Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Пример
Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы в колхозе. Если выбирать их последовательно: сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим 25 · 24 · 23 варианта. Но так как нас не
интересует порядок выбора, а только состав выбранной бригады, то
полученный результат нужно разделить еще на 3!
Пример
Рассмотрим лотерею «Спортлото
» 6/49 (середина 60-х годов в Рос-
сии; была еще и лотерея 5/36). Играющий покупает билет, на котором
имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответствует какому-либо виду
спорта. Нужно выделить (зачеркнуть) 6 из этих клеточек и отправить
организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи объявляются шесть
выигравших номеров. Награждается играющий, угадавший все шесть
номеров, пять номеров, четыре
номера и три номера. Соответственно,
чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше выигрыш.
Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения карточек «Спортлото» 6 из 49. Нам надо выбрать 6 подмножеств из
49 множества, а это можно сделать С
C
6
способами. По формуле (7)
49
49!
k
n
.
6!43!
Не следует думать, что придется перемножать числа от 1 до 49 –
ведь и в числителе, и в знаменателе имеется произведение чисел от 1
до 43. Сокращая на него, получаем
6
С = (49·48·47·46·45·44) /(1·2·3·4·5·6) = 13 983 816.
49
Эту же задачу можно решить и другим способом. Выпишем все
номера подряд и под выбираемыми номерами поставим 1, а под
остальными – 0. Тогда различные варианты заполнения карточек будут
отличаться перестановками. При этом переставляются 6 предметов
одного вида (единица) и 49 – 6 = 43 предмета другого вида (нули), т. е.
(6,43) 13 983816
P
49!
.
6!43!
Если все участники заполняют карточки по-разному, то в среднем
один из примерно 14 миллионов угадает все 6 номеров.
71
Сколько человек в среднем угадают 5 номеров? Выберем один из
1
угаданных номеров (
1
(
С = 43). Итого: 6 · 43 = 258 человек из 14 000 000 угадают 5 номе-
43
С
= 6) и заменим его на один из неугаданных
6
ров.
А сколько человек в среднем угадают 4 номера? Выберем из 6 угаданных два и затем из 43 неугаданных тоже два и перемножим число
вариантов выбора:
26
CC
643
6 5 43 42
12 12
13 545
человек.
Аналогично найдем, что 3 номера угадают 246 820 человек, т. е.
примерно 1,77 % от всех играющих. Казалось бы, взять 60 билетов и
их «хорошо» заполнить, то можно надеяться на надежный выигрыш
хотя бы одной тройки, при этом есть шанс угадать и 4, и 5, и 6 номеров. Однако это не так, и число билетов, которые нужно заполнить
чтобы гарантировать угадывание трех номеров, существенно больше.
Сочетания с повторениями
Пример
Требуется купить 7 пирожных. В магазине имеются пирожные следующих видов: эклеры, песочные, слоеные и наполеоны. Сколько вариантов выбора?
Решение: выбранные пирожные заменяем единицами и добавляем
три нуля (разделители). Каждой перестановке однозначно соответствует некоторый выбор. Например, одному из вариантов покупки будет
соответствовать такой код: 1101110101. Пирожные покупаются следующим образом. Количество единиц слева до первого нуля соответствует покупке эклеров, между первым и вторым нулем – покупке песочных, между вторым
третьего нуля соответствуют числу покупаемых наполеонов. В случае
приведенного кода покупается 2 эклера, 3 песочных, 1 слоеное и
1 наполеон. Количество вариантов покупки пирожных равно числу
перестановок из 7 объектов одного типа (единиц) и 3 объектов второго
типа (нулей), т. е.
и третьим – покупке слоеных, единицы после
,
P(3, 7) = 10!/(3! 7!) = 120.
