Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
E
x
изотропных сред число независимых упругих постоянных сводится к двум.
Выберем в качестве двух независимых констант постоянные Ламе λ и μ.
Закон Гука, выражающий линейную связь между напряжениями и деформациями, для изотропного тела через коэффициенты λ и μ записывается
равенством
σλδ 2μ.
ij ij kk ij
ee
Это соотношение можно записать, выразив деформации через
напряжения:
λ1
e
ij ij kk ij
2μ(3λ 2μ) 2μ
При простом одноосном растяжении в направлении оси можно
δσ σ.
1
ввести технические упругие модули Е и ν (не путать с нормалью!), которые
служат коэффициентами в соотношениях
σ, ν.
11 11 22 33 11
ee e e
Постоянная Е называется модулем Юнга, a ν – коэффициентом
Пуассона. Через эти упругие постоянные закон Гука для изотропного тела
записывается следующим образом:
σδ
E
ij kk ij kk
1ν 12ν
ee
ν
или в обращенной форме
1ν ν
e
ij ij ij kk
σδσ.
EE
При изучении состояния равномерного гидростатического сжатия
вводят модуль объемного расширения (сжатия)
K
E
3(1 2ν) 3
3λ 2μ
,
который связывает давление с величиной кубического расширения при
нагрузке такого типа. В случае так называемого состояния чистого сдвига
модуль сдвига G связывает касательные компоненты напряжения и деформации. Коэффициент G фактически равен μ; легко установить его связь с
другими модулями
μ.
G
E
2(1 ν)
При постановке динамических задач уравнения движения имеют вид
σρχρυ.
,
ij j i i
21
Основные уравнения для поля перемещений в этом случае
x
f
x
f
ffx
λμ( )ρχρ.
uuu u
,,,
kki i jj jij i i
Решение уравнений (1.11) ищем в виде . Оно должно удо-
uuxt
iij
(1.11)
(,)
влетворять начальным условиям
и u х uuх
(,0)и (,0)
iij ii
и граничным условиям, наложенным либо на перемещения
uGxt
(,)
iij
,
либо на напряжения
ppxt
(,)
iij
.
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ЭЛАСТОКИНЕТИКА)
2.1. Основные сведения из теории поля
Рассмотрим некоторые формулы для векторных и скалярных полей в
трехмерном евклидовом пространстве E
,,
123
– декартовы пространственные координаты;
xx
3
. Примем обозначения:
t – время;
,,eee
123
(, , ,)
(, , ,)ax x x t
– орты координатных осей;
xxxt
123
123
– скалярное поле;
– векторное поле.
Запишем дифференциальные операторы в декартовой системе координат, используя для них различные обозначения, которые могут встречаться в литературе. Точкой обозначается скалярное умножение, крестиком – векторное.
1. Оператор Гамильтона (набла-оператор)
123
12 3 123
xx xxx
,,eee
.
2. Градиент
fff
grad , , , ,
ffff
xxx
123
,1 , 2 , 3
или .
,i
i
22
x
x
f
3. Дивергенция
aaa
div
aaa
ii
,
123
xx
123
.
4. Ротор (вихрь)
ee e
12 3
rot ε .
aa ae
xxx
123
aaa
123
ijk k j i
,
5. Оператор Лапласа (лапласиан)
2
,, ,,
xx xxx x x x
123 123 1 2 3
222
222
- лапласиан скалярной функции
ff f
,,
ii ij ij
δ;
- лапласиан векторной функции
aae ae
,ijj i i i
.
Теперь можно записать свойства векторных операторов
div grad ,ff
divrot 0a
graddiv rotrotaa a
rotgrad 0
rot rot rot rotaa
(2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
,
divgraddiv divaa
. (2.6)
Соотношения (2.1) – (2.6) справедливы для произвольной системы
координат [13]. Убедиться в их справедливости для декартовой системы
координат можно непосредственной подстановкой.
