Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1
Упражнения 1.1
1. Укажите способ конструирования множества {a, e, i, o, u}.
2. Запишите в табличной форме множества { х: х является множи-
телем числа 6}.
3. Если А = {3, 5, 8, 9}, то выразите символами:
а) 8 принадлежит множеству А;
б) 4 не принадлежит множеству А.
4. Установите, какие из следующих множеств конечны, а какие
бесконечны:
а) A =
{x, y, p, q, 5, 7};
б) { х: х является песчинкой в Европе};
в) С = { х: х кратно 3};
г) D = { х: х является числом между 0 и 1}.
Упражнения 1.2
1. Даны множества:
А = {1, 3, 5, 7}; В = {3, 5}; Е = {2}; D = {5, 7, 9}.
Укажите среди указанных ниже истинные (И) и ложные (Л) утвер-
ждения:
а) В А; б) Е В; в) В D; г) D А; д) В А; е) В;
ж) А; з
л) D не является подмножеством множества А.
2. Среди следующих множеств укажите пары непересекающихся
множеств:
А = {x, y, z}; В = {1, 2, 4, y}; C = {a, b, c, 2};
D = {1, x, a}; Е = ; F = {2, 3, b, c}.
Выбрать пустые множества:
3.
X = { х: х есть решение уравнения х
Y = { y: y является замужней старой девой};
Z = {};
W = { x: x является человеком, чей возраст больше 500 лет}.
4. Среди следующих множеств укажите равные:
А = {1, 2, a, b}; В = {1, 0, 2, a, b}; C = {b, b, 2, 1, a, a};
D = {1, 2, 3, a, b}.
) D; и) Е В; к) множество А конечно;
2
= 0};
Упражнения 1.3 (смешанные задачи)
1. Дано множество А = {1, {2, 3}, 4}. Можно ли описать множе-
ство А как класс?
21
Справедливы или ложны следующие утверждения:
(1) {2, 3} А; (2) {{2, 3}} А; (3) {2, 3} А; (4) 3 А;
(5) А; (6) А; (7) 4 А?
2. Запишите множества в табличной форме:
(1) { х: х
2
– 4 = 0, х – 2 = 0};
(2) { х: х является одной из цифр семизначного числа 3064505};
(3) { х: х есть нечетное число, меньшее 7}.
3. Запишите множества, указывая способ их конструирования:
(1) {2, 4, 6, 8, 10}; (2) {с, у, д, т}; (3) {1, 3, 5, 7,...};
(4) {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиоле-
товый}.
4. Установите, конечны или бесконечны следующие множества:
(1) множество слов в английском языке;
(2) множество
слов во всех живых языках;
(3) множество всех комбинаций букв алфавита;
(4) множество точек на отрезке;
(5) множество прямых, проходящих через точку (1, 1);
(6) множество всех атомов во Вселенной;
(7) множество решений уравнения sin x = 0;
(8) множество всех прямоугольных треугольников;
(9) множество травинок на футбольном поле.
5. Постройте диаграммы Венна для изображения следующих мно-
жеств:
А = {5, 6, 8, 2, 4}; В = {1, 2, 3, 4, 5};
(1)
(2) P = {x, y, 5, 6}, Q = {y, 5, 6}, R = {5, 6, 7};
(3) X = { х: х есть гласная буква слова «voice (голос)»};
Y = { y: y является буквой слова «voice (голос)»};
Z = { z: z является буквой алфавита}.
(4) Из 12 студентов 8 носят очки, 5 студентов курят, а 3 студента
курят и носят очки.
В каждой из следующих задач укажите равные между собой
1.
множества:
(1) {a, b, c}; {a, a, b, c, c, c}; { c, b, a, b}; { b, a};
(2) совокупность букв n, s, i:
{ х: х является буквой слова sin};
{ y: y является буквой слова innings, кроме буквы g},
буквы, составляющие слово inns (гостиницы);
(3) , {0}, {
}.
22
7. Какие из множеств , {0}, {} могут быть описаны как класс
множеств?
8. Выпишите все подмножества каждого из следующих множеств:
(1) { х: х является гласной буквой},
(2) { y: y есть четное число между 1 и 7},
(3) { z: z
2
= 9}.
