Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Е (v2) + (продолжительность работы р35) = 4 + 2 = 6;
) + (продолжительность работы р45) = 5 + 1 = 6.
Е (v
4
Первое значение наибольшее, оно и будет равно Е(v
= 7; событие v
не может наступить раньше, чем с начала проекта
5
). Итак, Е (v5) =
5
пройдет 7 единиц времени. Отсюда следует, что полным временем
осуществления проекта будет 7 единиц. Если следовать сетевой модели, проект не может быть выполнен раньше, чем через 7 единиц времени.
2. Нахождение позднего срока свершения события L (v)
(6) Возможный наиболее поздний срок выполнения всего
проекта
по определению равен полному сроку выполнения проекта, т. е.
L (v
оконч
) = Е (v
оконч
).
(7) произведем теперь процедуру вычисления раннего срока свер-
шения события в обратном порядке. Для этого будем двигаться по сети
справа налево. Таким образом, если из v
которая ведет к v
, то время позднего срока свершения этого события
j
выходит только одна стрелка,
i
будет равно
) = L (vj) − (продолжительность работы рij).
L (v
i
Для сети нашего примера
) = L (v5) − (продолжительность работы р45) = 7 – 1 = 6,
L (v
4
L (v
) = L (v5) − (продолжительность работы р35) = 7 – 2 = 5.
3
Последнее значение говорит о том, что, если мы хотим закончить
проект максимум за 7 единиц времени, событие v
должно произойти
3
не позже чем через 5 единиц времени с начала осуществления проекта.
(8) Если из события ведут более одной стрелки, например, как
, то необходимо вычислить все множество значений «позднего»
для v
2
времени и выбрать из него наименьшее. Таким образом,
) − (продолжительность работы р24) = 6 – 2 = 4,
L (v
4
) − (продолжительность работы р25) = 7 – 4 = 3*.
L (v
5
Значение, помеченное звездочкой, будет наименьшим, т. е. L (v
) = 3.
2
3. Нахождение критического пути (путей)
Любой путь от исходного события до завершающего, такой, что
(1) Е (v) = L (v) для всех входящих в него событий v, будет крити-
ческим путем,
51
(2) при этом время продолжительности каждой работы равно раз-
6v8
ности между временем конечного и начального события.
(Оба критерия (1) и (2) должны быть проверены для каждого события и работы.)
Резерв времени работы. Если та или иная работа не принадлежит
критическому пути, то мы имеем возможность увеличить время ее
продолжительности без увеличения
полного времени осуществления
проекта. Эту возможность иногда полезно использовать. В таком случае, например, можно было бы людские ресурсы переключить на выполнение других работ, увеличив таким способом общую эффективность. Однако увеличение продолжительности любой работы, не входящей в критический путь, имеет определенный максимум. Слишком
большое увеличение приведет к возникновению
нового критического
пути и увеличению полного времени осуществления проекта.
Чтобы правильно спланировать использование ресурсов, т. е. распределить их по различным работам наиболее эффективным образом,
необходимо найти некоторые величины, называемые как резервы времени. Имеется три вида резервов, которые называются:
полными,
свободными
независимыми.
Каждый из этих видов
резервов проиллюстрируем на блоке некоторой сетевой модели (рис. 2.31). Предположим, что единица времени
равна одному дню.
Е= 4 Е= 13
v
4
L= 7
5
v
L= 15
Рис. 2.31
Е= 28
10
L= 30
1. Полные резервы. Для работы р46 имеем:
поздний срок свершения события v
ранний срок свершения события v
= 15-й день;
6
= 4-й день;
4
максимум существующего времени = 11 дней;
продолжительность работы = 5 дней;
полный резерв = 6 дней.
Это означает, что если v
наступит как можно раньше и если v
4
6
наступит как можно позже, то работа р46 может быть выполнена в лю-
52
бое время в промежутке 11 дней, т. е. имеется 6 резервных дней. Это
хорошо иллюстрируется на графике с временной осью (рис. 2.32).
Е
L
4
4
L
Е
6
6
0
4
А
5
В
15
Время (дни)
Резервное
время
Продолжительность
выполнения работы
Рис. 2.32
Резервное
время
► Замечание. Отрезок АВ может быть расположен в любом месте,
лишь бы он лежал в заданном интервале длиной 11 дней.
Полный резерв работы может быть использован на стадии планирования или на стадии выполнения проекта. Использование резерва
одной работы может изменить (уменьшить) резервы последующей или
предыдущей работы. Для исследования этой возможности
необходимо
найти значения двух других видов резервов.
2. Свободные резервы. Для работы р
ранний срок свершения события v
ранний срок свершения события v
имеем:
46
= 13-й день;
6
= 4-й день;
4
разность = 9 дней;
продолжительность работы = 5 дней;
свободный резерв = 4 дня.
Это означает, что начало работы р
можно отодвинуть от самого
46
раннего срока не больше чем на 4 дня, не влияя на наступление раннего срока свершения события v
полный резерв времени работы р
. Поступая таким образом, мы уменьшаем
6
. Как видим, свободный резерв време-
46
ни работы является той частью ее полного резерва, которая может быть
использована без изменения резерва последующих работ. Использование свободного резерва времени на стадии планирования уменьшает
резервы времени предшествующих работ. На рис. 2.33 изображен график с временной осью.