2.2. Уравнения движения изотропной среды
Если краевые условия (нагрузки на границе, массовые силы, перемещения на границе) явным образом зависят от времени, то создающиеся в
среде перемещения, напряжения и другие параметры также зависят от
времени.
23
Известно, что действие внешних нагрузок и массовых сил влияет не
только на поле перемещений, но и на температурное поле. Например, при
ударе молотком по торцу стальной пластины и молоток, и пластина нагреются. Казалось бы, задачи с нестационарными граничными воздействиями
должны решаться в рамках теории термоупругости. Однако в задачах термоупругости перемещения и температура удовлетворяют связанной системе четырех дифференциальных уравнений. С математической точки зрения решение таких задач в эластокинетике с учетом инерционных членов
сложно. К тому же экспериментальный факт состоит в том, что механические возмущения распространяются в среде гораздо быстрее, чем тепловые. Так, при ударе молотком механический импульс дойдет до противоположного торца за доли секунды, в то время как температура изменится
только в небольшой области контакта. Поэтому в отличие от эластостатики
в эластокинетике постоянной считается не температура, а энтропия. То
есть процесс динамического деформирования считается адиабатическим,
коэффициенты теплопроводности среды полагаются равными нулю.
Уравнения движения анизотропной упругой среды в перемещениях в
предположении адиабатичности процесса имеют вид
1
S
с uu u
()ρχρ,
ijkl k l l k j i i
2
S
c
где – упругие постоянные адиабатического процесса деформирования
ijkl
,,,
,,, 1,2,3ijkl
,
(значок S обозначает постоянство энтропии при их измерении);
()/2
uu e
,,
kl lk kl
– тензор малых деформаций; – вектор уско-
рений точек среды; χ
uut
ii
– вектор распределения объемных сил.
i
/
22
Для однородного изотропного упругого тела справедлив закон Гука
σλδ2μ,
ee
ij k ij ij
поэтому уравнения движения в перемещениях будут содержать две упругие постоянные
(λ μ) μ + ρχ ρ ,
uu u
,,
kki ikk i i
,, 1,2,3ijk
. (2.7)
Параметры Ламе λ и µ считаются измеренными в условиях постоянства энтропии
(λ λ , μ μ ).
SS
Благодаря предположению об адиабатично-
сти процесса, температурное поле и поле перемещений в задачах эластокинетики удается разделить.
Основная задача эластокинетики может быть сформулирована
следующим образом: решить систему (2.7) при заданных граничных и
начальных условиях.
24
x
x
f
f
Соотношения (2.7) можно записать в эквивалентной операторной
форме, более удобной для анализа:
(λ μ)grad div μ ρχ ρ .uu u
2
(2.8)
Применяя к (2.8) свойство (2.3), получим
(λ 2μ)grad div μ rot rot ρχ ρ .uuu
(2.9)
Разделив (2.9) на плотность ρ, в предположении ее постоянства
(ρ = ρ
= const) приходим к уравнению движения в виде
0
λ2μ μ
grad div rot rot χ
uuu
ρρ
λ2μ μ
или, обозначив
cc
12
,
, в виде
ρρ
22
grad div rotrot χ .cucuu
12
(2.10)
Если в уравнениях эластокинетики (2.7) – (2.10) положить µ = 0, то
получатся уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости. В сейсмологии принимается µ = λ, что соответствует значению ν = 1/4 коэффи-
5
циента Пуассона и значению
K
μ
модуля всестороннего сжатия.
3
2.3. Граничные и начальные условия
Для решения поставленной основной задачи эластокинетики необходимо дополнить уравнения (2.7) граничными и начальными условиями.
1. Если на границе тела S заданы перемещения как
(, , ,)
xxxt
123
i
функции координат и времени, то граничные условия имеют вид
(, , ,) (, , ,)
uxxxt fxxxt
123 123
ii
(,,)
2. Если на границе тела S заданы нагрузки как функции
xx x S
123
pxxxt
.
