Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные вопросы теории упругости. Учебное пособие
.pdf
ρ
V
VV
ρ(ρυ)ρυ
tt
ρ
(ρυ ) ρ ρ .
,
tdtdt
jj
,,
jj j j
dd
dV dV
dV
Отметим еще раз, что если в соотношениях (8.2) и (8.5) функции ρ,
, могут быть кусочно-непрерывными, то равенства (8.3), (8.7) и (8.8)
υ
j
справедливы только для дифференцируемых по пространственным координатам и времени функций ρ, υ
, и .
j
8.2. Закон сохранения импульса
Количество движения выделенного объема V деформируемой среды,
ограниченного поверхностью S, является вектором с компонентами
ρυ .
dV
j
V
Согласно теореме об изменении количества движения, производная
по времени от количества движения равна главному вектору внешних сил.
В нашем случае можно записать
d
ρυ ρχ ρ ,
dV dV n dS
где χ
iii
dt
VV S
– плотность распределения массовых сил (например, сил тяжести).
i
(8.9)
Таким образом, соотношение (8.9) можно записать в форме
d
dV dV n dS
ρυ ρχ σ .
dt
VV S
iiijj
Равенство (8.9) является математическим выражением закона сохранения импульса. Его называют интегральной формулировкой данного
закона.
Когда подынтегральные функции в (8.9) дифференцируемы, то, следуя (8.8), имеем возможность записать
υ
d
ρυ ρ ρχ σ 0.
dV dV dV n dS
iiijj
dt dt
VV V S
d
i
Дифференцируемость подынтегральных функций позволяет также
воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса и перейти от поверхностного интеграла к объемному
υ
d
V
i
ρρχσ 0.
dt
iijj
dV
,
71
В силу произвольности объема V отсюда следует
υ
x
υ
d
σρχρ.
,
ij j i
i
(8.10)
dt
Согласно закону сохранения импульса (8.9) дифференциальные соотношения (8.10) обязаны выполняться в любой точке деформируемой
среды, где входящие в них функции дифференцируемы. Равенства (8.10)
называются уравнениями движения среды.
Когда ускорения всех точек, составляющих объем V деформируемой
среды, оказываются равными нулю, то говорят, что выделенный объем V
находится в равновесии. Соответствующие уравнения
σρχ0
,
ij j i
(8.11)
называют уравнениями равновесия.
Иногда уравнения движения (8.10) записывают в форме (8.11), полагая, что
υ
d
dt
i
σρ0,
ij j i
,
F
F
χ.
ii
Векторную величину с компонентами
d
dt
i
(, , ,) ρ
xxxt
i
123
называют объемной плотностью распределения сил инерции. Следовательно, последние соотношения являются в случае дифференцируемых
функций σ
и υi локальной (в каждой точке среды) формулировкой извест-
ij
ного положения общей механики – принципа Эйлера-Даламбера.
8.3. Закон сохранения момента импульса
В формулировке теоремы общей механики об изменении кинематического момента механической системы, так же как и теоремы об изменении количества движения, внутренние силы не участвуют. Поэтому результат применения данной теоремы к рассматриваемому объему V деформируемой среды, ограниченному поверхностью S , следует записать в
форме
d
ερυ ε ρχ ε .
ijk j k ijk j k ijk j k
dt
VV S
dV x dV x p dS
(8.12)
Учитывая, что на поверхности S задаваемые поверхностные усилия
(, , ,)
pxxxt
123
i
могут быть представлены через тензор напряжений, и вос-
пользовавшись следствием закона сохранения массы (8.7), перепишем последнее равенство в виде
72
υ
dx
ερ ερχ ε σ .
ijk ijk j k ijk j kl l
VVV
jk
dV x dV x n dS
dt
С целью получения локального следствия закона сохранения момента импульса (8.12) воспользуемся снова при соответствующем предположении о дифференцируемости функций υ
, σij теоремой Остроградского-
j
Гаусса
ερ ρχ σ
ijk j k j kl
V
ερρχσυρδσ 0.
xdV
ijk j k kl l k jl kl
V
υ
d
dt dt
jk
xx dV
dt
k
,
dx
,
l
j
υ
dx
Первое слагаемое здесь равно нулю вследствие (8.10), второе равно
нулю как компонента векторного произведения вектора скорости на тот же
вектор скорости рассматриваемой точки. Тогда получаем окончательное
локальное следствие
εδσ εσ 0
ijk jl kl ijk kj
или
σσ
kj jk
.