9. Перепишите следующие утверждения, используя операции над
множествами:
(1) S есть подмножество S;
(2) х принадлежит множеству Р;
(3) множество Y не является подмножеством множества Х;
(4) множество S – подмножество множества Т;
(5) z не принадлежит множеству Z.
10. Нарисуйте диаграмму Венна для иллюстрации отношений между
следующими множествами:
А = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, В = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
С = {2, 3, 4, 5, 6}, D
= { 3, 4,}.
Завершите формулировку следующих утверждений, вставляя вме-
сто точек правильные символы (, , ):
(1) 3... А; (2) 2... D; (3) C... D; (4) C... B; (5) ... D.
Какие из множеств A, B, C, D могут равняться множеству Х, если
известно, что:
(1) Х и D не пересекаются;
(2) Х С и Х ≠ С;
Х { y: y > 1}.
(3)
Выпишите класс всех подмножеств точек, принадлежащих В, но не
принадлежащих ни А, ни С, ни D.
Упражнения 1.4
1. Пусть
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, А = {1, 3, 5}, В = {2, 4, 6},
С = {1}, D = {4, 5}.
Покажите, что:
(1) А= {2, 4, 6} = В; (2) В= А; (3) С= {2, 3, 4, 5, 6};
(4) D= {1, 2, 3, 6}; (5) (D) = {4, 5}; (6) (С) = {1} = С.
Нарисуйте диаграммы Венна, чтобы проиллюстрировать каждую
из этих операций дополнения.
23
2. Если S есть множество всех целых положительных чисел, то ка-
ково дополнение множества О = {1, 3, 5,...}?
Упражнения 1.5
1. Найдите объединение множеств А и В в следующих задачах (ре-
комендуем нарисовать диаграммы):
(1) А = {собака, кошка}, В = {корова, собака, коза};
(2) А = {1, 2}, В = {6, 7, 8};
(3) А = {5, 10, 15}, В = {10, 11, 12, 13, 14, 15};
(4) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х < 3/2};
(5) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х ≤ 1};
(6) рассмотрим группу студентов: А – множество студентов, уме-
ющих
А А = S.
плавать, В – множество студентов, не умеющих плавать.
2. Пусть S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и А = {1, 2}. Найдите А. Покажите, что
3. Пусть А = {1, 2, 3, 4} и В = {1, 3}. Найдите А В.
4. Пусть S = {х: – 1 ≤ х < 1}, Т = {х: 0 < х < 1}. Найдите S T.
Упражнения 1.6
1. Найдите разности А – В для каждого из примеров (1) – (6):
(1) А = {собака, кошка}, В = {корова, собака, коза};
(2) А = {1, 2}, В = {6, 7, 8};
(3) А = {5, 10, 15}, В = {10, 11, 12, 13, 14, 15};
(4) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х < 3/2};
(5) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х ≤ 1};
(6) рассмотрим группу студентов: А – множество студентов,
умеющих плавать, В – множество студентов, не умеющих
2. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {4, 5, 6}. Найдите А – В.
В общем случае, если А и В не имеют общих элементов, то каково
будет множество А – В.
3. Верно ли, что А – В = В – А? Если Вы считаете, что в общем слу-
чае это неверно, то можете ли вы указать частный пример,
утверждение все-таки верно? Или же это утверждение всегда ложно?
4. Для любого множества А что представляет собой A – А?
5. Если А В, то каково А – В» (Нарисуйте диаграмму)
плавать
когда это
Упражнения 1.7
1. Найдите пересечения множеств А и В для каждого из примеров:
(1) А = {собака, кошка}, В = {корова, собака, коза};
(2) А = {1, 2}, В = {6, 7, 8};
24
(3) А = {5, 10, 15}, В = {10, 11, 12, 13, 14, 15};
(4) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х < 3/2};
(5) А = {х: 0 < х ≤ 1}, В = { х: 1/2 < х ≤ 1};
(6) рассмотрим группу студентов: А – множество студентов, уме-
ющих плавать, В – множество студентов, не умеющих плавать.