(, , ,)
123
i
координат и времени, то граничные условия имеют вид
3. Если на одной части границы тела S
(, , ,)
xxxt
123
i
SSS
up
σ(, , ,) (, , ) (, , ,).
, а на другой части S
, то граничные условия называются смешанными
xxtn xx x pxxxt
123 123(,,) 123
ij j x x x S i
(, , ,) (, , ,),
uxxxt fxxxt
123 (,,) 123
ixxxSi
123
123
заданы нагрузки , причем
p
u
заданы перемещения
u
(, , ,)
pxxxt
123
i
σ( , , ,) ( , , ) ( , , ,).
xxtn xx x pxx xt
123 123(,,) 123
ij j x x x S i
123
p
25
4. Начальные условия характеризуют движение тела в некоторый
момент t
(, , )
gxxx
123
i
. Поле перемещений каждой точки тела задается функцией
0
, а поле скоростей – функцией
(, , ,) (, , ),
uxxxt gxxx
123 123
ii
tt
0
(, , )
hxx x
123
i
Если g
(,)
uxt
ij
t
, x2, x3) = 0 и hi(x1, x2, x3) = 0, то тело до момента t0
i(x1
tt
(,) (,,).
uxt hxxx
0
0123
ij i
покоилось.
2.4. Два вида волн
Пусть поле перемещений трижды непрерывно дифференцируемо.
Применим к (2.10) оператор дивергенции
22
divgrad div divrot rotcucu divχ div .u
12
(2.11)
По свойству (2.2) второе слагаемое равно нулю. Вспоминая, что
uuu
div
uuuue
123
xxx
123
1,1 2 ,2 3,3
называется дилатацией (относительное изменение объема), и учитывая, что
дифференцирование по координатам и по времени производится независимо, получаем
div div div
uue
Следовательно, из (2.11) получаем
или согласно свойству (2.1)
Из (2.12) можем получить
или
22 2
ue
22 2
tt t
2
divgrad divχce e
1
22
1
11
2
ct c
2
1
divχ .ce e
2
22 2
11
1
divχ.ec
2
1
(2.12)
divχe
(2.13)
.
26
Здесь
2
22
1
1
22
ct
1
называется волновым оператором Даламбера. Следовательно, (2.13) – это
неоднородное скалярное волновое уравнение изменения дилатации. Но если функция дилатации удовлетворяет волновому уравнению, то изменение
дилатации является волновым процессом. Скорость этого процесса
1
(λ 2μ) / ρc
называется первой звуковой скоростью.
Теперь применим к (2.10) оператор ротора
2
rot graddivcu
1
2
rot rotrot rotχ rot .cu u
2
(2.14)
Теперь уже первое слагаемое обращается в нуль по свойству (2.4).
Преобразуем (2.14) по свойству (2.5)
2
rot rotχ rot .cu u
2
При отсутствии чистых деформаций скорость
(2.15)
υ
движения любой
точки тела может быть представлена как сумма скорости некоторого полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса
где
υ – скорость полюса;
0
(вектор поворота);
υ=υ ω ,r
0
1
ω= rot2u
r
– радиус-вектор точки относительно полюса.
– скользящий вектор угловой скорости
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что
rot rotuu
.
Поэтому соотношения (2.15) могут быть записаны в виде
Отсюда
или окончательно
2
11
(rot ) (rot ) rotχ.uu
(2ω) (2ω) rotχ
2
22 2
ct c
22
2
11
22 2
ct c
22
2
11
22 2
12
ωrotχ.
2ct c
27
Для вектора поворота
уравнение
ω
также получили неоднородное волновое
2c
1
2
2
(2.16)
2
ωrotχ
2
с волновым оператором
2
22
2
1
22
ct
2
.
Соотношения (2.16) векторные, т.е. содержат три уравнения. Распространение волны, определяемой уравнением (2.16), сопровождается изменением формы элемента среды при неизменном объеме. Такая волна назы-
μ/ρc
вается волной сдвига. Ее скорость
2
называется второй звуковой
скоростью.