Пусть имеются предметы
n разных типов (без ограничения числа
предметов каждого типа) и требуется определить, сколько комбинаций
72
можно сделать из них, чтобы в каждую комбинацию входило k пред-
N
метов? Каждую комбинацию шифруем с помощью 0 и 1, причем 1 соответствуют предметам, а 0 выполняют функцию разделителей. Тогда
записав
которой выбираются
остальных типов. Переставляя всеми способами эти
k единиц и добавив n – 1 нулей, мы получим комбинацию, при
k предметов первого типа и ни одного предмета
k единиц и n – 1
нулей, мы будем каждый раз получать некоторую расстановку, состоящую из
k предметов. Тогда
(1)!
nk
(1,)
Pn k C
(1)!!
nk
k
. (8)
1
nk
Частный случай теоремы о включениях и исключениях
Пример
Имеется пять разных предметов. Сколько можно составить различных комбинаций, в которых ни один предмет не стоит на своем месте
(задача о смещениях (о беспорядках))? Решим задачу с помощью теоремы о включениях и исключениях:
(5) 5! – · 4! · 3! – · 2! · 1! – · 0! 44.NCCCCC
При решении этой задачи мы использовали главную теорему комбинаторики, которая требует определить, что понимается под объектами и что под свойствами этих объектов. Общее число объектов равнялось 5!, так как под объектом мы будем понимать различные расстановки пяти предметов. Под первым свойством понимаем наличие первого предмета на
на своем месте и т. д. Всего оказалось 5 свойств.
В некоторых случаях количество объектов, обладающих определенным набором свойств, зависит только от числа этих свойств. Тогда
формула для подсчета числа объектов, не обладающих ни одним из
выделенных свойств, упрощается.
При произвольном
12345
555 55
своем месте, под вторым – наличие второго предмета
n имеем
() (1) (2) ... (1) ()
nNCN CN Nn .
12
nn
n
В рассмотренном выше примере мы использовали этот частный
случай главной теоремы комбинаторики. В общем случае при перестановке n предметов количество расстановок, при которых ни один
предмет не находится на своем месте,
73
() ! ( 1)! ( 2)!... (1)0!
N
–
nnCn Cn D (10)
12
nn n
n
Полученное значение
порядка или субфакториалом. Субфакториал
D
иногда называют формулой полного бес-
n
D
можно представить и
n
так:
n
Dn
n
111 (1)
! 1 ...
1! 2! 3! !
.
n
Субфакториалы легко вычисляются по формуле
DnD
nn
1
(1).
n
Приведем некоторые начальные значения субфакториалов:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dn 0 1 2 9 44 255 1784 14273 128456
3.4. Связь комбинаторики с другими разделами
математики и техническими приложениями
Теория вероятностей. Во многих приложениях теории вероятно-
стей (например, случайные игры) пространство исходов может быть
описано как конечное множество исходов, наступления которых можно считать равновозможными. Если мы предполагаем, что каждый из n
исходов в S имеет одинаковый шанс для его наступления, то мы должны приписать каждому из них вероятность, равную 1/ n
зом, вероятность
. Таким обра-
P({x}) = 1/n для любого x S.
Это – вероятностная функция Лапласа. В этом случае задача вычисления вероятности события сводится к подсчету числа элементов
множества исходов события, числа элементов пространства исходов и
к вычислению отношения этих чисел. Во многих задачах возможно
отыскание нужных величин без
непосредственного составления списка
элементов множеств Е и S или их описания. Однако в любом случае
необходимо дать точное определение этих множеств и указать способ
их построения. При подсчете числа элементов множеств Е и S часто
74
пользуются приведенными далее четырьмя формулами, которые
A
встречаются в комбинаторике.
Формула 1. Если некоторое задание может быть выполнено m спо-
собами, а другое задание – n способами, то число различных способов
выполнения двух заданий равно mn.
Пример. Директор школы (мужчина) и заведующая учебной частью
(женщина) выбираются из группы кандидатов, состоящей из четырех
мужчин и пяти женщин. Сколько существует различных возможных
способов такого выбора
.
Решение. Директор школы может быть выбран четырьмя способами, заведующая – пятью способами. Тогда число различных возможных пар равно 4 · 5 = 20.
Формула 2 (размещение). Если из n различных предметов сделана
выборка объема k и предметы расставлены в соответствии с порядком
их выбора, то число возможных различных упорядоченных выборок
равно n (n – 1)...(n – k +1). Это число может быть записано через фак-
ториалы n!/( n – k)! и обозначено
kn
AnnnknkPn
nk
( – 1)...( – 1) !/ ( – )!
k
A
n
или
n
P
. Итак,
k
Отметим, что каждый предмет может быть выбран только один раз.