Таким образом, закон сохранения момента импульса будет локально
выполнен, если только тензор напряжений симметричен. Наоборот, если
только во всем объеме V функции σ
, x2, x3, t) и υj(x1, x2, x3, t) дифферен-
ij(x1
цируемы, то следствием закона сохранения момента импульса является
симметрия тензора напряжений. Напомним, что изложение ведется в рамках гипотезы об отсутствии моментных напряжений, в противном случае
последнее утверждение неправомочно.
8.4. Закон сохранения энергии
Два одинаковых и по величине, и по форме выделенных объема одной и той же деформированной среды могут не отличаться значением механической энергии. В частности, механическая энергия обоих таких объемов может быть нулевой. Все же сказать определенно о том, что общее
состояние этих объемов эквивалентно, заранее невозможно. Действительно при их контакте может возникнуть процесс теплообмена, связанный с
выравниванием их температуры. Следовательно, существуют параметры,
которые определяют различие подобных равновесных состояний во всем
другом совершенно одинаковых объемов деформируемой среды. В настоящее время общепринятой является гипотеза о том, что такой параметр
единственен и называется энергией (эргодическая гипотеза). Его характе-
ристиками могут выступать температура, энтропия, внутренняя энергия и
другие термодинамические величины.
73
Повседневный опыт говорит о том, что процессы деформирования
V
V
неотделимы от процессов тепловыделения или теплопоглощения. Наоборот, изменение температуры необходимо вызывает деформирование исследуемого тела. Даже в случае однородного и медленного нагревания или
охлаждения это проявляется в форме объемного расширения или сжатия.
Следовательно, деформационные и тепловые процессы взаимозависимы и
должны изучаться в их взаимосвязи. Главным связующим звеном выступает здесь закон сохранения энергии.
Очевидно, что свойство тел, которое определяется понятием «энергия», является аддитивным, поскольку, разделив исследуемый объем на
части, тем самым на части делим и его «энергию».
Пусть в объеме V заключено W энергии. Будем называть W полной
энергией, заключенной в объеме V. В элементарном объеме заключено
полной энергии. При стягивании к точке в качестве
W
),,(
xxxM
321
предела
W
lim ( , , , )
0
V
yx x x t
V
123
получаем объемную плотность распределения полной энергии
).,,,(
txxxy
321
Совершенно аналогично предыдущему вводится массовая плотность энергии
(,,,) lim ρ(,,,)(,,,).
wx x x t x x x t yx x x t
123 123 123
m
0
m
W
1
Теперь полная энергия объема V, ограниченного поверхностью S,
вычислится интегралом
WwdV
ρ.
V
Закон сохранения энергии утверждает, что изменение полной энергии возможно только за счет притока энергии от источников, внешних по
отношению к выделенному объему деформируемой среды. Примем, что
передача тепла осуществляется только через поверхность S объема V. Тогда получаем возможность записать
d
ρρχυσυ .
wdV dV n dS q n dS
dt
VV S S
ii ijij j j
(8.13)
Равенство (8.13) означает, что производная по времени от полной
энергии, заключенной в объеме V, равна мощности внешних объемных и
поверхностных сил (первое и второе слагаемые правой части), действующих на выделенный объем V деформируемой среды, и скорости подвода
тепла к V через поверхность S (последнее слагаемое правой части). Вектор
с компонентами q
, введенный в (8.13), называется вектором теплового
j
74
K
j
потока. Само же соотношение (8.13) называют интегральной формулировкой закона сохранения энергии. Чаще же его записывают в форме
d
ρρχυσυ.
dt
VVSS
υυ
U dV dV n dS q n dS
ii
2
ii iji j j j
(8.14)
В равенстве (8.14) полная энергия W раскладывается в сумму кинетической энергии K движущегося объема V и внутренней энергии E
υυ
ii
Величины υ
ρи=ρ.