3. Независимые резервы. Иногда продолжительность времени ра-
боты
может быть увеличена на некоторую величину без изменения
резервов времени как последующих, так и предшествующих работ.
53
Это возможное увеличение времени работы и называется независимым
р
р
резервом времени работы.
Е
L
4
4
L
Е
6
6
0
4
13
Время (дни)
Свободный
езерв
Продолжительность
выполнения работы
Рис. 2.33
Свободный
езерв
На примере работы р
эта величина вычисляется следующим обра-
46
зом:
ранний срок свершения события v
поздний срок свершения события v
= 13-й день;
6
= 7-й день;
4
разность = 6 дней;
продолжительность работы = 5 дней;
независимый резерв = 1 день.
Таким образом, продолжительность работы р
может быть увели-
46
чена до 5 + 1 = 6 дней без изменения резерва времени любых других
работ проекта. В некоторых случаях эту возможность целесообразно
использовать. Создатель проекта должен найти независимые резервы
всех работ, с тем чтобы при необходимости их использовать. Он может
перебросить ресурсы (например, рабочих или материалы) на критические работы или работы,
близкие к ним, и таким образом уменьшить
полное время осуществления проекта.
► Замечание. В некоторых случаях при вычислении независимых
резервов могут получиться отрицательные числа: полагаем тогда их
равными нулю.
4. График на временной оси трех видов резервов. На примере рабо покажем, как все три вида резервов можно изобразить на графи-
ты р
46
ке с временной осью (рис. 2.34).
► Замечание. Теоретически резервы могут располагаться в любой
части интервала: в начале, в конце или в середине работы.
54
Е= 4 Е= 13
v
Е
4
L= 7
4
5
L= 15
L
4
v
6
L
Е
6
6
0
4
7
Полный резерв
13
Работа
15
Время (дни)
Свобод-
ный резерв
Работа
Независимый резерв
Работа
Рис. 2.34
Ранний и поздний сроки выполнения работ. Для каждой работы, как
правило, вычисляют четыре величины времени. Способ вычисления
этих величин рассмотрим на примере работы р
Ранний срок начала работы Е
раньше наступления события v
. Поэтому наиболее раннее время нача-
4
. Работа р46 не может начаться
s
.
46
ла работы будет равно
Е
= Е (v4) = 4 дня, начиная с нуля.
s
В общем случае Е
Ранний срок окончания работы Е
нее время окончания работы р
мени работы d
и раннего срока начала работы, т. е.
ij
Поздний срок окончания работы L
совпадает с Е (vi), т. е. Еs = Е (vi).
s
. Очевидно, что наиболее ран-
s
равно сумме продолжительности вре-
ij
= Еs + dij.
E
f
. Если мы не хотим изменить
f
полное время выполнения проекта, то должны стремиться окончить
работу р
не позднее последнего срока для события vj. Поэтому
ij
= L(vj).
L
f
55
Поздний срок начала работы Ls. Поскольку продолжительность
работы равна d
мени L
– dij, для того чтобы успеть окончить ее к моменту Lf. Отсюда
f
, работу рij нужно начать не позднее чем в момент вре-
ij
= Lf – dij.
L
s
Пример
Для примера с работой р
последовательно находим:
46
= Е (v4) = 4;
Е
s
E
= Еs + d46 = 4 + 5 = 9;
f
L
= L(v6) = 15;
f
L
= Lf – d46 = 15 – 5 = 10.
s
Табличная запись результатов. Для любой сети все работы можно
записать в виде таблицы, приведенной ниже, с указанием четырех значений времени для работ и их резервов. Один из возможных вариантов
такой записи приведен в следующем примере сети (рис. 2.35). Полное
время осуществления проекта равно 18, критический путь будет v
– v
– v6. Звездочкой в последней колонке помечены величины, которые
5
– v2 –
1
соответствуют работе, принадлежащей критическому пути.
Е = 0
v
L = 0
4
1
2
Е = 4
v
L = 4
Е = 2
v
L = 9
Е = 7
3
2
8
3
v
4
L = 16
Е = 12
v
5
2
Е = 18
v
6
L = 18
6
3
L = 12
Рис. 2.35
Составление проекта. После того как сеть проекта построена,
найден критический путь и определены все резервы времени, админи-
56
страция должна решить, является ли план, изображаемый сетью, допустимым. Если проект оказывается удовлетворительным, то необходимо закончить его составление, указав количество необходимых материалов и специального оборудования, а также организовать перевозку
людей к месту строительства и т. д. Кроме того, должны быть определены плановые сроки завершения работ. В противном
случае необходимо выполнить дальнейший анализ сетевой модели с целью улучшения проекта.