Окончательная выборка называется размещением k объектов, и говорят, что выборка производилась без повторений или без возвращения
выбранного предмета.
Формула 3. Если выборка в формуле 2 производится с повторением
или с возвращением (т. е. каждый выбранный предмет записывается и
кладется обратно, прежде чем выбирается следующий предмет), то чис-
k
ло различных возможных упорядоченных выборок равно nnn...=
.
n
Формула 4 (сочетания). Если число различных объектов равно n и
производится выборка объема k без возвращения выбранного предмета
на место, то число возможных различных выборок при условии, что
порядок роли не играет, равно
k
/ ! !/ !( – ) ! .
knknk
n
Такие выборки называют сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по k обозначают
k
C или
n
n
С или
k
75
n
.
k
Примеры
1. Урна содержит четыре цветных шара (красный, белый, синий,
зеленый), из нее производится выборка объема 2: а) упорядоченная без
возвращения шаров в урну, б) упорядоченная с возвращением, в) неупорядоченная без возвращения. Найдите число возможных выборок в
каждом случае.
Решение
а) список всех размещений из четыре шаров по два будет следую-
щим:
кб, кс, ка, бс, бз, сз
A
бк, ск, зк, сб, зб, зс
,
таким образом,
() 12.NA A P Ответ
24
42
б) выборка с возвращением, список будет таким:
В = А {кк, бб, сс, зз},
таким образом,
() 4 16N В
2
. Ответ
в) список сочетаний из 4 шаров по 2 будет следующим:
С = {кб, кс, кз, бс, бз, сз}.
Сравним это множество с А. Очевидно, что множество выборок
из А, для которых порядок не имеет значения, совпадает с С. Таким
образом,
() 6.N СС P Ответ
24
42
Другие примеры
1. Из-за недостатка времени криптоаналитик может сделать только
1000 попыток для расшифровки сообщения, ключ которого ему неиз-
вестен. Однако известно, что используется рюкзачный вектор, состоящий из 100 чисел, при этом сумма порождается четырьмя числами.
Требуется оценить вероятность того, что за 1000 попыток вскрыть
шифр, он это сумеет сделать
.
76
Определим сначала общее число комбинаций, которые следовало
4
бы перебрать криптоаналитику
С = 100!/(4!96!). Однако благопри-
100
ятной комбинацией является только одна. Следовательно, вероятность
вскрытия шифра за одну попытку
P = 24/94 109 400 = 0,000 000 255.
Вероятность того, что криптоаналитик вскроет неизвестный шифр
за 1000 попыток
P (1000) = 1 – (1 – 0,000 000 255)
Рюкзачная криптосистема с открытым распределением ключей
имеет дело с вектором А = (а
, а2, …, аn). При шифровании сообщений
1
открыто передаются значения сумм некоторых элементов а
1000
= 0,0003.
, при этом
i
криптоаналитику часто бывает известно количество элементов и их
сумма (но не известны сами элементы). Для вскрытия шифра криптоаналитик должен перебрать число ключей, равное числу сочетаний
из n (количество букв в алфавите) по k.
2. Электромонтажник распаивает разъем на восьми контактов, не
имея монтажной схемы, т. е. случайным образом
вероятность того, что все провода будут припаяны правильно;
вероятность того, что из восьми проводов ровно три провода бу-
. Определить:
дут припаяны правильно, а остальные неверно.
Для решения задачи сначала определим общее число перестановок
восьми проводов. Оно равно 8! = 40 320.
Для решения первой части задачи отметим, что имеется всего одна
благоприятная комбинация, поэтому вероятность распаять разъем правильно, не имея монтажной схемы, равна
P = 1/40 320 = 0,0 000 248.
Для решения второй части задачи число благоприятных комбинаций значительно больше и определяется как
3
P =
C · D5 = 56 · 44 = 2464,
8
где значение субфакториала D
= 44 для n = 5 (таблица). Поэтому веро-
5
ятность припаять правильно ровно три провода из восьми равна
P = 2464/40 320 = 0,061.