2. Заштрихуйте площади, изображающие множество А В на каж-
дой диаграмме Венна (рис. 1.13).
А
В
А
А
В
В
Рис. 1.13
3. Пусть
А = {0, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 3, 5, 7}, С = {0, 2, 4, 6}.
Выпишите множества:
(1) А В; (2) В С; (3) С А; (4) С В;
(5) А (В С); (6) (А В) С.
В
А
25
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
2.1. Основные понятия
Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов,
существенные свойства которых описываются связями между ними.
Например, глядя на карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеется ли связь между некоторыми населенными
пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и
других подробностей. При изучении электрических цепей на первый
план может выступать характер соединений различных ее компонентов – резисторов, конденсаторов, источников и т. п. Органические молекулы образуют структуры, характерными свойствами которых являются связи между атомами. Интерес могут представлять различные
связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще
между любыми объектами.
В подобных случаях рассматриваемые удобно объекты изображать
точками, называемыми вершинами, а связи между ними − линиями
(произвольной конфигурации), называемыми ребрами. Множество
вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е,
называют графом и обозначают G = (V, Е).
Другими словами, простейшим образом граф можно описать как
набор точек, определенные пары которых соединены линиями. Слово
«сеть», возможно, лучше, чем «граф», передает общее представление о
природе системы, с которой имеет дело теория графов. Слово «сеть»
часто употребляется в качестве синонима слова «граф».
Пример 1
Первая работа по графам была опубликована двадцатилетним Лео-
нардом Эйлером в 1736 году, когда он работал в Российской Академии
наук. Она содержала решение задачи о кёнигсбергских мостах: можно
ли совершить прогулку таким образом, чтобы, выйдя из любого места
города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мо-
26
сту (рис. 2.1)? По условию задачи не имеет значения, как проходит
ABC
A
C
CCH H
H
H
путь по частям суши А, B, С, D, на которых расположен г. Кёнигсберг
(ныне Калининград), поэтому их можно представить вершинами. А так
как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответствующие вершины. В результате получаем граф, изображенный на
рис. 2.1. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого
графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер.
Берег
Река
D
D
Берег
Рис. 2.1
B
Пример 2
Теория графов была применена к
проблемам органической химии (например, к перечислению изомеров
химического соединения). Молекула
этилена C
предстает в форме графа,
2H4
изображенного на рис. 2.2.
Рис.2.2
Теория графов используется для решения прикладных задач из са-
мых различных областей науки и техники, например:
анализ и синтез цепей и систем;
проектирование каналов связи и исследование процессов передачи
информации;
построение контактных схем и исследование конечных автоматов;
сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор
оптимальных маршрутов и потоков в сетях;
моделирование жизнедеятельности и нервной системы живых ор-
ганизмов;
исследование случайных процессов и многие другие задачи.
27
Теория графов связана с такими разделами математики, как теория
множеств, теория матриц, математическая логика и теория вероятностей, комбинаторика. В этих разделах графы применяют для представления различных математических объектов, и в то же время сама теория
графов широко использует аппарат родственных разделов математики.
Часто рассматриваются множества, в которых отношения внутри
данной пары элементов односторонние (т. е. направленные или ориентированные). Например, в генеалогическом дереве отношение между
отцом и сыном – это одностороннее отношение происхождения. Мож-
О С
Рис. 2.3
Если стрелки стоят на всех ребрах графа (т. е. каждое ребро
направлено), то про весь граф говорят, что он направлен (направленный
или ориентированный граф или орграф).
Если направления дуг орграфа не учитываются и каждая дуга рас-
сматривается как неориентированное ребро, то он называется неориентированным (соотнесенным) графом.
но показать направление родственной связи
на графе, поместив стрелку на ребро между
точкой
значающей сына, как показано на рис. 2.3.
, обозначающей отца, и точкой, обо-
2.2. Ненаправленные графы
Термины
1. Множество Х. Предполагаем, что множество Х объектов задано,
и каждый объект можно представить точкой на плоскости. Примеры
таких множеств: совокупность городов (точки на карте), детали электроаппаратуры (точки на схеме сети), группа людей, происходящих от
одного и того же предка (точки на генеалогическом дереве).