Теперь докажем, что в бесконечной линейной упругой среде никаких
других волн, кроме волн дилатации и волн сдвига, не существует. Рассмотрим уравнение (2.10), исключив массовые силы:
χ=0
. Это не повлия-
ет на качественные выводы. Воспользовавшись свойством (2.3), запишем
(2.10) в виде
22 22
12 2
grad div 0cc ucuu
. (2.17)
Представим вектор перемещений в виде
vwu
(2.18)
с дополнительными условиями
rot v 0
Такое представление возможно всегда, если векторное поле пред-
, . (2.19)
divw 0
u
ставить в виде суммы градиента некоторого скалярного поля и ротора векторного поля [13].
Подставим (2.18) в (2.17) и применим операцию дивергенции
div grad div(v w) div (v w) div(v w) 0cc c
22 22
12 2
.
Пользуясь тем, что оператор дивергенции и лапласиан можно менять
местами, а постоянные скорости выносить за знак оператора, последовательно получаем
22
divgrad div(v w) divgrad div(v w)cc
12
divgrad , div div
2
div (v w)c
2
div(v w) 0,
28
x
2
divgrad div(v w) div(v w) 0,c
1
div w=0
2
divgraddivv divv 0,c
1
div v v 0.c
2
1
Здесь использовалось условие
div w = 0
div w=0
. Ротор выражения, содержащегося в скобках, равен нулю вследствие первого условия (2.19). Однако если дивергенция и ротор некоторого вектора в рассматриваемом объеме одновременно равны нулю, то сам этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом, выражение в скобках должно быть равно нулю. Это
утверждение приводит к волновому уравнению
2
1
.
v = 0
Аналогично, подставляя первое условие (2.18) в (2.17), используя
первое из условий (2.19)
(rot v = 0)
и свойство (2.4), применим операцию
дивергенции
rot grad div(v + w) rot (v + w) rot(v + w) 0.cc c
22 22
12 2
Последовательно преобразовываем
rot grad div(v + w) rot v v rot w w 0.
22 22 22
cc c c
12 2 2
f
rot grad 0
rot w w 0.c
rot v=0
22
2
Дивергенция выражения в скобках равна нулю, поэтому для
w
по-
лучаем волновое уравнение
Волна
2
w = 0
1
v
является волной дилатации (безвихревой), волна w – вол-
.
ной сдвига (эквиволюмиальной, или волной искажения).
3. ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
3.1. Плоские волны
Рассмотрим простейший случай распространения волны – плоскую
волну, распространяющуюся параллельно оси (рис. 3.1). Вследствие
1
изотропности среды это предположение не нарушает общности. Волновое
движение характеризуется вектором перемещения , имеющим
,,uuuu
123
29
в общем случае три ненулевых компоненты, однако все компоненты яв-
x
x2x3x
ляются функциями только координаты и времени . Считая, что причи-
1
t
u
i
нами возникновения движения являются начальные условия, массовыми
силами пренебрегаем: χ
= 0.
i
cn
u
2
u
1
u
3
Рис. 3.1. Распространение плоской волны
Сформулируем модель линейно упругого тела:
- уравнение движения
σρ;
ij j i
u
,
- компоненты вектора ускорения
2
u
u
i
i
;
2
t
- тензор малых деформаций
1
euu
()
ij i j j i
,,
2
- закон Гука для изотропного тела
σλδ2μ;
ee
ij kk ij ij
;
1
- изменением плотности пренебрегаем
ρ ρ const.
0
Для одномерного движения модельные соотношения примут вид:
( , ), ( , ), ( , )u u xt u u xt u u xt
111 2 21 3 31
eue e
11 1,1 22 33
,0,
11
ee uee uee
12 21 2,1 13 31 3,1 23 32
,,0
22
– перемещения;
– деформации;
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]