77
Теория графов. Рассмотрим примеры.
1. Имеется n участников шахматного турнира. Сколько партий
должно быть сыграно, чтобы каждый участник сыграл со всеми
остальными? Любой турнир между n участниками (командами) может
быть представлен в виде графа, при этом после окончания турнира
граф является полным. Каждый участник (вершина графа) играет со
всеми остальными (их число n
– 1), а поскольку число участников рав-
но n, то всего игр n(n – 1) / 2.
2. Комбинаторные задачи сортировки часто изображаются в виде
графов типа «дерево».
УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 3
Упражнения 3.1
1. Кодовый замок открывается лишь тогда, когда набран код. Этот
код набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых
изображены буквы (или цифры). Пусть число букв на каждом диске
равно 12, а число дисков равно пяти. Сколько различных комбинаций
нужно перебрать (максимальное количество), чтобы, не зная кода, открыть кодовый замок? (248 832)
2. Пятеро студентов сдают экзамен. Каким количеством способов
могут быть выставлены оценки, если известно, что никто из студентов
не получил неудовлетворительной оценки? (243)
Упражнения 3.2
1. Сколько существует автомобильных номеров, содержащих три
буквы и пять цифр, если используются 20 букв русского алфавита и
все 10 цифр? (8 · 10
8
)
2. Время работы агрегата в сутки задается часами, минутами и се-
кундами. Сколько разных временных интервалов может быть задано
для работы агрегата? (86 400)
Упражнения 3.3
1. Из коллектива работников в 25 человек нужно выбрать председателя, заместителя председателя, бухгалтера и казначея. Каким количеством способов это можно сделать? (303 600)
78
Упражнения 3.4
1. Сколько различных слов (пусть и не имеющих смысла) можно
получить путем перестановки букв в слове «ДУБЛЕНКА»? (40 320)
2. В заезде на ипподроме участвуют 12 рысаков. Играющие в тотализатор заполняют карточки, в которых указывают порядок, в котором, по их мнению, рысаки придут к финишу. Будем считать, что к
финишу одновременно не могут
вариантов заполнения карточек существует? (479 001 600)
прийти два и более рысака. Сколько
Упражнения 3.5
1. У школьника две авторучки, четыре карандаша и одна резинка.
Он раскладывает эти предметы на парте в ряд. Сколько вариантов раскладки? (105)
2. Рыбаки поймали пять подлещиков, четыре окуня и два судака,
посолили и вывесили на солнце сушиться. Сколько вариантов развешивания рыбы на нитке? (6930)
Упражнения 3.6
1. Пароль состоит из двух букв, за которыми следуют четыре цифры или из четырех букв, за которыми следуют две цифры. Сколько
можно составить разных паролей, если из 33 букв русского алфавита
используются только буквы «aбвгдежиклмнпрст» и все десять цифр?
(1 209 600 или 4 860 000)
Упражнения 3.7
1. В механической мастерской работает 12 человек, из них шесть
человек имеют диплом слесаря, четыре – диплом оператора станков с
ЧПУ, семь человек – диплом фрезеровщика, по три человека владеют
двумя из перечисленных специальностей и два человека – всеми тремя.
Начальство решает уволить работников, не имеющих дипломов хотя
бы по одной из этих специальностей. Имеется
2. Три танкиста, два артиллериста, один интендант и четыре пехотинца решили сфотографироваться. Сколько разных фотографий получится, если все они располагаются в ряд и все представители одной
группы войск находятся рядом?
3. Найти количество чисел, не делящихся на 3, 5, 7 в диапазоне от
200 до 500?
ли такая возможность?
79
Упражнения 3.8
1. Имеется шесть разных предметов. В каком числе перестановок
два предмета остаются на своих местах, а остальные на чужих?
2. Имеется 10 разных предметов, расставленных в линию. Благоприятной перестановкой будем считать такую, при которой четыре
любых предмета будут стоять на своих местах (а остальные на чужих).
Сколько существует таких перестановок?
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]