Работа
v1 – v
Продол-
житель-
начала
ность
E
L
s
s
4 0 0 4 4 0 0 0
2
Время
Время
окончания
E
f
Lf полный
Резервы
свобод-
ный
незави-
симый
*
v1 – v3 2 0 7 2 9 7 0 0
v2 – v4 3 4 13 7 16 9 0 0
v2 – v5 8 4 4 12 12 0 0 0
*
v3 – v5 3 2 9 5 12 7 7 0
v4 – v6 2 7 16 9 18 9 9 0
v5 – v6 6 12 12 18 18 0 0 0
*
После того как проект построен, начинается стадия управления.
Стадия управления. Детальное обсуждение методов управления
выходит за рамки настоящего курса. Достаточно сказать, что после
начала осуществления проекта возникает множество непредвиденных
трудностей, таких как нехватка рабочей силы, отсутствие предложения
и субподрядчиков и т. д. Поэтому первоначальный план должен периодически пересматриваться в
свете текущего развития проекта. Методы сетевого планирования позволяют выполнять эту задачу легко и
эффективно. В конце, например, каждого месяца с помощью ЭВМ
можно сравнивать плановые сроки завершения работ с действительными. Такое сравнение дает возможность переоценить всю ситуацию.
Это означает, что некоторые сроки в сети могут быть изменены, а
стратегия
действий переформулирована.
57
1)
2)
v
2
3
v
1
4
4
6
v
3
5
3)
v
4
8
v
6
6
v
5
5
v
1
5
v
2
2
7
v
1
1
v
4
8
v
3
6
4
v
5
2
3
4
v
2
4
7
v
6
v
5
4
6
v
3
3
2
4
v
6
v
7
4
v
4
3
1
v
7
Рис. 2.36
v
2
3
6
0
v
1
4
v
3
2
v
4
6
v
5
0
2
7
v
7
8
1
v
6
Рис. 2.37
58
Упражнения к разделу 2.9
Упражнения 2.7
Для каждого из следующих планов нарисуйте свою сеть. Множе-
ство работ (не обязательно в правильном порядке) задано.
1. Почистить пару ботинок. Счистить грязь с ботинка А (2); счистить грязь с ботинка В (1,5); нанести крем на ботинок А (1); нанести
крем на ботинок В (1); растереть крем на ботинке А (1); растереть крем
на ботинке
продолжительность работ в минутах.
2. Сделать деревянный ящик (один человек). Разместить доски в
соответствии с размерами ящика (15 мин); разрезать доски (12); склеить части ящика (40); прибить к крышке ящика петли (8); подождать,
пока ящик высохнет, и вытереть его (15); петли (с крышкой) прибить к
ящику (10). В
3. Заменить колесо машины (работу выполняют два человека),
продолжительность работ в секундах.
достать из багажника домкрат и инструменты (40 с);
снять колпак с колеса (30); освободить (раскрутить гайки) колесо
(50);
поставить домкрат под машину (26); поднять машину (20);
из багажника взять запасное колесо (25); снять гайки и
(20); установить запасное колесо на ось (10);
завинтить (не сильно) гайки на оси (15);
опустить машину и собрать домкрат (25); поставить домкрат об-
ратно в багажник (10);
завинтить гайки на оси до конца (12);
положить плохое колесо и инструменты в багажник (40);
поставить на место диск колеса (10).
В (1); натереть А (1/2); натереть В (1/2). В скобках указана
скобках указана продолжительность работ в минутах.
колесо
Упражнения 2.8
Для всех сетей (рис. 2.36) выпишите все возможные пути и вычислите их продолжительности. Определите для каждой сети полное время осуществления проекта и укажите критические пути.
Упражнения 2.9
1. Для каждой вершины сети (рис. 2.37) найти ранний и поздний
сроки свершения события. Исходя из этого определить полное время
для всего проекта и критический путь этой сети.
59
3. КОМБИНАТОРИКА
3.1. История развития
► Комбинаторика – это наука про общие законы комбинирования
и образования различных конфигураций объектов. С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в
определенном порядке, отыскивать среди разных расположений
наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая
наилучшие расположения охотников во время охоты, воинов во время
битвы
, инструментов во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений расширялось использование
общих понятий о порядке, иерархии, группировании.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга.
Наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры (нарды, шашки и шахматы), требовавшие в первую очередь умения
рассчитывать, составлять
каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания
передвигаемых фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрывающие комбинации и умел избегать проигрывающих.
► Работы Паскаля и Ферма заложили основу для двух новых ветвей математики – комбинаторики и теории вероятности [2]. Если до
них
комбинаторные проблемы лишь затрагивались в общих трудах по
астрологии, логике и математике, а большей частью относились к области математических развлечений, то уже в 1666 году Лейбниц публикует «Диссертацию о комбинаторном искусстве», в которой впервые
появляется сам термин «комбинаторный». В ней рассматривалось приложение теории к замкáм, силлогизмам, смешению
жению, к логике, геометрии, военному искусству, грамматике, юриспруденции, медицине. Многие планы Лейбница стали претворяться в
жизнь лишь после создания ЭВМ.
Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат
Леонарду Эйлеру, швейцарцу, прожившему почти всю жизнь в России,
планы и опровергать планы противника. В
цветов и стихосло-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]