VV
/2 и называются массовыми плотностя-
iυi
(, , ,)Uxx x t
123
dV E UdV
2
ми распределения кинетической и внутренней энергий. Когда эти функции
непрерывны и дифференцируемы во всем объеме V, то, применяя (8.8),
можно записать
d
ρρχυσυ.
VVSS
dt
υυ
U dV dV n dS q n dS
ii
2
ii iji j j j
Применяя в условиях дифференцируемости подынтегральных функций к поверхностным интегралам теорему Остроградского-Гаусса, найдем
υ
dU
ρρυ συρχυ 0.
V
dt dt
d
i
iijiiiijj
,,
qdV
Если учесть уравнение движения среды и то, что объем V произволен, получаем локальную формулировку закона сохранения энергии
dU
ρ+=σε.
dt
q
,
jijij
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
РАЗРЫВОВ
9.1. Понятие ударной волны
При изучении движения сплошной среды полагается справедливым
условие сплошности, т.е. компоненты вектора перемещений
u изменяются
i
непрерывно. Однако их производные либо величины, выраженные через
производные (скорость, ускорение, плотность, напряжения и т.д.), могут
претерпевать разрыв первого рода на некоторой поверхности, подвижной
или неподвижной. Если на некоторой поверхности в среде условие сплошности не нарушается, но хотя бы одна первая производная перемещений по
времени или пространственной координате (и, следовательно, скорость,
плотность, напряжения) терпит разрыв первого рода, то такая поверхность
75
называется поверхностью сильных разрывов. Если перемещения и произ-
водные более низкого порядка непрерывны, но терпят разрыв производные
перемещений
слабых разрывов
k-го порядка, то такая поверхность называется поверхностью
k-го порядка. Например, поверхность, на которой непре-
рывны напряжения и скорости, но изменяются скачком ускорения, называется поверхностью разрывов второго порядка.
Условиями совместности на поверхности разрыва называются соотношения, которые связывают параметры среды и (или) их производные по
разные стороны поверхности разрыва.
Сильными разрывами являются, в частности, поверхности раздела
двух сред. Например, поверхность воды разделяет жидкость и воздух, т.е.
скачком меняется плотность. Другим примером поверхностей сильных
разрывов является так называемая ударная волна, возникающая при взрыве, ударе или другом нестационарном воздействии. В результате такого
воздействия в среде распространяется фронт – некоторая поверхность, на
которой скачкообразно изменяется напряженно-деформированное состояние (скорость, плотность, давление). Под
будем понимать особую движущуюся поверхность разрывов
ударной волной в дальнейшем
()t
, на кото-
рой скачком изменяются первые производные перемещений.
9.2. Закон сохранения массы на поверхности разрывов
Уравнение неразрывности (8.3) было получено из интегральной
формы закона сохранения массы в предположении о непрерывности
подынтегральных функций. При распространении ударной волны и плот-
ность, и скорость точек среды имеют раз-
n
рывы, значит уравнение неразрывности не
справедливо для всего объема. Однако ин-
()t
G
тегральная форма (8.2) остается справедливой, поскольку не требует непрерывности функций.
