уравнение (4.3) имеет два корня
λ2μ μ
cc
12
ρρ
и
(корень кратности 2),
которые совпадают со скоростями волны дилатации и волны сдвига. Выясним, как фазовые скорости и связаны с компонентами вектора пе-
ремещений . Для иллюстрации направим вектор нормали вдоль оси
{1,0,0}n
u n
(рис. 4.2).
c
c
1
2
1
:
2
Рис. 4.2. Очередность распространения волн
Система (4.2) примет вид
Подставим в (4.4)
cc
1
cn
2
u
2
u
3
(λ 2μ ρ ) 0,
Ac
1
(μ ρ ) 0,
Ac
2
(μ ρ ) 0.
Ac
3
2
2
2
(4.4)
cn
1
u
1
1, 0 , 0n
1
00,
A
1
(λ μ) 0,
A
A
Тогда Значит, скорость
с перемещением ( – его амплитуда), т.е. перемещением в направлении
0, 0, 0.AAA
123
1u1
движения волны. Поэтому перемещение называют упругой
волной
, а – скоростью продольной волны. На продольной волне проис-
c
1
ходят деформации расширения-сжатия, дилатация на ней (если
ось
eux
совпадает с направлением движения волны, в общем случае
1
).
/
ii
Теперь подставим в (4.4)
cc
2
(λ μ) 0.
3
u
1
2
1
(λ 2μ) / ρc
связана
продольной
/eux
11
39
A
x
A3A
(λ μ) 0,
1
A
00,
2
A
00.
3
Тогда Скорость
ниями и (с амплитудами и ) в направлениях, перпендикуляр-
u
2
0, 0, 0.AA A
123
u
3
2
ных движению волны. Поэтому перемещения и называют упругими
поперечными волнами, а – скоростью поперечной волны. На попереч-
c
2
μ/ρc
2
u
связана с перемеще-
u
2
3
ной волне нет расширения-сжатия, деформации только сдвиговые, потому
что вследствие предположения
111
//0ux ux
22 33
, , .
(,)uuxt
221
(,)uuxt
331
(,)uuxt
1, 0 , 0n
или
Общим решением системы (4.4) будет
2π
uA ctx
uA ctx
uA ctx
Волна продольная, а волны и – поперечные (см. рис. 4.2).
u
1
exp ( ) ,
11 1 1
22 2 1
33 21
exp ( ) ,
exp ( ) .
i
l
2π
i
l
2π
i
l
u
2
u
3
Важно отметить, что продольные и поперечные волны не обязательно
должны быть гармоническими.
В сейсмике эти волны имеют свои названия. К датчику, находящемуся на некотором удалении от эпицентра землетрясения, первой прибывает
волна, в которой колебания преимущественно продольные. Она называется
P-волной (primary wave). Позже приходят волны искажения, называемые
S-волнами (secondary wave). S-волны делятся на SV- и SH-волны, поляризо-
ванные в вертикальной (vertical secondary wave) и горизонтальной (horizontal secondary wave) плоскостях.
1
Рис. 4.3. Смещение точек среды на P-волне
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]