2. Вершины и ребра. Если два объекта
разом связаны между собой, то связь может быть указана линией, соединяющей две точки, обозначающие эти два объекта. Таким образом,
связь е между объектами u и v может быть
обозначена так, как показано на рис. 2.4.
Точки u и v называются вершинами, а ли-
ния
е называется ребром.
Ребро е называется инцидентным по от-
ношению к вершинам u, v. Вершины u и v называются конечными точ-
ками е.
Концевые точки ребра называются смежными вершинами.
из множества Х каким-то об-
u v
e
Рис. 2.4
28
Два ребра е1 и е2 называются смежными ребрами, если у них есть
хотя бы одна общая концевая точка. Если для них общими будут обе
концевые точки, то они называются параллельными ребрами.
3. Петли. Ребро, обладающее только од-
ной концевой точкой, называется петлей
(рис. 2.5). Петля – это ребро, которое дважды
инцидентно по отношению к одной и той
же
концевой точке.
u
Рис. 2.5
е
4. Изолированная вершина. Если вершина не является концевой
точкой какого-либо ребра, то она называется изолированной.
Пример
На рис. 2.6 изображен граф, для которого множество V вершин
(представляющее собой множество объектов Х) имеет вид
, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}.
1
v
3
е
v
4
е
6
v
6
4
е
5
v
5
Рис. 2.6
v
7
е
8
е
v
7
8
е
9
Точки v
петля; v
– смежные ребра.
е
6
и v4 – концевые точки ребра е3; е4 – инцидентно v4 и v5; е9 –
1
– изолированная вершина; е1 и е2 – параллельные ребра; е5 и
3
е1
v1
v
2
е
2
е
3
V = {v
Определение ненаправленного графа
1. Ненаправленный граф состоит:
(а) из непустого множества V, его вершин;
(б) множества Е (возможно, пустого), его ребер, все концевые
точки которых являются элементами V.
Таким образом, граф G полностью определен, если заданы два
множества V и Е. Это записывается следующим образом:
G = (V, Е).
2. Конечные графы. Если V
тов, то G называется конечным графом. В противном случае граф G
бесконечен.
и Е состоят из конечного числа элемен-
29
2.3. Соотношения между числом вершин и числом ребер
Обозначение | Х |. Символом | Х | будет обозначаться число элемен-
тов множества Х. Например, на рис. 2.7 изображен граф, имеющий
5 вершин и 7 ребер. Можно записать
G = (V, Е) и | V | = 5, | Е | = 7.
С помощью этих обозначений можно так
записать определение конечного графа:
Рис. 2.7
G = (V, Е) представляет собой конечный граф,
если | V | < ∞, |
Е | < ∞;
в противном случае он бесконечен.
Степень вершины δ(v). Рассмотрим граф, изображенный на рис. 2.8.
Вершине v
Сосчитав эту петлю дважды, можно сказать, что
вершина v
ребрами; это число называется степенью v
инцидентны три ребра и одна петля.
1
обладает пятью инцидентными ей
1
v
2
v
.
1
1
v
3
Степень вершины v обозначим символом δ(v).
Таким образом, в этом графе
δ(v
) = 5, δ(v2) = 2, δ(v3) = 3.
1
Рис. 2.8
Вершина будет нечетной, если ее степень – нечетное число, и чет-
ной, если ее степень – четное число; она изолированная, если δ(v) = 0.
Две теоремы о степенях вершин
Теорема 1. Для любого графа G = (V, Е) сумма степеней вершин
равна удвоенному числу ребер, т. е.
() 2
vE
vV
.
Доказательство. Предположим, что ребро е имеет две различные
концевые точки u, v. Тогда его вклад в δ(u) и δ(v) равен 1.
Если ребро е является петлей, инцидентной v, то его вклад в δ(v)
равен 2.
Отсюда в любом случае вклад ребра е в сумму степеней всех вер-
шин равен 2.
Поэтому удвоенное число ребер равно сумме степеней,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. В конечном графе число нечетных вершин четно (без
доказательства).
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]