S
Рис. 9.1. Распространение
ударной волны
со скоростями точек среды
S
страняется в упругой среде и разделяет
изучаемый объем на две части и
(рис. 9.1). Поверхность не состоит из
материальных точек среды и ее скорость
υ
υ
и
i
Пусть ударная волна распро-
VV
t
()
()t
(, , ,)Gx x x t
123
по разные стороны от волны. В силу ад-
i
в общем случае не совпадает
V
дитивности объемного интеграла
dd d
ρρρ.
dV dV dV
dt dt dt
V
VV
76
Запишем интегральный закон сохранения массы отдельно для каждого из объемов и
V
V
d
ρρυρν0,
dV dV n dS G dS
dt t
VV S
d
ρρυρν0.
dV dV n dS G dS
dt t
VV S
ρ
ρ
jj jj
jj jj
(9.1)
(9.2)
Знак «минус» появляется перед последним интегралом в (9.1) из-за
того, что внешняя нормаль к поверхности , если рассматривать ее как
часть поверхности, ограничивающей объем , направлена противоположно направлению распространения волны ν
ρρ
dV n dS G dS dV n dS G dS
ρυ ρ ν ρυ ρ ν 0.
tt
VS VS
jj j j jj j j
()t
V
. Сложим (9.1) и (9.2)
j
К левой части выражения прибавим и вычтем слагаемое
ρυν ρυν :
ρ
dV n dS n dS dS G dS
t
VS
ρυ ρ ν ρ υ ν ρ ν
jj jj j j jj
dS dS
jj jj
ρ
dV n dS n dS dS G dS
t
VS
ρυ ρ ν ρ υ ν ρ ν 0.
jj jj j j j j
Выражения в фигурных скобках могут быть преобразованы по формуле Остроградского-Гаусса, поскольку по отдельности в каждом из объе-
V
мов и подынтегральные функции непрерывны и дифференцируемы.
V
Остальные слагаемые можно свести к одному интегралу
ρρ
VV
(ρυ ) (ρυ )
tt
dV dV
,,
jj jj
ρυν ν ρυν ν 0.
GGdS
jj jj jj jj
Подынтегральные функции объемных интегралов равны нулю согласно уравнению неразрывности, справедливому по отдельности в каж-
дом из объемов и . Поверхностный интеграл через скачок можно за-
V
V
писать в виде
ρυν 0.
jj
GdS
В силу произвольности площади отсюда следует, что
ρυν 0.
jj
G
(9.3)
77
Выражение (9.3) называется
поверхности разрывов
. Его следует понимать так: несмотря на то что ско-
законом сохранения массы на ударной
рости точек среды и плотность скачкообразно меняются при переходе через ударную волну, их комбинация в квадратных скобках непрерывна
перед волной за волной
ρυν ρυν 0.
GG
jj jj
9.3. Закон сохранения импульса на поверхности разрывов
Аналогично уравнению неразрывности уравнение движения является
локальным следствием закона сохранения импульса, сформулированного в
интегральной форме, при условии непрерывности и дифференцируемости
подынтегральных функций.
Выпишем левую часть закона сохранения импульса (8.9), учитывая
аддитивность объемного интеграла:
dd d
dV dV dV
ρυ ρυ ρυ .
iii
dt dt dt
V
Поверхность, ограничивающая , состоит из поверхности и поверхности с нормалью –ν
()t
(ρυ )
d
dV dV n dS G dS
ρυ (ρυ )υ (ρ υ ) ν .
iijjijj
dt t
VV S
Аналогично
(ρυ )
d
dV dV n dS G dS
ρυ (ρυ )υ (ρ υ ) ν .
iijjijj
dt t
VV S
Складываем (9.5) и (9.6), прибавляя и вычитая одинаковое выражение:
ρυ υν ρυ υν .
ijj ijj
Получаем
(ρυ )
d
ρυ (ρυ )υ (ρ υ ) ν
dV dV n dS G dS
iijjijj
dt t
V
VS
i
VV
(9.4)
V
. Согласно (8.9) можно представить
j
i
i
dS dS
S
(9.5)
(9.6)
(ρυ )
VS
(ρ υ )υ ν (ρ υ )υ ν (ρ υ )υ ν (ρ υ )υ ν
ijj ijj ijj ijj
i
dV n dS G dS
t
(ρυ )υ (ρ υ ) ν
ijj i jj
dS dS dS dS
.
78
j
После перегруппировки слагаемых выражение принимает вид
(ρυ )
VS
VS
(ρ υ )υ ν (ρ υ ) ν (ρ υ )υ ν (ρ υ ) ν .
i jj i jj i jj i jj
i
dV n dS dS
t
(ρυ )
i
dV n dS dS
t
(ρυ )υ (ρ υ )υ ν
ijj i jj
(ρυ )υ (ρ υ )υ ν
ijj i jj
dS G dS dS G dS
Применяя теорему Остроградского-Гаусса к первым двум фигурным
скобкам и группируя остальные слагаемые, получим
(ρυ ) (ρυ )
VV
ii
(ρυ υ ) (ρυ υ )
tt
ρ υ (υ ν ) ρ υ (υ ν ) .
ijj ijj
ijj ijj
dV dV
GdS GdS
Заменяя подынтегральные функции в объемных интегралах согласно
(8.7), т.е. полагая, что Ф = υ
υυ
dd
ii
ρρ ρυνυ,
dt dt
VV
, приходим к выражению
i
dV dV G dS
jj i
где снова квадратными скобками обозначен скачок выражения при переходе через поверхность разрывов
ρυνυρυνυ ρυνυ .
GG G
jj i jj i jj i
перед волной за волной
Однако согласно динамическому условию совместности (9.3) выражение ρ(υ
– G) на волне непрерывно и при вычислении разрыва может
jνj
быть вынесено за квадратную скобку
ρυν υ ρ υν υ ρ υν υ .
GG G
ji jj i jj i
Перепишем (9.4) окончательно в виде
υυ
d
ρυ ρ ρ ρ (υ ν ) υ .
dt dt dt
V
dV dV dV G dS
ijji
dd
ii
VV
(9.7)
Теперь распишем правую часть закона сохранения импульса (8.9)
σρχσ σ ρχρχ
ndS dV ndS ndS dV dV
SV
SSVV
ij j i ij j ij j i i
79
σσνρχ σσνρχ
n dS dS dV n dS dS dV
ij j ij j i ij j ij j i
SVSV
В фигурных скобках воспользуемся теоремой ОстроградскогоГаусса, получим
σν σν .
dS dS
ij j ij j
σρχσρχ σρχσν.
ndS dV dV dV dS
ij j i ij j i ij j i ij j
SV
,,
VV
(9.8)
Приравниваем (9.7) и (9.8)
υυ
dd
ii
ρρρ(υν)υ
dV dV G dS
dt dt
VV
σρχ σρχ σν.
VV
,,
ij j i ij j i ij j
dV dV dS
jj i
Тогда
υυ
VV
σρχρ σρχρ
,,
ij j i ij j i
dd
ii
dV dV
dt dt
σν ρ(υν )υ 0.
ij j j j i
GdS
Согласно уравнению движения (8.10) выражения в фигурных скобках равны нулю. Оставшийся поверхностный интеграл не зависит от выбора области интегрирования Σ, откуда следует, что в нуль обращается
подынтегральная функция. Окончательно получаем динамическое условие
совместности
σν ρ(υν )υ,
ij j j j i
G
(9.9)
называемое
. В условии (9.9) один свободный индекс, следовательно оно содержит
вов
законом сохранения импульса на ударной поверхности разры-
три уравнения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебном пособии рассматриваются стандартные вопросы динамической теории упругости, в той или иной мере входящие в распространенные учебники. При написании пособия автор не стремился к полному
охвату всех вопросов динамики деформирования твердых тел. Некоторые
утверждения и формулы приведены без строгих доказательств и выводов.
Изложение ведется с использованием только декартовых прямоугольных
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]